Однополостный гиперболоид, сечение по гиперболе

Последовательность решения прежняя. По очерковой гиперболе /г (рис. 4, а), ее точкам фокуса У7, У7' и директрисам с1, с1' в результате параметризации найдено положение окружностей 5,, 52 как очерков сфер Данделена. Касание этих сфер с секущей плоскостью 2 происходит в точках У7, У7, являющихся точками фокуса гиперболы сечения И*.

Для оценки точности решения была построена контрольная гипербола И*' (рис. 4, б) как сечение гиперболоида. Определение ее точек фокуса Р , Р2 и директрис с1х , й?2 выполнено как для сплайн- кривой по методике с применением параметризации [8]. Поскольку гипербола И*' является сплайн-кривой, то погрешность решения дополнительно возрастает. Отмечено расхождение значений Ьх, Ь2 со значениями Ц , Ь2 на уровне 10_3. Для построения контрольной гиперболы и наглядности решения создана ^-модель (рис. 4, в).

Были проверены все сочетания типов коник сечения и квадрик вращения. Часть моделей приведена на рис. 5. Построения выполнялись по приведенному алгоритму параметризации. Во всех случаях сфера Данделена определялась с погрешностью, не превышающей 10_3.

Для полноты исследования положение секущей плоскости задавали размерными параметрами ang,

т (см. рис. 3, а), при изменении которых охватывали всю область возможных решений и положений сфер Данделена. Еще более широкие возможности исследования возникают при параметризации очерковой коники. Для эллипсоида созданная модель уже отрабатывает изменение параметров очеркового эллипса, поскольку он является «штатным» примитивом. Для гиперболоида и параболоида эта возможность также экспериментально проверена. Например, получено параметрическое построение гиперболы по пяти ее точкам или параболы по четырем. В итоге положение сфер Данделена автоматически переопределяется как при изменении положения секущей плоскости, так и параметров очерка всех ПКВ.

Экспериментально установлено, что конструкция Данделена имеет границы своего применения. Один из примеров, когда конструкция не работает, приведен на рис. 6. Показано сечение эллипсоида е плоскостью 2. Положение плоскости 2 привело к тому, что верхняя вписанная сфера 51 касается очеркового эллипса в одной точке, а не в двух, как во всех выше-

Пример нарушения конструкции Данделена

Рис. 6. Пример нарушения конструкции Данделена

рассмотренных примерах. Точка N касания этой сферы с секущей плоскости X уже не является фокусом эллипса сечения е*, а линия п пересечения плоскости X и плоскости касания X, не является директрисой эллипса сечения. Расхождения с параметрами контрольного эллипса е*' показаны как 8 и 8*. Для нижней сферы 52, которая касается очеркового эллипса в двух точках, конструкция Данделена действует.

Обсуждение результатов

Результаты работы рассмотрим как с позиции решения задачи Данделена для ПКВ, так и при оценке метода параметризации, примененного для ее решения.

Известно [4, 6], что «ключевым моментом в доказательстве теоремы Данделена является то, что на конусе есть семейство прямолинейных образующих». Именно это определяет приложение теоремы, прежде всего, для кругового конуса. Линейчатый характер поверхности однополостного гиперболоида, видимо, позволил Данделену развить свою теорему и на эту поверхность [10]. Тот факт, что в нашей работе сферы Данделена удалось построить для нелинейчатых квадрик (эллипсоид, параболоид, двуполостный гиперболоид), говорит о том, что статья содержит элемент научной новизны.

В отсутствие надежного теоретического обоснования нового метода полученный результат построения сфер Данделена для всех квадрик вращения является только «правдоподобным». Хотя здесь возникают известные вопросы, что считать доказательством и геометрически точным решением. Можно ли за доказательство принять правдоподобный результат, многократно экспериментально повторяющийся и имеющий требуемую точность?

Параметризация показала себя как новый эффективный инструмент геометрического моделирования и решения задач конструктивным методом (т.е. геометрическими построениями «доступным инструментом»), Применение параметризации [8, 9] расширяет границы доступных для решения задач, прикладных и учебных. Однако в учебном плане есть опасение, что новый инструмент может скрыть геометрический смысл решения. Ведь от пользователя требуется лишь обозначить взаимосвязи между геометрическими элементами. Остальное делает компьютер. Но это неизбежный шаг в развитии: всегда что- то переходит в базу знаний, как в архив.

В связи с параметризацией вспомним дискуссию о «кнопочных технологиях». Сейчас она приутихла, ибо все стали нажимать на кнопки и поняли неизбежность этого. Но от преподавателя требуется методическая работа — чему учить, а что передать на «кнопочные технологии». Известно, что составить алгоритм решения задачи — это уже почти ее решить. В этом плане параметризация и есть творческое составление алгоритма. Остальное — «дело техники».

Освоение параметризации ставит под сомнение значимость многих, в том числе и продолжающихся, работ, основой которых является построение математической или геометрической модели. Сейчас вместо сложных аналитических или проективных выкладок зачастую достаточно составить алгоритм в виде параметрической модели. Рассмотренная нами задача Данделена является примером такого подхода.

Владение методом параметризации позволит получить решение прикладных задач инженерным методом, не дожидаясь создания доказательной аналитической или геометрической модели.

Еще более широкие перспективы в прикладном и учебном планах имеет 3(1-параметризация, методы и примеры применения которой приведены в работе [9]. Заданием пространственных геометрических зависимостей просто и наглядно, доступно для студентов, становится возможным решение и исследование сложнейших пространственных задач, для которых трудно предположить возможность аналитического или геометрического решения (особенно в рамках учебного процесса). Все построения выполняются непосредственно в ^-пространстве. В связи с этим в очередной раз проявляется необходимость скорейшего перехода к альтернативному курсу теоретических основ .^-компьютерного геометрического моделирования.

Выводы

  • 1. Средства параметрического моделирования современных САПР позволяют геометрически точно и доступно решать сложные инженерные прикладные задачи и находить оптимальные решения.
  • 2. На основе параметризации создан алгоритм построения сфер Данделена для произвольных квадрик вращения.

Литература

  • 1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981.
  • 2. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии. М.: Высшая школа, 2008.
  • 3. Логиновский А.Н., Хейфец А.Л. Решение задач на основе параметризации в пакете AutoCAD / Геометрия и графика. 2013. Т. 1. №. 2. С. 58-62. DOI: 10.12737/793.
  • 4. Начертательная геометрия / Н.Ф. Четверухин [и др.]. М.: Высшая школа, 1963.
  • 5. Начертательная геометрия: Учебник для вузов / Н.Н. Крылов [и др.]. 11-е изд., стереотип. М.: Высшая школа, 2010.
  • 6. Нилов Ф.К. Сферы Данделена. Лекция на Малом мехмате МГУ, 2011 г. / Лекция 22 (291) 7.04.2012. URL: http://www.geometry.ru/video.htm
  • 7. Пеклич В.А. Начертательная геометрия. М.: АСВ, 2007.
  • 8. Хейфец А.Л. Алгоритмы моделирования коник в пакете AutoCAD / Совершенствование подготовки учащихся и студентов в области графики, конструирования и стандартизации. Межвузовский научно-методический сборник. Саратов: СГТУ, 2013. С. 34—39.
  • 9. Хейфец А.Л., Логиновский А.Н. Параметризация как средство решения задач 3D компьютерного геометрического моделирования / Труды XX Международной научно-технической конференции «Информационные средства и технологии». Т. 1. М.: МЭИ. 2012. С. 72-80.
  • 10. Шаль М. Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов: Т. 2: Примечание IV. О способе построения фокусов и доказательства их свойств на косом конусе. М.: Моек. мат. общ-во, 1883. (Интернет, электронный ресурс).
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >