СЕКЦИЯ «КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ»

УДК: 517.977

ДИСКРЕТНАЯ ЗАДАЧА ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С НЕОПРЕДЕЛЁННЫМ КРИТЕРИЕМ КАЧЕСТВА

DISCRETE OPTIMAL CONTROL PROBLEM WITH UNCERTAIN QUALITY CRITERIA

Абдурахимов A.O., к.ф.-м.н., доцент Собиров А.С., магистрант Курган-Тюбинский госуниверситет имени Носира Хусрава

г. Курган-Тюбе, Таджикистан Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script , Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script DOI: 10Л2737/14441

Аннотация: В статье рассматривается дискретная задача оптимального управления, критерия качества в которой содержит неконтролируемые возмущения. Реализуется адаптивный метод с позиции получения гарантированного результата. Получено пакетное необходимое условие оптимальности для решения задач.

Summary: The article discusses the discrete optimal control problem, the quality criterion which includes uncontrolled indignation. Implemented adaptive method with a position of guaranteed result. Received package necessary optimality condition for solving problems.

Ключевые слова: дискретная задача, критерия качества, возмущения, опорное управление, оптимальное управление, сглаживание, линеаризация, условия оптимальности.

Keywords: discrete task, quality criteria, perturbation, reference control, optimal control, smoothing, linearization, optimality conditions.

Пусть K = {l,2,...J }; J = {l,2,...,n } заданные конечные множества индексов; ак, кеК0 = К^> {о}— п - векторы; Dk = Dk(J, J), kuK0-nxn матрицы,

Рассмотрим дискретную задачу

Dk=Dk >0; bk, kuK0, - скаляры; fk(x) = x’Dk x/2+a'kx+bk ,k u KQ9 квадратичные функции n переменных jc = (*., j e J).

Здесь х = x(t)-п-вектор состояния системы управления в момент времени t; х0 - начальное состояние; u(t)-r- вектор управляющих воздействий; <^к, к е К, - неконтролируемые возмущения; A(t), B(t) - соответственно пхп-,пхт- матрицы; u*(t),u(t),teT,-T - вектор-функции ограничений на управляющие воздействия; ?*» кеК, - векторы ограничений на неконтролируемые возмущения.

Обозначим и, = (м(г), < т < 0; S = {(4, к е К): ?* < 4 < ?**, к е к

Будем говорить, что п-вектор-функция x(t) = x(t,ut teT* = Tyjt* ~ траектория динамической системы (2), порожденная управлением u(t),teT, если она является решением уравнения (2) с начальным условиям (3). Управление u(t),teT назовём допустимым управлением задачи (1) - (5), если оно удовлетворяет ограничениям (4). Траектория, x(t), t еТ* порожденная допустимым управлением, также называется допустимой [1-2]. Качество каждого допустимого управления u(t),teT будем оценить по гарантированному значению критерия качества.

Определение!. Число J = J(u): J = max f(x(t* ), назовём гарантированным

значением критерия качества на допустимом управлении u(t teT.

Определение 2. Допустимое управление u°(t),teT, и соответствующая ему траектория x°(t), teT*, называются оптимальными, если

Задачу (1) - (5) запишем в следующем виде:

Пусть u(t),teT - допустимое управление. С помощью формулы Коши [1-2]:

подсчитаем на нем числа ак = ak{x(t*)) = fk(x(t*)), к е К.

Рассмотрим задачу

Посмотрим множества К+ = К+ (x(t*)) = {к е К: ак > О},

Множество К° разобьём на непересекающиеся подмножества К°+°~:

Пусть Р совокупность всех разбиений вида Р = {^0+,^0-}. Очевидно, что для произвольного реР вектор <^°=(<^кк, кеК) с компонентами

является решением задачи (7). С помощью этого вектора запишем задачу (6) в виде

Следуя [3-4] набору ре?, р = {к0+поставим в соответствие множество Х(Р) = {xeR" :ak(x)>0,keK+; ak(x)< 0, keK~).

В области Х(р), соответствующей фиксированному реР, сформируем задачу

Совокупность дискретных задач оптимального управления (9), соответствующих всевозможным наборам реР, назовём сглаживанием задачи (8). Гладкую дискретную задачу управления (9) будем называть (и,р)~ квадратизацией задачи (8).

Линеаризовав в окрестности управления Au(t) = 0,teT (точки дц/*) = 0) критерий качества и функции ограничений (9), получим задачу

Введем обозначения:

С учётом формулы Коши задачу (10) запишем в виде :

Необходимое условие оптимальности. Пусть {«(•), Моп{р)} - опорное управление задачи (9). Следуя [2,4], опорному управлению {м(-),Мои(р)} поставим в соответствие (локальной) вектор потенциалов;

гДе с = е Rm(t),t е топу, б = [Ф„„(«0/р)1' ?

Для подсчёта вектора соп = (ce(t)JеRon(t етоп) найдем решение y/(t),teT, уравнения y/(t-l) = A'(t)y/(t) с начальным условием y/{k)(t* - l) = a + Dx(t*). Фиксируя у функции c(t) = B'(t)y/c(t) компоненты с индексами ?eR(t) в моменты t е топ, построим вектор соп.

Функцию

будем называть коуправлением, сопровождающим опору Моп(р).

Теорема. Пусть {м°0, М°оп(р) } невырожденное опорное управление. Для оптимальности управление t gT необходимо выполнение соотношений:

Соотношение (13), (14), (15) - (16) получены для набора р - и опоры Моп. Обозначим через Роп) совокупность наборов реР, для которых выполняются соотношения (15)-(16) с опорой Моп. Повторим рассуждение, проведенное в [4], из условия оптимальности получим пакетное необходимое условие оптимальности.

Для оптимальности допустимого управления u°(t),teT, в задаче (8) необходимо существование такого пакета опор Mson,s = 1,-г, что u*=1 Р(Mson) = Р, Р(М'оп)пР(М*„) =0, /, g = 1, г, / ф g, и для сопровождающих их векторов у°(М"оп/р), А°(М'оп/р), peP(Mson), s = 1,г выполняются соотношения (15), (16).

Список литературы

1. Габасов Р., Кириллова Ф.М. Оптимизация линейных систем. Минск: изд-во БГУ, 1973.- 248 с.

  • 2. Габасов Р., Кириллова Ф. М., Костюкова О. И., Ракецкий В.М., Тятюшкин А. И. Конструктивные методы оптимизации. 4.I-IV. - Минск, Университетское, 1984, 1986, 1987.
  • 3. Абдурахимов А. О. Гарантированная минимизация совокупности квадратичных функций// Вестник Белорус, ун-та. сер.1: Физ. мат. Мех. 1991. № 2.- стр.67-70.
  • 4. Абдурахимов А. О. Построение гарантированных решений для двух классов экстремальных задач// Вестник Белорус. ун-та.-Минск, 1991. Деи.в ВИНИТИ В91. № 1256-В91.

УДК 517.929

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >