ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА С КАЧЕСТВЕННЫМИ ФАКТОРАМИ

Однофакторный дисперсионный анализ

Методы планирования эксперимента с качественными факторами применяют при изучении самых разнообразных процессов деревообработки, в которых исследуются различные виды взаимодействий, различные способы обработки изделий, подготовки сырья, инструмента, различные конструкции приборов, виды покрытий, клеев, составов для покрытий древесины и т.п. Качественные факторы дискретны по своей природе, их уровням не соответствует числовая шкала. Поэтому нельзя говорить о возрастании или убывании качественного фактора или пытаться описать зависимость отклика от такого фактора в виде непрерывной функции. При обработке результатов экспериментов, содержащих качественные факторы, используется аппарат дисперсионного анализа в отличие от регрессионного анализа, применяемого при исследовании количественных факторов. Дисперсионный анализ можно использовать и при изучении количественных факторов, когда число их уровней варьирования невелико. Отметим, что различного вида неоднородности - партии сырья, виды почв, изменение внешних условий и т.п. - также удобно рассматривать как качественные факторы и изучать с применением тех же методов.

По результатам дисперсионного анализа можно выяснить, влияет ли каждый из варьируемых факторов на изменение отклика. Если ответ на этот вопрос для некоторого фактора оказался положительным, то можно дополнительно определить, для каких именно уровней данного фактора наблюдается значимое различие результатов.

Простейшей процедурой дисперсионного анализа является обработка результатов однофакторного эксперимента - однофакторный дисперсионный анализ. Предположим, что исследуется влияние на отклик некоторого фактора А (качественного или количественного), который варьируется на т уровнях: аь ат. (В дисперсионном анализе факторы часто обозначают заглавными латинскими буквами А, В, С,...) Например, фактором А может быть порода древесины, тогда уровни этого фактора: а - сосна; а2- береза; я 3 - дуб и т.д. Предполагаем далее, что при каждом фиксированном уровне фактора А проведено одинаковое число п наблюдений. При этом для обеспечения однородности внешних условий опыты ставились в случайном порядке. Такой план эксперимента называется полностью рандомизированным. Результаты наблюдений для однофакторного дисперсионного анализа удобно представить в виде табл. 10.1.

Номер

наблюдения

Уровень фактора А

а

а2

(2т

1

У и

Уп

У ml

2

У12

У22

Ут2

3

Уп

У23

УтЪ

п

У1п

У2п

Утп

Итоги

п

А =2>и

м

?

II

ч1

т

А,„=ХУт;

j=1

Общее число наблюдений здесь равно N = тп.

При работе с дискретными факторами математическую модель объекта также записывают в дискретной форме. Так, линейная модель в случае варьирования единственного фактора А имеет вид

где уу - результату'-го наблюдения, выполненного при г'-м уровне фактора А; р - неизвестный параметр, так называемое среднее; а, - эффект фактора А на г'-м уровне; % - ошибкау'-го наблюдения при г'-м уровне фактора Л.

В предположении, что результаты эксперимента описываются линейной моделью (10.1), однофакторный дисперсионный анализ можно провести в следующей последовательности.

Рассчитывают:

1) итоги по столбцам

  • (см. последнюю строку табл. 10.1);
  • 2) сумму квадратов всех наблюдений

3) сумму квадратов итогов по столбцам, деленную на число наблюдений в столбце,

4) квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений (корректирующий член),

5) сумму квадратов для столбца

6) - общую сумму квадратов, равную разности между суммой квадратов всех наблюдений и корректирующим членом,

7) SOCT - остаточную сумму квадратов для оценки ошибки эксперимента

8) дисперсию фактора A sA

9) дисперсию ошибки

(В дисперсионном анализе оценки дисперсий часто называют средними квадратами.)

Далее для выбранного уровня значимости q с помощью F-критерия Фишера проверяют однородность дисперсий sA (в числителе) и (в знаменателе). С этой целью вычисляют величину

которую сравнивают с табличным значением F-критерия F^ (см. табл. 2 приложения), взятым при уровне значимости q для чисел степеней свободы fA= т - 1 и /ош= N - т. Если оказалось, что Fpасч < Fra6n, то влияние фактора А признается незначимым. Если соотношение противоположное - Fpac4 > Fraбл, то фактор А оказывает значимое влияние на отклик. Результаты дисперсионного анализа представляют обычно в виде табл. 10.2.

Результаты расчетов не изменятся, если из каждого наблюдения вычесть одно и то же число. Этим часто пользуются для упрощения вычислений, если они выполняются «вручную».

Источник

дисперсии

Число степеней свободы

Сумма квадратов

Средний квадрат (оценка дисперсии)

Фактор А

т - 1

SA=S2- Si

SA =SA/(m~l)

Остаток (ошибка)

N- т

Socr = S] — S2

=S0Cl/(N-m)

Общая сумма

N- 1

Sobin ~Si —S3

Рассмотрим случай различного числа параллельных опытов. Пусть при фиксированном уровне а, фактора А проведено п, наблюдений. Общее число наблюдений в этом случае равно

Вычисляют:

1) итоги по столбцам

2) сумму квадратов всех наблюдений

3) сумму квадратов итогов по столбцам, деленных на число наблюдений в соответствующем столбце,

4) квадрат общего итога, деленный на число всех наблюдений,

где N вычисляют по формуле (10.12).

Дальнейшие расчеты выполняют по формулам (10.6)—(10.11). Результаты, как и в предыдущем случае, представляют в виде табл. 10.2.

Если влияние варьируемого фактора оказалось значимым, то после проведения дисперсионного анализа можно выяснить, для каких именно уровней фактора средние значимо отличаются друг от друга. С этой целью проверяют однородность средних арифметических, взятых по каждому столбцу. Здесь можно использовать множественный ранговый критерий Дункана. Его применение для случая одинакового числа наблюдений на каждом уровне, т.е. при «, = const = п, состоит в следующем:

1) вычисляют средние по каждому столбцу:

  • 2) найденные т средних упорядочивают по возрастанию;
  • 3) подсчитывают среднюю квадратическую ошибку для каждого среднего по формуле

  • 4) при выбранном уровне значимости q и числе степеней свободы / обращаются к таблице значимых рангов множественного рангового критерия Дункана (см. табл. 10 приложения [3]). Число /равно числу степеней свободы среднего квадрата ошибки: / =N - т. Из этой таблицы для найденных q и f а также для р - 2, 3,. .., т выписывают - 1) значений рангов;
  • 5) умножают эти значения рангов на , в результате чего получают

группу из - 1) наименьших значимых рангов;

6) разности между средними сравнивают с наименьшими значимыми рангами следующим образом: разность максимального и минимального значений средних сравнивают с наименьшим значимым рангом при р = т, затем находят разность максимального среднего и первого, превосходящего минимальное, и сравнивают ее с наименьшим значимым рангом при р = т - 1 и т.д. Эти сравнения продолжают для второго по величине среднего, которое сравнивают с наименьшим, и т.д., пока не будут исследованы на значимость все т(т - 1)/2 возможные пары. Для того чтобы избежать возможных противоречий, не рассматриваются средние, попадающие в интервал между другими средними, разность которых не является значимой. Критерий Дункана можно применять и для разных если они не очень сильно отличаются друг от друга [16]. В этом случае в формулу для

вместо п представляют значение п, вычисляемое по формуле

Для проверки однородности нескольких средних можно использовать и ^-критерий Стьюдента, проводя сравнение средних попарно.

Рассмотрим пример применения однофакторного дисперсионного анализа при постоянном числе наблюдений. Исследуется отражательная способность различных лаковых покрытий на древесных подложках. Фактором А здесь является вид покрытия. Уровни его: а - зеркальное покрытие; а2 - глянцевое; а3 - матовое; а4 - глубокоматовое покрытие. В качестве показателя отражательной способности принят блеск, величину которого оценивают в условных единицах фотоэлектрическим блескомером. Для каждого вида покрытия было проведено по десять измерений блеска. Результаты измерений приведены в табл. 10.3.

Если отличие в блеске глянцевого и матового покрытий очевидно и без статистической обработки, то величины блеска для зеркального и глянцевого покрытий отличаются в среднем не слишком значительно. Дисперсионный анализ позволит выявить значимое влияние вида покрытия и каждого из уровней этого фактора на величину блеска, если это влияние имеет место.

Расчеты проводятся согласно формулам (10.2)—(10.11), причем число наблюдений N = nm = 4-10 = 40. В нижней части табл. 10.3 приведены итоги по столбцам, рассчитанные по формуле (10.2), а также средние по каждому столбцу.

Далее рассчитывают суммы:

Затем подсчитывают дисперсии:

Номер

наблюдения

Результаты наблюдений

а

(зеркальное)

а2

(глянцевое)

«3

(матовое)

«4

(глубокоматовое)

1

61

62

28

12

2

68

54

24

21

3

59

52

29

19

4

63

65

30

16

5

64

61

26

13

6

70

51

25

23

7

62

64

27

17

8

65

58

28

25

9

58

64

25

11

10

67

56

29

24

Итоги

  • 10
  • 4 = !>.,= 637

j=1

К)

Л = 1>2,= 587 2=1

10

Лз=5>з,= 271

у=1

10

А=2>4,= 181

j-1

Средние

^ = 63,7

=58,7

= 27,1

^4 =18,1

Определяем Fpac4 = s^/s^, Fpac4 = 5143/18,17 ~ 283. Из табл. 2 приложения для уровня значимости q = 0,05, чисел степеней свободы fA = т- 1=3; fom = N- т = 36 найдем FTa6fl = 2,86. Полученное соотношение ^расч > /абл подтверждает значимое влияние вида покрытия на величину блеска.

Выясним с помощью критерия Дункана, какие именно виды покрытий отличаются по величине блеска. Упорядочим по возрастанию средние по каждому столбцу (см. последнюю строку табл. 10.3). Получим такую последовательность: у4=18,1; у3 =27,1; у2~58,7; у, =63,7.

По формуле (10.18) подсчитаем среднюю квадратическую ошибку для каждого среднего: s- = V5>, s, =,/18,17/10 *1,35. Для уровня

значимости q = 0,05 и числа степеней свободы/ = N - т, /= 40 - 4 = 36 из таблицы критерия Дункана (см. табл. 10 приложения [3]) выпишем т - 1 = 3 значимых ранга для р = 2, 3, 4. Эти значения записаны во второй строке табл. 10.4.

Таблица 10.4

1

Р

2

3

4

2

Ранги г

2,87

3,02

3,11

3

rs~

У

3,87

4,08

4,20

Умножаем найденные значения рангов на sv, в результате получаем

группу из трех наименьших значимых рангов, которые внесены в последнюю строку табл. 10.4. Проводим сравнения разностей между средними с наименьшими значимыми рангами:

Таким образом, различие между всеми парами средних оказалось значимым, т.е. все виды покрытий отличаются друг от друга по величине блеска.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >