ОЦЕНКИ ОСТАТОЧНОЙ НАРАБОТКИ

Средняя остаточная наработка является объектом анализа в теории надежности, при анализе качества и безопасности, а также в ряде других приложений. Остаточная наработка объекта или системы, проработавшей безотказно время t, является случайной величиной. Математическое ожидание случайной величины остаточной наработки называется «средняя остаточная наработка».

Напомним основные соотношения, касающиеся величины остаточной наработки. Пусть Р(х) вероятность безотказной работы объекта, X — случайная величина, имеющая функцию распределения F(x), для которой выполняется условие F(0) = 0 и для которой существует первый момент М{Х). Случайная остаточная наработка объекта, проработавшего безотказно время t, будет обозначаться следующим образом: Xt = X -1 X > t. Тогда среднюю остаточную наработку определим формально как

Иногда данную величину обозначают р(/) = M(Xt). Ясно, что р(0) = М(*)Если рассматриваемая функция распределения дифференцируема, тогда можно написать следующее соотношение для определения остаточной наработки:

При решении задач оптимизации обслуживания и обосновании стратегий ремонтов оборудования показатель средняя остаточная наработка может быть более полезен, чем функция интенсивность отказов.

Рассмотрим некоторые соотношения, характерные для показателя средняя остаточная наработка. Из определения интенсивности отказов (формула (2.5) и (2.8)), дифференцируя последнюю, можно получить

Если последнее уравнение решить относительно , получим

Дифференцируя данное выражение, получим

Если выражение для интенсивности отказов (2.9) подставить в формулу (2.3), то можно получить

Дифференцируя последнее выражение, можно получить формулу для интенсивности отказов в другом виде:

Таким образом, распределение наработки до отказа единственным образом определяется средней остаточной наработкой и наоборот.

Далее рассмотрим вопросы вычисления средней остаточной наработки для законов распределения наработки до отказов, имеющих широкое применение в практике проведения расчетов надежности.

Для экспоненциального распределения остаточная наработка не зависит от времени, которое проработал объект. Она равна средней наработке

Гамма -распределение

Плотность гамма-распределения записывается следующим образом:

Для данного распределения имеем выражение для средней остаточной наработки

В п. 2.5 было показано, что для гамма-распределения справедливо следующее утверждение: интенсивность отказов будет возрастать со временем при а > 1 и убывать при 0 < а < 1. Отсюда следует, что средняя остаточная наработка при 0 < а < 1 будет относиться к классу возрастающих в среднем остаточных наработок (ВСОН), и при а > 1 к классу убывающих в среднем остаточных наработок (УСОН).

Обратное гауссовское распределение

Плотность обратного гауссовского распределения имеет вид

Соответствующая функция распределения записывается как

Подставляя данные выражения в формулу (2.6), получим

Распределение Парето второго рода

Запишем функцию ВБР для распределения Парето в виде

несколько отличающимся от приведенного в п. 2.5. Тогда выражение для средней остаточной наработки будет иметь вид

Получили линейно возрастающую в зависимости от наработки функцию. Можно отметить, что распределение Парето находит широкое применение при моделировании наработок объектов до отказа.

Логарифмически нормальное распределение

Логарифмически нормальному закону распределения подчиняется случайная величина t, логарифм которой распределен по нормальному закону. Плотность распределения логарифмически нормального закона имеет вид

Для данного распределения получено выражение для средней остаточной наработки в виде

где erf(t) = —j=e х dx -— функция, называемая «интеграл ул , V2

ошибок».

Логарифмически-логистическое распределение

Плотность распределения для данного закона имеет вид

Средняя остаточная наработка определяется из выражения где Bx{p,q) = y'>-'(-y)‘i-'dy и Л(Г) = (р/)‘ /{1 + (р/)‘>.

О

Плотность данного распределения равна

Средняя остаточная наработка для данного распределения имеет вид

Для некоторых типов распределения среднюю остаточную наработку в явном виде получить не удается, как например, в случае распределения Вейбулла, Гомперца, Макегама и ряда других. В этом случае определение данного показателя возможно только численными методами.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >