Меню
Главная
Авторизация/Регистрация
 
Главная arrow Экономика arrow Экономико-математические методы и модели

Решение однородной системы линейных уравнений

Согласно определению 2.5 однородная система линейных уравнений имеет вид

или в более компактной записи

Нетрудно заметить, что однородная система имеет очевидное решение — нулевое (или, как говорят, тривиальное решение): х, = = х2 = ... = х = О, т.е. она всегда совместна. Нас в дальнейшем будут интересовать ненулевые решения системы (2.20): условия существования этих решений и формы их записи.

Решение поставленной задачи начнем с частного случая, когда число уравнений системы равно числу неизвестных и матрица системы невырожденная, т.е. т = п и |А| ф 0 или, объединяя оба условия, г{А) = п. В этом случае система (2.20) имеет единственное решение, которое можно_найти методом Крамера. Поскольку все определители A/ = 0, у = 1 ,п, то это решение совпадает с нулевым решением. Следовательно, чтобы система (2.20) имела ненулевое решение, необходимо, чтобы г(А) < п. Последнее условие автоматически выполняется, если т < п, т.е. если число уравнений системы (2.20) меньше числа неизвестных, ибо всегда г(А) < т. Итак, получили доказательство следующей теоремы.

Теорема 2.5. Для того чтобы однородная система (2.20) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно выполнение условия

т.е. чтобы ранг матрицы системы был меньше числа неизвестных. Укажем основные свойства решений однородных систем.

Свойство 1°. Если 1 = ,к — решения системы (2.20), то их произвольная линейная комбинация

также является решение этой системы.

? Сначала систему (2.20) запишем в матричной форме:

Затем в этом уравнении вместо х подставим его значение из соотношения (2.23), учитывая при этом, что произведение матриц дистрибутивно:

Свойство 2°. Если г = г{А) < п, то система (2.20) имеет ровно к = п — г линейно независимых решений1, через которые линейно выражаются все другие решения этой системы.

? Пусть в системе (2.20) уже исключены линейно зависимые уравнения и г = /*(А) = т <п. Тогда, используя метод исключения Жордана-Гаусса, систему (2.20) можно привести к разрешенному виду:

где хр х2, ..., х. — основные, а х.р х^2, ..., хп неосновные переменные. Положив в системе (2.24) вместо неосновных переменных последовательноxr+1 = Ux^ = 0, ...,хя = 0; ••.;*,.+ ] = ®>хг+2= = 0,..., хп= 1, получим к=п- г линейно независимых решений

  • 1к, к = ,п-г системы (2.20):
  • 1 Они образуют так называемую фундаментальную систему решений, а их произвольная комбинация — общее решение однородной системы (2.24).

Линейная независимость построенной системы решений {1^} очевидна, ибо ранг матрицы, составленной из координат этих решений, равен к = п-г, т.е. числу этих решений. ?

В заключение приведем теорему, выражающую тесную связь между решениями однородных и неоднородных систем.

Теорема 2.6. Общее решение неоднородной системы слагается из общего решения соответствующей однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы, т.е.

Г

? Пусть х = — общее решение однородной системы (2.24) и

к=1

х* — частное решение неоднородной системы (2.3). Рассмотрим их сумму и подставим ее в систему (2.3):

Пример 2.11. Найти фундаментальную систему решений и общее решение следующей однородной системы уравнений:

? Используя метод Жордана—Гаусса, приведем систему к разрешенному виду:

Отсюда, придавая неосновным переменным х3 и х4 поочередно значения х3 = 1, х4 = 0 и х3 = 0, х4 = 1, находим фундаментальную систему решений: I, = (—10, 7,1, 0)г; 12 = (5, —4,0, I)7". С их помощью общее решение исходной системы запишется в виде

 
Посмотреть оригинал
Если Вы заметили ошибку в тексте выделите слово и нажмите Shift + Enter
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ ОРИГИНАЛ   След >
 

Популярные страницы