ИНЖЕНЕРНАЯ ГРАФИКА И ЧЕРЧЕНИЕ

Численные приближения «золотого сечения» с точки зрения графики и аппликации

Аннотация. Рассмотрены методы графического построения золотой пропорции. Прослеживается история поэтапного развития взглядов на проблему золотого сечения как «закона красоты». Приведены числовые соотношения, наиболее часто применяемые в искусстве для приближений деления отрезка в крайнем и среднем отношении. Предложена оригинальная схема построения «золотого прямоугольника» на базе аппликации, предложенной Леонардо да Винчи для решения задачи о квадратуре круга.

Термин «золотое сечение» появился в математике XVII столетия (различные источники приписывают его разным авторам), но соотношения, о которых идет речь, применяются на практике с глубокой древности и прослеживаются еще в древнеегипетской скульптуре и архитектуре эпохи Древнего царства (см., напр. 14]). Геометрическая интерпретация этого соотношения дана в IV книге «Начал» Евклида [7, с. 173—174] в связи с делением окружности на 5 и 10 равных частей, а также построением правильной пятиконечной звезды, которая, являясь в античные времена эмблемой тайного общества пифагорейцев, прошла через Зрелое Средневековье в качестве символа масонских лож и, наконец, в XX столетии оказалась в государственной символике СССР и США. Гете в первой сцене Фауста с Мефистофелем приписывает этому символу, называемому пентаграммой, магические свойства, подавляющие волю дьявола и не позволяющие ему покинуть комнату. На самом деле отрезки, составляющие правильный пятиугольник и вписанную в него пентаграмму, либо равны между собой, либо находятся в соотношении, которое в искусстве и Античности, и Нового времени рассматривалось как проявление Божественного Закона Красоты (рис. 1).

Пентаграмма и её построение с помощью циркуля и линейки

Рис. 1. Пентаграмма и её построение с помощью циркуля и линейки

Первый систематический научный труд с исследованием пропорций, и в особенности рассматриваемого соотношения, принадлежит, видимо, тосканскому монаху [6, с. 154—158] Луке Пачоли (1445—1517) и опубликован в 1509 г. под названием De divina propor?one («О Божественной пропорции»). Считают, что знаменитые геометрические рисунки Леонардо да Винчи выполнены в качестве иллюстраций для этого издания.

Прежде всего важно отметить, что подходы к проблеме золотой пропорции как математического закона красоты — в разные эпохи отличались примерно так же, как и подходы к математике вообще. Их можно пояснить с помощью заголовков в лекциях по математике великого Феликса-Христиана Клейна (см. [41):

Античный мир — Геометрия;

Средневековье — Алгебра;

Новое время — Анализ.

Если древние греки видели в математике прежде всего Геометрию [6, с. 27, 49], соответственно, и у Евклида мы видим чисто геометрическое истолкование пропорции «золотого сечения», приведенное на рис. 1. В математических изысканиях Средних веков преобладало увлечение Арифметикой и Алгеброй в связи, во-первых, с появлением арабских цифр (они, вообще-то, индийские, см. [6, с. 125]), во-вторых, с трудами основателя алгебры ([6, с. 113]), великого арабского математика Абу Абдуллаха Мухаммада ибн Мусы аль-Хорезми (если можно так перевести — «Магомета Моисеевича из Хорезма»), который жил в IX в. Кстати, от слова «аль-Хорезми» (из Хорезма) происходит термин «алгоритм» [6, с. 124]. Средневековый подход к математике обобщен в эпоху Возрождения, как раз являющуюся переходом от Средних веков к Новой истории, и отражен в труде Луки Пачоли и последующих исследователей. Золотая пропорция определяется правилом «отношение меньшего к большему равно отношению большего к сумме». Тогда, желая выяснить, какую долю занимает меньшее, если большее принять за единицу (или наоборот), имеем:

что приводит нас к необходимости решения квадратного уравнения:

или

Решение этого уравнения дает так называемый «коэффициент золотого сечения»:

Но дело, вообще говоря, не в самом коэффициенте, а в магии цифр, являющейся наследием средневековых преобразований в их начертании. Именно Средневековье ввело позиционную + десятичную систему представления чисел, и внимание современного человека привлекает тот факт, что два корня нашего уравнения в десятичной записи имеют, если позволят так выразиться, «одинаковые хвосты»:

а если в метафоре пойти еще немного дальше, напоминают «родителя и ребенка».

В самом деле, если античным мыслителям в изящной геометрической форме пятиконечной звезды с ее «руками и ногами» виделся ключ к разгадке красоты человеческого тела, которому они приписывали подобие физическому телу Божества, эпоха Возрождения прибавила к этому еще выраженную в числовой записи способность к воспроизводству, свойственному всему живому. Поскольку наступала эра Математического анализа, то и в Геометрии начали подмечать следы прогрессий, бесконечных рядов, а также деталей, воспроизводящих целое. Так, в пентаграмме теперь интересны не только общие соотношения, но и то, что в малый пятиугольник, образующийся в центре звезды (см. рис. 1) можно вписать новую малую пропорциональную звезду, подобие большей, и продолжать этот процесс «воспроизводства вида» до бесконечности. Теперь золотая пропорция стала рассматриваться как закон всей живой природы, и человечество начало искать в ней соответствующие соотношения, вписывая в «золотой прямоугольник» и свободно растущее дерево, и отдельные его листья, и тому подобные объекты наблюдений. Стали искать золотое сечение не только в человеческой фигуре в целом, но и в каждой его части вплоть до фаланг пальцев [2, гл. 4].

К этому нельзя относиться насмешливо или свысока. Вообще, если новые эпохи при изменении форм представления сохраняют необычность и исключительность предмета, такие случаи заслуживают особенного внимания и серьезного к ним отношения. Приведем в связи с этим еще один «историко-математический» пример.

В 70 г. новой эры известный ныне всему миру Иоанн Богослов, а в то время безвестный заключенный на греческом острове Патмос, работал над посланием своим единомышленникам в материковой части Римской империи. Желая укрепить их дух в деле борьбы с империализмом, он хотел рассказать о знамении грядущей победы, данном ему во сне. Но он не мог прямо называть Рим, потому что все послания заключенных перлюстрировались, и вынужден был прибегнуть к иносказаниям и конспирации. В то время евреи и греки в национальном письме и быту записывали числа с помощью букв, в официальных же отношениях господствовала римская транскрипция. Иоанн называет римскую власть «зверем», а чтобы адресат догадывался, о каком звере идет речь, дает ему символический признак, перечисляя подряд, но в обратном порядке (т.е. по-еврейски), все символы, служившие Риму для записи чисел:

ОСЬХУ1

Средневековье, вырабатывая догматы христианства, переписывает эти символы в соответствии с новым математическим представлением. Оказывается, в новой записи, вовсе не существовавшей в античном мире (зачатки позиционной системы были в Вавилоне, но у них не было символа нуля, см. [6, с. 12]), получается, что

666

передается тремя одинаковыми цифрами (а Бог — Троица), и это расширяет толкование античного революционера до уровня вселенского Божественного установления. Революционер становится Апостолом веры, а Рим вырастает во весь Мир.

Но вернемся к средневековому и ренессансному переосмыслению природной красоты. Кроме науки (теории) существует искусство (практика). Здесь иррациональные числа необходимо заменять предельно простыми их приближениями. Для золотого сечения таковыми могут служить члены так называемого «ряда Фибоначчи», названного в честь великого итальянского математика Леонардо да Пиза (1180—1240), получившего свое прозвище (Fibonacci — от flbbia, fibula (пуговица) [11, с. 405], вероятно, за франтовство (он был сыном богатого купца) и пристрастие к красивым пуговицам. В ряде чисел Фибоначчи каждое последующее число представляет сумму двух предыдущих. Оказалось, что если при записи простой дроби в последующий числитель переписывать предыдущий знаменатель, а знаменателем брать очередное число Фибоначчи (т.е. сумму предыдущих числителя и знаменателя), то получаются последовательные приближения золотого сечения:

причем эти значения, неуклонно приближаясь к истинному иррациональному значению, строго чередуются: одно с избытком — другое с недостатком. Судя по трактатам великого итальянца, ему уже были известны свойства этой последовательности, но их связь с иррациональным числом была доказана позднее, уже в «эпоху Анализа», т.е. Высшей математики, начавшейся с теории пределов, введения понятия бесконечности и сходимости рядов. История этого доказательства связана с представлением коэффициента золотого сечения в виде бесконечной дроби вида

и т.д. [10, с. 38-45].

Стоит ли говорить, что и в новейшую эпоху вид этой бесконечной дроби, состоящей из одних единиц, не подорвал, а наоборот, укрепил магическое действие данного соотношения на умы математиков-иде- алистов и художников-реалистов.

В таком виде наука и искусство подошли к XX столетию, знаменующему окончание Нового Времени. Это был конец света, если под ним понимать Старый Свет. Вообще не следует забывать, что в Апокалипсисе Иоанна Богослова описан процесс, а не одномоментное явление. В жизни старой Европы (да и вообще всего «ближневосточного» очага цивилизации) прослеживаются четкие вехи, воплощающие Откровение Иоанна и одновременно являющиеся разделами истории европейской культуры — спутницы христианского культа:

  • 1) падение Западного Рима в V столетии, знаменующее конец Античности и начало Раннего Средневековья (сбывается пророчество Иоанна в узком смысле);
  • 2) конец Раннего и начало Зрелого Средневековья. На исходе X в. вся Западная Европа ждала конца света на основании библейских слов о тысячелетнем царстве (в истории это движение известно под названием хилиазм или милленаризм). В 1001 г. процесс конца света действительно начался с открытием Америки Лайфом, сыном Эйрика Рыжего, но в 1001 г. Западная Европа этого не заметила;
  • 3) большинство историков думает, что хилиазм не затронул Восточную Европу, т.е. Россию. Это неверно. Просто Россия иначе считала — от глубинной даты Сотворения Мира в 5508 г. до Р.Х. (Эта цифра вычислена по греческим источникам. Кстати, никто не отдает себе отчета, о каком «Мире» идет речь: а археология подтверждает, что это как раз время возникновения цивилизованного мира, т.е. городов-государств, употребления металлов и т.д., если говорить о мировой культуре. Если же сосредоточиться на ближневосточном ее очаге, то получим дату еврейских источников — 3760 г. до н.э.). На исходе очередного (седьмого) тысячелетия Россия переживала все признаки западноевропейского хилиазма. Падение Восточного Рима (Византии) явилось серьезным предзнаменованием, и, наконец, ровно в 7000 (1492) г. Христофор Колумб вторично открыл европейцам Америку и положил начало уже глубинному Апокалипсису. Но опять, теперь уже Восточная, Европа этого не заметила.

О глобальном процессе, инициированном эпохой возрождения Античности, мы много знаем, но не придаем своим знаниям должного значения. Достаточно сказать, что мы привыкли называть расизмом сущие мелочи, тогда как истребление человечества

в Новое Время оставило на Земле всего человеческих рас. До этого их было 5, в соответствии с пятью частями света: 1) белая европейская; 2) желтая азиатская; 3) черная африканская; 4) красная американская и 5) коричневая австралийская расы. Строго в соответствии с золотым усечением мы не просто уничтожили две последние, но, видимо, желая оправдать свою жестокость, прокляли их, и теперь термином «красно-коричневая чума» символизируем неприятные нам крайности коммунистического и фашистского экстремизма.

Этот побочный мистико-исторический экскурс нужен был для того, чтобы провести следующую мысль: человечество в целом тоже способно заблуждаться. Это необходимо иметь в виду, чтобы отважиться сформулировать нашу гипотезу относительно общечеловеческого признания закона красоты как пропорции золотого сечения. И в этом нам поможет развитие науки и искусства в XX в. Этот век был временем торжества войны, разрушения и революций. Достаточно вспомнить об одновременных февральских революциях 1917 г. — социальной в России и музыкальной Цак) в Америке. Обе имели террористическую составляющую. И если у первой она очевидна, то у второй не лежит на поверхности, так как в ее основе — несовпадение механического и биологического ритмов, действующее как наркотик, а между тем наркомания — вещь куда более опасная, чем физическое уничтожение индивида. В изобразительных искусствах террор в отношении художника начался с технической революции — изобретения и развития фотографии, что превратило реалистов из востребованных членов цивилизации в безработных. Не случайно, что именно в изобразительных искусствах берет начало характерный для XX в. критический нигилизм, постепенно приводящий к отрицанию буквально всех предшествующих достижений. Если же говорить конкретно об отношении сегодняшних исследователей к золотой пропорции, то все еще продолжается борьба между ярыми защитниками прошлого, находящими золотые соотношения буквально во всем — от движения небесных тел [1] до деформаций и колебаний балок при статической или динамической нагрузке [5, гл. 11] — и другими, считающими, что первые принимают желаемое за действительное, произвольно вылавливая из массы окружающих нас числовых значений нужные для оправдания своих теорий. Как пример последнего мнения можно привести работу [8], в которой вычислена пропорция знаменитого «канона» Леонардо да Винчи (рис. 2), не совпадающая с теорией Луки Пачоли и дающая коэффициент 1,526. Следует, однако, отметить, что большинство нигилистов XX в. все же признают, что прямоугольник золотого сечения производит на глаз приятное впечатление по сравнению с более вытянутыми или сплющенными фигурами. В течение всего XX в. большинство книг имело формат, близкий к этому прямоугольнику. Впрочем, стандартные чертежные форматы исходя из утилитарной необходимости получать при разрезании пополам те же пропорции используют коэффициент ,/2 = 1,41 — настолько грубый, что его даже вообще трудно считать приближением 1,618.

Теперь пора объяснить, как мы намерены примирить упомянутые крайние точки зрения XX в. по отношению к золотой пропорции. Будем исходить из фактического материала. Обратимся к рисунку Леонардо да Винчи (рис. 2).

Первое, что бросается в глаза, — здесь нет и в помине никакого золотого прямоугольника, а из геометрических фигур присутствуют только квадрат и круг. Это наводит на мысль, что в пропорциях человеческого тела он искал природное взаимодействие геометрии прямой с геометрией окружности, выражаемого, как известно, числом я (отношением длины окружности к величине ее диаметра). Мы рискнем пойти еще дальше и представить себе, что число измерений реального пространства не 3, а именно я. В самом деле, если линия имеет одно измерение, поверхность — 2, то при переходе в пространство с поверхности земли (Гёсорётрих — землемерие), мы должны учитывать кривизну этой самой земли. Значит, третье измерение — не совсем единица, и Евклид был неправ, считая, что траектории двух камней, падающих на землю, никогда не встретятся. Иными словами, мы склонны считать, что соотношения жизни в пространстве и ее двумерного изображения должны приближенно выражаться коэффициентами

Рис. 2

Практическая арифметика древнего мира довольствовалась первыми четырьмя действиями над целыми числами. Эта привычка перешла в традицию, и по сей день искусство пользуется дробями (т.е. результатом деления) из ряда Фибоначчи, причем самыми грубыми приближениями, из которых пятое,

= 0,625 000 000..., встречается реже и почти исключительно в архитектуре, что, видимо, объясняется удобством четного знаменателя. Чаще же мы встречаем приближения третье и четвертое:

Третьим, «апокалиптическим», довольствуется музыкальное искусство (фуги Баха, концерты Рахманинова, где наиболее яркие и напряженные

фрагменты музыки звучат по прошествии — от общей

длительности звучания отдельной пьесы). Такого приближения здесь достаточно, так как при слуховом восприятии во времени неточность менее заметна, чем при непосредственном визуальном в живописи. Что же касается истинного значения коэффициента закона красоты, то еще Ф. Клейн (1849—1925) заметил [4, с. 52—53], что уже 4-я значащая цифра в десятичном представлении числа в практической деятельности совершенно неразличима, или, как он выражается, «не имеет наглядности». В самом деле, мы легко представляем себе разницу между 12 и 18 овцами, а вот как оценить на глаз: 2503 их в стаде или 2506? Следовательно, в законах визуальной оценки золотой пропорции вопрос истины кроется максимум во втором знаке после запятой. Если древняя эстетика видела в красоте целые числа, средневековая — дроби, а постсредневековая — радикалы, то, может быть, настала пора, при достаточно изощренной математике, вспомнить и трансцендентное число я? Первый из предложенных нами коэффициентов

(«с избытком», . ) ближе к классической традиции,

лежит между наиболее употребительными в классическом искусстве значениями:

и связан со знаменитой задачей античности о квадратуре круга [9]: найти величину стороны квадрата, по площади равного кругу заданного радиуса. Неправильно считать, что эта задача не решена: не найдено классического решения с помощью циркуля и линейки, но есть решение с помощью ножниц, бумаги и аппликации — оно принадлежит как раз Леонардо да Винчи [6, с. 2681 — это развертка боковой поверхности цилиндра высотой в полрадиуса, т.е.

Если взять четыре таких леонардовских полосы и склеить длинными сторонами, то получится прямоугольник, соответствующий нашему коэффициенту, на глаз совершенно не отличимый от классического золотого прямоугольника (рис. 3).

Золотой прямоугольник как развертка цилиндра

Рис. 3. Золотой прямоугольник как развертка цилиндра

Что касается второго предложенного нами коэффициента, то интерпретация его не менее проста, только разворачивать надо длину окружности, а не поверхность цилиндра. Представим половину круга, затем возьмем величину диаметра в виде одной стороны прямоугольника, а полуокружность — в виде другой (рис. 4).

В конце концов, каковы истинные размеры «золотого прямоугольника красоты», связаны ли они с иррациональными корнями квадратного уравнения или же подчинены более хитрому математическому закону, неизвестно. Может оказаться, что через тысячи лет выяснится, что человечество заблуждалось, а наша с Леонардо да Винчи аппликация нащупала правильную дорогу к истине, вопреки всем скептикам XX в. Во всяком случае, к отрицающим божественное природное начало в золотом сечении можно в какой-то степени применить изречение Льва Толстого: «Если дикарь разочаровался в своем деревянном боге, это вовсе не означает, что бога нет, а только то, что Бог — не деревянный».

Квадратура, полученная разверткой полуокружности — золотой прямоугольник

Рис. 4. Квадратура, полученная разверткой полуокружности — золотой прямоугольник

Возможно, впрочем, что, воображая некое тп-мерное пространство, мы придаем слишком большое значение взаимоотношению прямой (алгебраической линии I порядка) и окружности (линии II порядка). Но можно предположить и то, что эти отношения играют основополагающую роль в геометрии. Например, с помощью их свойств можно достаточно кратко и наглядно доказать основную теорему неевклидовой геометрии (о параллельных прямых), в то время как в свое время у Ф. Клейна это доказательство заняло целый фолиант и потребовало создания новой теории групп. Но это уже тема другой статьи.

Литература

  • 1. Бутусов К.П. «Золотое сечение» в Солнечной системе //Труды ВАГО. Вып. 7. М.-Л., 1978.
  • 2. Волошинов А.В. Математика и искусство. М., 2000.
  • 3. Ивлев С.А. Художественная культура Древнего Востока. М., 2001.
  • 4. Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей. T. 1 / Пер. с нем. Д.А. Крыжановского. М.-Л., 1933.
  • 5. Коробко В.И. Золотая пропорция и проблемы гармонии систем. М., 1997.
  • 6. Кэджори Ф. История элементарной математики / Пер. с англ, под ред. И.Ю. Тимченко. Одесса, 1910.
  • 7. Начала Евклида с пояснительным введением и толкованиями М.Е. Ващенко-Захарченко. Киев, 1880.
  • 8. Радзюкевич А.В. Красивая сказка о «золотом сечении» //Академия Тринитаризма. URL: www.trinitas.ru/rus/ doc/0232/009a/02320016.htm
  • 9. Рудио Ф. О квадратуре круга. Архимед, Гюйгенс, Ламберт, Лежандр / Пер. с нем. под ред. С.Н. Бернштейна. М.-Л., 1936.
  • 10. Тимердинг Г.Е. Золотое сечение / Пер. с нем. под ред. Г.М. Фихтенгольца. Петроград, 1924.
  • 11. Zorko G.F. Nuovo grande dizionario Italiano-Russo. M., 2006.

References

  • 1. Butusov K.P. «Zolotoe sechenie» v Solnechnoy sisteme [«Golden Section» in the solar systeml. Trudy VAGO [Works WAGO|. I. 7. Moscow, Leningrad, 1978.
  • 2. Voloshinov A.V. Matematika i iskusstvo [Mathematics and Art], Moscow, 2000.
  • 3. Ivlev S.A. Khudozhestvennaya kul'tura Drevnego Vostoka [Artistic culture of the ancient East], Moscow, 2001.
  • 4. Kleyn F. Elenientarnaya matematika s tochki zreniya vysshey [Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint!. V. 1. Moscow, Leningrad, 1933.
  • 5. Korobko V.I. Zolotayaproportsiya iproblemy garmonii system [The golden proportion and harmony of systems problems!. Moscow, 1997.
  • 6. Kedzhori F. Istoriya elementarnoy matematiki [History of elementary mathematics]. Odessa, 1910.
  • 7. Nachala Evklida spoyasnitel'nym vvedeniem i tolkovaniyami M.E. Vashchenko-Zakharchenko [Euclid with an explanatory introduction and interpretations M.E. Vashchenko- Zakharchenko |. Kiev, 1880.
  • 8. Radzyukevich A.V. Krasivaya skazka o «zolotom sechenii» [A beautiful fairy tale about «the golden section»]. Akademiya Trinitarizma [Academy of Trinitarism], Available at: www. trinitas.ru/rus/doc/0232/009a/02320016.htm (Accessed 17 February 2006) (in Russian)
  • 9. Rudio F. O kvadrature kruga. Arkhimed, Gyuygens, Lambert, Lezhandr [On squaring the circle. Archimedes, Huygens, Lambert, Legendre], Moscow, Leningrad, 1936.
  • 10. Timerding G.E. Zolotoe sechenie [The Golden Section|. Petrograd, 1924.
  • 11. Zorko G.F. Nuovo grande dizionario Italiano-Russo. Moscow, 2006.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >