Выбор 1/4-реплики и ее разрешающая способность

Идею построения дробных реплик можно развивать дальше, заменяя в ПФП не одно, а большее число взаимодействий новыми факторами. При замене двух взаимодействий новыми факторами получим четверть- реплики (или 1/4-реплики) ПФП. Их условное обозначение 25-2.

В табл. 6.22 приведен план 1/4-реплики для пяти факторов, полученной заменой в ПФП 23 взаимодействий xix2x3 и х2х3 факторами х4 и х5 соответственно.

Генераторы этого плана:

Для получения системы смешивания рассмотрим соответствующие определяющие контрасты 1 = ХХ2ХуХ4 и 1 = x2xjx5.

Таблица 6.22

Номер

опыта

XI

Х2

Хз

х4

Х5

  • 1
  • 2

+

-

-

+

+

+

3

-

+

-

+

-

4

+

+

-

-

-

5

-

-

+

+

-

6

+

-

+

-

-

7

-

+

+

-

+

8

+

+

+

+

+

Кроме того, имеется еще один определяющий контраст, полученный перемножением двух записанных выше контрастов: 1 = *1X4X5. Все три контраста можно записать в виде одной цепочки равенств, которая называется обобщающим определяющим контрастом:

Умножая его последовательно нахьх2,..., получим генераторы:

Отсюда имеем следующую систему смешивания:

Из нее следует, что в рассматриваемом плане все линейные эффекты смешаны с парными взаимодействиями. Если это не устраивает экспериментатора, то можно применить метод «перевала» [1], согласно которому данный план дополняется второй серией опытов, также представляющей собой 1/4-реплику. Эту новую реплику надо выбрать так, чтобы по результатам всего эксперимента в целом линейные эффекты были освобождены от эффектов парных взаимодействий. Обобщающий определяющий контраст такой реплики получается изменением знаков перед всеми тройными взаимодействиями в обобщающем определяющем контрасте первой четверть-реплики на противоположные. Например, для дополнения 1/4-реплики 25-2, приведенной в табл. 6.22, следует использовать реплику с обобщающим определяющим контрастом:

Для построения соответствующего плана можно использовать генераторы:

При замене в ПФП трех взаимодействий новыми факторами получаются 1/8-реплики ПФП, обозначаемые 26-3. Аналогично строят реплики большей дробности.

Поскольку матрицы ДФП обладают теми же свойствами, что и матрицы ПФП, расчет коэффициентов регрессии по результатам ДФП, а также статистический анализ полученного уравнения регрессии проводятся с применением тех же формул и по тем же правилам, что и для полных факторных планов.

Рассмотрим пример применения ДФП. Исследовали влияние основных технологических факторов процесса прессования фанеры на ее прочностные показатели. Перечень варьируемых факторов приведен в табл. 6.23.

В основу экспериментального плана положена 1/4-реплика от ПФП 26 с генераторами:

Наименование фактора

Обозначение

Уровень варьирования

нормализованное

натуральное

нижний

верхний

Вязкость смолы, °Э

Х

Хх

50

200

Давление прессования, МПа

х2

Х2

1,6

2,2

Температура прессования, °С

*3

Xз

130

150

Расход смолы, г/м[1]

*4

Х4

ПО

150

Время прессования, мин

Х5

х$

11,5

14,5

Коэффициент качества шпона

*6

Хь

0,95

0,99

Для построения этого плана в столбцах 2-5 табл. 6.24 приведен ПФП 2. С помощью соотношений (6.25) построены столбцы х$ и х6. Для определения системы смешивания найдем обобщающий определяющий контраст данной реплики. С этой целью умножим каждое из соотношений (6.25) само на себя, а найденные равенства - друг на друга. В результате получим

Умножая равенства (6.26) последовательно на линейные члены и различные взаимодействия, можно получить систему смешивания оценок. Например, умножив (6.26) на ХХ2, найдем ХХ2 = Х3Х5 = х^хь = ХХ2Хзх4х5х(>. Следовательно,

В столбце 8 табл. 6.24 приведены результаты проведения эксперимента - значения предела прочности на скалывание по клеевому слою у, МПа.

С применением формул (6.8) и (6.10) рассчитаны коэффициенты регрессии модели. После отбрасывания незначимых коэффициентов регрессии получена следующая регрессионная модель в нормализованных обозначениях факторов:

Номер

опыта

XI

х2

Хз

х4

*5

Х6

у, МПа

I

2

3

4

5

6

7

8

I

+

+

+

+

+

+

1,21

2

-

+

+

+

-

-

1,00

3

+

-

+

+

-

-

1,31

4

-

-

+

+

+

+

1,22

5

+

+

-

+

-

+

1,045

6

+

-

+

+

1,42

7

?

+

+

0,99

8

-

+

-

?

0,58

9

+

?

?

-

+

-

1,31

10

-

+

+

-

-

+

1,22

11

+

-

+

-

-

+

1,30

12

-

-

+

-

+

-

0,95

13

+

+

-

-

-

-

1,31

14

-

+

-

-

+

+

1,045

15

+

-

-

-

+

+

1,28

16

-

-

-

-

-

-

1,045

Для получения уравнения регрессии с натуральными обозначениями факторов можно воспользоваться формулами:

Заключение о дробных факторных планах

Дробные факторные планы (ДФП) применяют для построения линейной модели.}} [2] [3] [4] [5]

6. Чтобы получить генераторы, указывающие, какие линейные эффекты смешаны со взаимодействиями, необходимо умножить ОК на линейный эффект. Например, если имеем OK 1 = х хг^з, то генераторы (генерирующие соотношения) будут:

  • 7. Эффективность того ДФП выше, у которого линейные эффекты смешаны со взаимодействиями наивысшего порядка, так как они обладают наибольшей разрешающей способностью.
  • 8. Линейные эффекты могут быть освобождены от парных взаимодействий использованием метода «перевала», который состоит в добавлении новой реплики, все знаки которой противоположны исходной.
  • 9. С ростом числа факторов быстро увеличивается число ДФП различной дробности, которые характеризуются обобщающим определяющим контрастом, полученным перемножением по два, по три и т.д. исходных ОК.

  • [1] 2
  • [2] Эффективность ДФП возрастает с увеличением числа факторов.
  • [3] При построении ДФП необходимо вводить новый фактор взаментого столбца взаимодействий, которым можно пренебречь.
  • [4] Реплики, позволяющие сократить число опытов в 2т раз, где т = 1,2, 3, 4,..., называются регулярными. Они позволяют рассчитывать коэффициенты регрессии так же просто, как и ПФП.
  • [5] ДФП могут быть наиболее эффективно использованы, если удачноосуществлено смешивание линейных эффектов с эффектами взаимодействий. В случае значимости некоторых взаимодействий это смешиваниедолжно быть более умелым. В этом случае большую помощь исследователю могут оказать априорные сведения. Для определения системы смешивания нужно знать определяющие контрасты и генераторы.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >