Эллипсоид вращения

Наиболее простым (после конуса и цилиндра) является построение сфер Данделена для эллипсоида вращения (рис. 2), поскольку эллипс является «штатным» примитивом АШоСАО’а. Строим очерковый эллипс е, его ось вращения / и отрезок Е проекции секущей плоскости (рис. 2, а). На эти объекты накладываем зависимость фиксации («замок»). Строим произвольные окружности 5р как предварительные положения искомых очерков сфер Данделена. К каждой из окружностей 5,, $2 прикладываем геометрические зависимости, отображаемые на экране значками (рис. 2, б) совпадение центра окружности с осью эллипсоида; касание окружности с очерковым эллипсом е касание окружности и отрезка секущей плоскости. После наложения зависимостей окружности приняли положение очерков сфер Данделена

яг Найдены точки Т7,, как фокальные точки конического сечения, выявляемые объектной привязкой пакета. Найдены также точки касания 1, 2 и 3,4 и окружности касания сфер и эллипсоида, соответственно с,, ст На пересечении плоскостей этих окружностей и секущей плоскости Е найдены точки */р d2 как проекции директрис эллипса сечения е*. Задача решена.

Для проверки точности решения выполнялась его экспериментальная проверка. Строили «контрольный» эллипс е*' как истинный вид эллипса е* сечения (рис. 2, в). Методами [4; 7] находили [6] точки фокуса /*1 , и одну из директрис dl . Простановкой размеров определяли значения Ь, Ьг Ь2п сравнивали их с соответствующими контрольными значениями Ь', Ьу . Погрешность не превысила до 10-8(это соответствует предельной точности построений и измерений АШоСАО’а).

Сферы Данделена для эллипсоида

Рис. 2. Сферы Данделена для эллипсоида:

а - исходные данные; б - геометрические зависимости и результат построения; в - контрольный эллипс для оценки точности решения; г - З^-модель.

Для наглядности построена геометрически точная 36-модель задачи (рис. 2, г).

Однополостный гиперболоид, сечение по эллипсу

Исходными данными (рис. 3, а) являются очерковая гипербола И с точками фокуса У7, У7', осями и директрисами с1, 6 а также отрезок секущей плоскости 2. Гиперболу И строили как сечение кругового конуса. Оси гиперболы определяются при ее построении. Точки фокуса У7, У7' и директрисы гиперболы находили по методике [7, 8].

Фиксируем («замок») положение ветвей гиперболы, ее осей, директрис и маркеров точек фокуса (см. рис. 3, а). Для отрезка секущей плоскости 2 задаем совпадение его конечной точки 3 с действительной осью гиперболы х и два размерных параметра т, ang. Это позволит управлять положением секущей плоскости I и, в конечном итоге, воспроизводить множество возможных решений задачи.

Геометрическая зависимость касания на гиперболу (и параболу для параболоида) не распространяется. Поэтому для построения окружности, касательной к гиперболе (и параболе), предложен алгоритм параметризации, который приведем для окружности 5Г

Задаем зависимость совпадения центра окружности 5, с мнимой осью гиперболы / как осью вращения гиперболоида. Строим отрезок присвоим ему зависимость касания к окружности 5, и совпадение конечной точки 1д с этой окружностью. Под действием приложенных зависимостей перемещение отрезка (л| приводит к его скольжению вокруг окружности 5, с точкой касания 1у, а центр окружности 5, перемещается по мнимой оси гиперболы.

Реализуем свойство коник [7]: «Отрезок касательной от точки касания до директрисы виден под прямым углом». Строим треугольник (У7', 1, Г). Накладываем для его вершин зависимости совпадения: в точке 1 с гиперболой, в точке У7' — с маркером точки фокуса, в точке Г — с отрезком директрисы с/ Задаем зависимость перпендикулярности катетов в вершине У7'. При наложенных зависимостях отрезок (1, Г) становится касательным к гиперболе И и при перемещении скользит по ней с перемещающейся точкой касания 1.

Для того чтобы окружность 5, стала очерком сферы Данделена, осталось задать геометрические зависимости: коллинеарность отрезков У и (1, Г), совпадение точек 1 и 1д, касание окружности 5, и отрезка I секущей плоскости (рис. 3, б).

Те же построения выполняем для второй сферы 5,.

В результате решения найдены точки У7, У7 и директрисы с1х, с/2 эллипса сечения е. Для оценки точности решения строили (рис. 3, в) контрольный эл-

Сферы Данделена для эллиптического сечения однополостного гиперболоида

Рис. 3. Сферы Данделена для эллиптического сечения однополостного гиперболоида

Сферы Данделена для сечения однополостного гиперболоида по гиперболе

Рис. 4. Сферы Данделена для сечения однополостного гиперболоида по гиперболе

Конструкции Данделена для сечения квадрик

Рис. 5. Конструкции Данделена для сечения квадрик:

а - двуполостного гиперболоида по параболе; б - однополостного гиперболоида по параболе; в - двуполостного гиперболоида по гиперболе

липе е', определяли его фокусы и директрисы. Расхождение значений Ь, Ьх, Ь2 со значениями V, Ц находится на уровне 10-5. Снижение точности в сравнении с результатом для эллипсоида связано с тем, что очерковая гипербола является сплайн-кривой (в отличие от эллипса — «штатного» примитива, имеющего предельную точность построения 10-8).

Конструкция Данделена для рассмотренного примера наглядно и с высокой точностью воспроизведена на ^-модели (рис. 3, г).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >