АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ОПТИМИЗАЦИИ РАСКРОЯ ПИЛОВОЧНИКА БРУСОВО-РАЗВАЛЬНЫМ СПОСОБОМ С ВЫПИЛИВАНИЕМ ОДНОГО БРУСА И ОДНОЙ ПАРЫ БОКОВЫХ ОБРЕЗНЫХ ДОСОК С УЧЕТОМ ПОТЕРЬ ДРЕВЕСИНЫ В ОПИЛКИ

Агапов А.И.

DOI: 10Л2737/15614

Аннотация. Составлена математическая модель решения задачи оптимизации раскроя пиловочника малых и средних размеров с выпиливанием из пифагорической зоны одного бруса и одной пары боковых обрезных досок с учетом потерь древесины в опилки при распиловке двухкантного бруса. Для решения поставленной задачи использовался метод множителей Лагранжа. Получен алгоритм решения этой задачи. Используя численный метод, определены оптимальные размеры бруса и боковых обрезных досок. Оказалось, что с увеличением количества пропилов и их ширины при раскрое двухкантного бруса оптимальная толщина его уменьшается, а оптимальные размеры боковых обрезных досок возрастают. Предложенный алгоритм решения задачи оптимизации рекомендуется использовать при расчете и составлении поставов.

Ключевые слова: двухкантный брус, обрезные доски, ширина пропила, математическая модель, критерии оптимальности, целевая функция, уравнения связи, коэффициенты Лагранжа, алгоритм задачи, численный метод, оптимальные размеры.

Постановка задачи. Оптимальные размеры бруса и досок обычно определяли для первого прохода брусово-развального способа раскроя пиловочника без учета потерь древесины при последующих стадиях лесопильного производства [4,5]. Исследованиями автора установлено, что при первом проходе раскроя пиловочника брусово-развальным способом с увеличением ширины пропила толщина бруса возрастает, а размеры боковых обрезных досок уменьшаются [1]. Однако при последующем раскрое двухкантного бруса (второй проход) будут образовываться потери древесины в опилки (рисунок 1).

В учебной литературе [5] отмечается, что при распиловке с брусовкой наиболее целесообразной толщиной бруса является величина равная 0,7d± 0,Id (где d диаметр пиловочника в вершинном торце.) Далее отмечается, что почти всегда рекомендуется метод последовательной оптимизации - для первого прохода составляют основной постав из пифагорической зоны для бруса толщиной (0,6...0,8)d, а для второго прохода составляют постав на развал этого бруса. Такой подход упрощает решение задачи оптимизации, но не учитывает взаимосвязь этих стадий технологического процесса. Это объясняется тем, что до сих пор данный вопрос недостаточно изучен. В первую очередь не рассмотрена взаимосвязь первого и второго проходов при распиловке пиловочника с брусовкой и не установлено влияние раскроя бруса на оптимальные размеры этого бруса и боковых обрезных досок.

Схема раскроя пиловочника брусово-развальным способом с последующим раскроем бруса на обрезные доски

Рисунок 1 - Схема раскроя пиловочника брусово-развальным способом с последующим раскроем бруса на обрезные доски

В связи с этим объем получаемых обрезных досок из двухкантного бруса будет меньше на величину объема этих опилок. Возникает вопрос о влиянии этих потерь древесины в опилки при раскрое двухкантного бруса на оптимальные размеры этого бруса и боковых обрезных досок.

Составление математической модели. Для решения поставленной задачи оптимизации составляем математическую модель. Целевую функцию записываем в виде суммы площадей поперечных сечений обрезных досок, получаемых из двухкантного бруса, и боковых обрезных досок, получаемых из пифагорической зоны пиловочника[3]

где Zep - площадь поперечного сечения обрезных досок, получаемых из двухкантного бруса,

ZR - площадь поперечного сечения боковых обрезных досок, выпиливаемых из пифагорической зоны пиловочника при первом проходе.

Такая математическая модель построена на следующем предположении. При увеличении объема бруса, объем боковых обрезных досок уменьшается, и наоборот. Возможно, что при раскрое пиловочника имеется такое соотношение размеров бруса и досок, при котором получается максимальный объем пиломатериалов.

Площадь поперечного сечения обрезных досок, получаемых при раскрое двухкантного бруса с учетом потерь древесины в опилки, можно определить по формуле

где Н - толщина бруса, А - ширина пласти бруса, е - ширина пропила, i - количество пропилов при последующей распиловке двухкантного бруса.

Площадь поперечного сечения боковых обрезных досок можно определить по формуле

где Т - толщина боковой обрезной доски, b - ширина боковой обрезной доски.

Тогда целевая функция запишется в следующем виде

Для составления уравнений связи воспользуемся теоремой Пифагора.

Взаимосвязь размеров бруса и боковых обрезных досок с диаметром бревна в вершинном торце можно представить следующими уравнениями связи. Для двухкантного бруса уравнение связи будет иметь вид

где d - диаметр пиловочника в вершинном торце.

Для боковых обрезных досок уравнение связи будет иметь вид

Полагаем, что математическая модель составлена.

Решение математической модели. В математической модели можно считать четыре переменных фактора (неизвестных), а уравнений связи всего лишь два. Из первого уравнения связи можно выразить ширину пласти бруса «А», а из второго уравнения связи можно выразить ширину доски. Тогда остаются ещё два неизвестных: толщина бруса и доски. Для решения такой задачи можно принять дополнительные требования (уравнения), но тогда получить оптимальное соотношение будет невозможно, т.к. будет решаться частный вариант этой задачи с добавленными условиями.

Поэтому для решения математической модели используем метод множителей Лагранжа[3]. Функцию Лагранжа записываем в следующем виде

где Я и Ях— множители Лагранжа.

Находим частные производные от функции Лагранжа и приравниваем их к нулю

Решаем систему уравнений (8) совместно с уравнениями связи. Рассматриваем третье уравнение системы (8), из которого определяем коэффициент Лагранжа Л±

Рассматриваем четвертое уравнение системы (8), которое представляем в следующем виде

В равенство (10) подставляем выражение (9), получим В уравнение связи (6) подставим равенство (11), получим

Решая это квадратное уравнение (12), получим

Решая уравнение связи (6) получим

Решая квадратное уравнение (14), получим Рассматриваем первое уравнение системы (8)

Рассматриваем второе уравнение системы (8), в которое подставляем равенство (10), получим

В равенство (17) подставляем выражение (16), получим

Из уравнения связи (5) можно написать

Подставляя в равенство (18) выражение (19), получим

Рассмотрены все уравнения системы (8), а также использованы все уравнения связи. Получены формулы для определения оптимальных размеров бруса и досок с учетом ширины пропила, а также с учетом потерь древесины в опилки при раскрое двухкантного бруса на обрезные доски. Однако определить по этим формулам оптимальные размеры бруса и боковых обрезных досок не представляется возможным, так как в этих формулах размеры брусьев и досок взаимосвязаны. Кроме того, ширина пропила, а также количество пропилов при раскрое двухкантного бруса имеет конкретное значение для определенных лесопильных потоков, способах раскроя, размерно-качественных характеристик сырья и технологических требований.

В связи с этим для решения поставленной задачи оптимизации воспользуемся численным методом [1]. Задаемся количеством пропилов при раскрое двухкантного бруса на обрезные доски, а затем для разных ширин пропила производим расчеты, изменяя толщину бруса в определенном диапазоне. По полученным формулам определяем размеры бруса и досок, а также величину целевой функции. По результатам расчетов находим максимальное значение целевой функции. Этот результат и будет являться оптимальным.

Ширина пропила на практике изменяется в пределах 2,0...6,0 мм и зависит от многих технических и технологических факторов производства пиломатериалов. Тогда при решении данной задачи относительную ширину пропила относительно диаметра пиловочника можно принять в пределах 0,01...0,03.

Алгоритм решения задачи. Для упрощения выполнения расчетов, полученные ранее формулы представляем в относительных единицах, полагая ти =H/d. Алгоритм решения задачи оптимизации представляем в следующей последовательности. Относительная ширина пласти двухкантного бруса определится по формуле

Относительная ширина боковой обрезной доски определится по формуле

Относительная толщина боковой обрезной доски определится по формуле

Относительная площадь поперечного сечения пиломатериалов, получаемых из двухкантного бруса, определится по формуле

Относительная площадь поперечного сечения боковых обрезных досок определится по формуле

Суммарная площадь поперечных сечений пиломатериалов, получаемых при раскрое пиловочника по данной схеме с учетом потерь древесины в опилки, в том числе и при распиловке бруса, определится по формуле (1).

Результаты исследований

Результаты расчетов представлены в таблице 1.

Таблица 1. Оптимальные относительные размеры двухкантного бруса и боковых обрезных досок, а также величина целевой функции, для различного количества пропилов и заданной относительной ширины пропила

i

Ше

шн

ША

ть

ШТ

Zbp

гд

Z

0

0

0,526

0,8505

0,5252

0,1625

0,4474

0,1707

0,618034

0

0,005

0,529

0,8486

0,5189

0,1579

0,4489

0,1639

0,612808

0

0,01

0,532

0,8467

0,5125

0,1533

0,4505

0,1572

0,607645

0

0,015

0,535

0,8449

0,5061

0,1487

0,4520

0,1506

0,602548

0

0,02

0,538

0,8429

0,4996

0,1441

0,4535

0,1440

0,597517

Продолжение таблицы 1

i

И1е

тн

тл

ть

П11

Zep

za

Z

0

0,025

0,541

0,8410

0,4930

0,1395

0,4550

0,1376

0,592555

0

0,03

0,544

0,8391

0,4864

0,1349

0,4565

0,1312

0,587662

3

0,005

0,519

0,8548

0,5246

0,1612

0,4358

0,1691

0,604947

3

0,01

0,513

0,8584

0,5218

0,1600

0,4250

0,1670

0,591975

3

0,015

0,506

0,8625

0,5207

0,1589

0,4137

0,1654

0,579119

3

0,02

0,499

0,8666

0,5193

0,1578

0,4025

0,1639

0,566381

3

0,025

0,497

0,8678

0,5081

0,1572

0,3940

0,1597

0,553692

3

0,03

0,484

0,8751

0,5174

0,1559

0,3800

0,1613

0,541269

5

0,005

0,513

0,8584

0,5268

0,1635

0,4275

0,1723

0,599786

5

0,01

0,499

0,8666

0,5293

0,1647

0,4075

0,1744

0,581854

5

0,015

0,485

0,8745

0,5305

0,1663

0,3878

0,1765

0,564254

5

0,02

0,469

0,8832

0,5341

0,1682

0,3673

0,1797

0,547003

5

0,025

0,453

0,8915

0,5363

0,1705

0,3472

0,1829

0,530122

5

0,03

0,435

0,9004

0,5403

0,1732

0,3264

0,1872

0,513636

7

0,005

0,506

0,8625

0,5307

0,1658

0,4187

0,1760

0,594691

7

0,01

0,485

0,8745

0,5355

0,1698

0,3902

0,1818

0,57201

7

0,015

0,462

0,8869

0,5412

0,1744

0,3612

0,1888

0,55005

7

0,02

0,436

0,8999

0,5487

0,1800

0,3313

0,1975

0,528879

7

0,025

0,407

0,9134

0,5571

0,1867

0,3005

0,2080

0,508587

7

0,03

0,374

0,9274

0,5666

0,1950

0,2683

0,2210

0,489288

9

0,005

0,499

0,8666

0,5343

0,1682

0,4100

0,1797

0,589662

9

0,01

0,47

0,8827

0,5424

0,1751

0,3726

0,1899

0,562459

9

0,015

0,437

0,8995

0,5521

0,1834

0,3341

0,2025

0,536568

9

0,02

0,398

0,9174

0,5647

0,1936

0,2935

0,2187

0,512186

9

0,025

0,35

0,9367

0,5810

0,2070

0,2491

0,2405

0,48959

9

0,03

0,288

0,9576

0,6010

0,2256

0,1980

0,2712

0,469238

Результаты расчетов показывают, что с увеличением количества пропилов при последующем раскрое двухкантного бруса на обрезные доски оптимальная относительная толщина этого бруса уменьшается, а размеры боковых обрезных досок незначительно возрастают (рисунок 2).

Таким образом, с увеличением количества пропилов при последующем раскрое двухкантного бруса на обрезные доски оптимальные размеры бруса и досок изменяются непропорционально. В связи с этим, объемы бруса и обрезных досок изменяются также непропорционально при изменении количества пропилов при раскрое бруса.

Влияние количества пропилов при раскрое бруса на оптимальные относительные размеры бруса и боковых досок

Рисунок 2 - Влияние количества пропилов при раскрое бруса на оптимальные относительные размеры бруса и боковых досок

С увеличением числа пропилов при раскрое двухкантного бруса на обрезные доски относительная площадь поперечного сечения бруса уменьшается, а относительная площадь поперечного сечения боковых обрезных досок не столь значительно возрастает (рисунок 3).

Рисунок 3 - Влияние количества пропилов при раскрое бруса на оптимальные относительные площади поперечных сечений бруса и боковых досок С увеличением относительной ширины пропила оптимальная относительная толщина двухкантного бруса уменьшается, а относительные

Влияние относительной ширины пропила при раскрое бруса на оптимальные относительные размеры бруса и боковых досок Следует отметить

Рисунок 4 - Влияние относительной ширины пропила при раскрое бруса на оптимальные относительные размеры бруса и боковых досок Следует отметить, что с увеличением количества пропилов при раскрое двухкантного бруса на обрезные доски изменение относительных размеров бруса и обрезных боковых досок более значительное.

Обычно на практике количество пропилов при распиловке двухкантного бруса на обрезные доски находится в диапазоне 5...7. Следовательно, относительную толщину двухкантного бруса следует при тв-0,02 выбирать в пределах 0,43...0,47 (в среднем 0,45), а толщину боковой доски необходимо выбирать в пределах 0,17...0,18 (в среднем 0,175) от диаметра бревна в вершинном торце. Остальные размеры двухкантного бруса и обрезных досок следует определять по предлагаемому алгоритму.

С увеличением относительной ширины пропила оптимальная площадь поперечного сечения двухкантного бруса уменьшается, а относительная площадь поперечного сечения боковых обрезных досок незначительно возрастает (рисунок 5).

Влияние относительной ширины пропила при раскрое бруса на оптимальные относительные площади поперечных сечений бруса и боковых

Рисунок 5 - Влияние относительной ширины пропила при раскрое бруса на оптимальные относительные площади поперечных сечений бруса и боковых

досок

Чаще всего на практике относительная ширина пропила находится в пределах 0,015...0,02. В этом диапазоне при количестве пропилов в двухкантном брусе i =5, относительная толщина двухкантного бруса немного меньше половины диаметра бревна в вершинном торце, а ширина боковой доски немного больше половины этого диаметра бревна.

Выводы и рекомендации. Разработан алгоритм решения задачи оптимизации раскроя пиловочника брусово-развальным способом с выпиливанием из пифагорической зоны одного бруса и одной пары боковых обрезных досок с учетом потерь древесины в опилки при последующем раскрое двухкантного бруса.

Установлено, что при увеличении количества пропилов и их ширины, толщина двухкантного бруса уменьшается, а размеры боковых обрезных досок незначительно возрастают. Следовательно, при расчете и составлении поставов необходимо учитывать не только ширину пропила, но и количество пропилов при последующем раскрое двухкантного бруса на обрезные доски.

Определение оптимальных размеров двухкантного бруса и боковых обрезных досок для конкретной схемы раскроя пиловочника предлагается осуществлять по полученному нами алгоритму решения данной задачи оптимизации.

Список литературы

  • 1. Агапов А.И. Влияние ширины пропила на оптимальные размеры брусьев и досок при раскрое пиловочника с выпиливанием трех брусьев одинаковой толщины и четырех пар боковых досок. Лесотехнический журнал. Воронеж, ВГЛТА. - 2014. - Т4, №2, с. 128-135.
  • 2. Агапов А.И., Глухова М.В. Влияние ширины пропила на оптимальные размеры брусьев и досок при раскрое пиловочника с выпиливанием трех брусьев и одной пары боковых досок. Актуальные проблемы развития лесного комплекса: МНТК, Вологда, 3-4 декабря 2013 г. - Вологда, ВоГУ, 2014. - с. 67-69.
  • 3. Агапов А.И. Оптимизация технологических процессов деревообработки. Учебное пособие. - Киров: ВятГУ, 2012.-81 с.
  • 4. Аксенов П.П. Теоретические основы раскроя пиловочного сырья. - М.: Лесная промышленность, 1976. - 168 с.
  • 5. Калитеевский Р.Е. Лесопиление в XXI веке. Технология, оборудование, менеджмент. Издание второе, исправленное и дополненное. СПб: Профи КС, 2008. - 496 с.
  • 6. Пижурин А.А., Пижурин А.А. Моделирование и оптимизация процессов деревообработки: учебник. - М.: МГУЛ, 2004. - 375 с.
  • 7. Уласовец В.Г. Технологические основы производства

пиломатериалов. Екатеринбург. УГЛТУ. - 2002. - 510 с.

Агапов Александр Ивановичу Почетный работник ВПО, доктор технических наук, профессор кафедры машин и технологии деревообработки ФГБОУ ВПО «Вятский государственный университет», г. Киров, РФ

УДК 674.093

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >