Метод крутого восхождения и его применение

Идея метода

Наиболее эффективно и широко применяемые методы экспериментальной оптимизации основаны на градиентных методах поиска экстремума. Идею этих методов рассмотрим вначале в предположении, что варьируется единственный фактор Хх. На рис. 9.5 точками а я b обозначены границы диапазона варьирования этого фактора.

К обоснованию градиентного метода поиска экстремума

Рис. 9.5. К обоснованию градиентного метода поиска экстремума

Пусть М - абсцисса искомой точки оптимума (для определенности - максимума). Вначале ставится опыт в некоторой произвольной точке 1 внутри диапазона варьирования фактора Хх. Результат его: у. Из точки 1 желательно сдвинуться в направлении точки М, т.е., в данном случае, влево. Но поскольку положение точки М заранее неизвестно, сначала делается пробный шаг в одном из двух возможных направлений, т.е. влево или вправо от точки 1. Пусть, например, пробный шаг сделан вправо - точка 2 на рис. 9.5 - и результат его: у2- Из того что у2 <У, можно сразу заключить, что точка М находится левее точки 1. Поэтому следующий рабочий шаг делается влево от точки 1 в точку 3. Так как у3 > у,, то очередной рабочий шаг делается в том же направлении, т.е. в точку 4 и т.д. Придя в точку 6, убеждаемся, что у6 < у5. Значит, точка М находится между точками 5 и 6. Если точность, с которой найдена абсцисса точки М, недостаточна, движение продолжается вправо от точки 6 с уменьшенной длиной шага.

Пусть теперь число варьируемых факторов равно двум. Для геометрической иллюстрации метода следует уже рассмотреть факторную плоскость с координатными осями Х] и Х-, (рис. 9.6). Первый опыт по- прежнему ставится в некоторой произвольной точке внутри области варьирования факторов (точка А с координатами Х{0), Х{20) на рис. 9.6). Из этой точки можно смещаться уже не в одном из двух возможных направлений, как в предыдущем случае, а в любом из бесчисленного множества направлений на плоскости. При этом движение по некоторым из этих направлений дает увеличение значения отклика по отношению к точке А (это, например, направления 1-4), по другим направлениям приводит к его уменьшению (направления 5-8). Учитывая, что положение точки оптимума неизвестно, целесообразно считать, что наилучшим направлением, в котором надо сместиться из точки А, является то, в котором функция отклика возрастает быстрее всего. Это направление называется градиентом функции отклика. Отметим, что в каждой точке факторной плоскости направление градиента перпендикулярно касательной к линии уровня, проведенной через ту же точку.

К понятию градиента функции отклика

Рис. 9.6. К понятию градиента функции отклика

В математическом анализе доказано, что составляющие вектора градиента функции отклика /(х12,...,хк) являются ее частными производными по аргументам:

Следовательно, их можно отыскать для произвольной точки факторного пространства, если иметь представление о функции отклика в некоторой окрестности этой точки. Такое представление дает математическая модель объекта, которую можно получить с применением известных методов планирования эксперимента. Таким образом, результаты эксперимента, поставленного в некоторой области факторного пространства, помогут оценить направление градиента функции отклика. В этом направлении и надо двигаться к максимуму. Описанная процедура должна быть многократной, поскольку, сделав шаг к экстремуму, мы попадаем в другую область факторного пространства, где направление градиента функции, вообще говоря, другое. Для его оценки надо вновь поставить эксперимент.

Согласно методу крутого восхождения для оценки градиента функции отклика используют полный или дробный факторный план ПФП или ДФП. Предположим, что в окрестности исходной точки А с координатами Х,(0)~,0)реализован один из этих планов. Точка Л является, таким образом, центром плана. Пусть по результатам поставленного эксперимента получена линейная модель

(выражения (9.1) и (9.2) записаны для нормализованных факторов).

Из формулы (9.1) следует, что составляющие вектора градиента для такой модели являются линейными коэффициентами регрессии:

Поэтому условия любого опыта, находящегося на линии градиента, проходящей через исходную точку, можно получить, изменяя значение каждого из факторов в центре плана на величину, пропорциональную соответствующему коэффициенту регрессии линейной модели. Такие опыты называют опытами крутого восхождения. Значения факторов в опыте крутого восхождения определяют в случае отыскания максимума функции отклика по формулам:

где Д,,Д2,...,Д* - интервалы варьирования факторов в предыдущей серии опытов; X - коэффициент, определяющий длину шага в направлении экстремума.

Затем ставится следующая серия опытов, по результатам которой отыскивается новое направление градиента, и т.д. Отметим, что множитель Д( появился в формулах (9.4) из-за того, что они записаны уже для натуральных факторов.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >