Развитие познавательных универсальных учебных действий обучающихся в процессе решения заданий с параметром

Development of Cognitive Universal Learning Activities for Students while Solving Tasks with a Parameter

Получено 05.07.2017 Одобрено 18.08.2017 Опубликовано 25.10.2017 H.A. ЖУРАВЛЕВА,

канд. пед. наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева, г. Красноярск

e-mail: Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script М.Б. ШАШКИНА,

канд. пед. наук, доцент кафедры математического анализа и методики обучения математике Красноярского государственного педагогического университета им. В.П. Астафьева, г. Красноярск

e-mail: Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script

УДК 373.1 DOI: 10.12737/article_59ca544952a481.06451085 N.A. ZHURAVLEVA,

Candidate of Pedagogical Sciences,Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics in Higher School, Krasnoyarsk State Pedagogical University named after V.P. Astafiev, Krasonyarsk

e-mail: Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script M.B. SHASHKINA,

Candidate of Pedagogical Sciences,Associate Professor, Department of Mathematical Analysis and Methods of Teaching Mathematics in Higher School, Krasnoyarsk State Pedagogical University named after V.P. Astafiev, Krasnoyarsk

e-mail: Этот адрес e-mail защищен от спам-ботов. Чтобы увидеть его, у Вас должен быть включен Java-Script

Аннотация

В статье актуализируется проблема формирования универсальных учебных действий обучающихся средствами предмета «Математика». Предлагается использовать дидактический потенциал заданий с параметром для развития познавательных универсальных учебных действий (УУД) на уроках математики. При решении заданий с параметром требуются: умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратная работа с областью допустимых значений переменного и параметра, т.е. высокий уровень логического мышления и математической культуры. Поэтому можно утверждать, что при использовании таких заданий в процессе обучения математике возможно формирование и развитие логических, знаково-символьных и исследовательских УУД (по А.Г. Асмолову). Авторами представлен комплекс тренировочных упражнений на развитие познавательных УУД на основе различных заданий с параметром основной волны ЕГЭ 2017 г.

Ключевые слова: универсальные учебные действия (УУД), логические действия, знаково-символьные действия, исследовательские действия, задания с параметром, обучающиеся, ЕГЭ.

Abstract

The article highlights the problem of developing universal learning activities of students at Mathematics lessons. It is proposed to use the didactic potential of tasks with a parameter developing cognitive universal learning activities while studying mathematics. By solving tasks with a parameter, students need to be able to show quite advanced logical reasoning, to work accurately with the range of permissible values of the variable and the parameter, i.e. they should demonstrate high level of logical thinking and mathematical culture. Therefore, it can be argued that when using such tasks in the process of teaching mathematics, it is possible to form and develop logical, symbolic and exploratory learning activities (according to A.G. Asmolov). The authors present a set of training exercises for the development of cognitive universal learning activities on the basis of various tasks with a parameter used during the Unified State Examination mass testing in 20 7 7.

Keywords: universal learning activities, logical actions, symbolic actions, research activities, tasks with a parameter, students, USE.

Введение в школу Федеральных государственных образовательных стандартов обозначило необходимость достижения новых образовательных результатов — овладение обучающимися совокупностью универсальных учебных действий, позволяющих ставить и решать важные жизненные и профессиональные задачи [3]. Результат анализа научных работ, посвященных проблеме формирования УУД, позволяет определить это понятие как совокупность способов действий обучающегося, обеспечивающих способность к самостоятельному успешному усвоению новых знаний и умений, а также организацию этого процесса, т.е. умение учиться.

Расширение спектра образовательных результатов с привычных предметных до метапред- метных и личностных выявило в школьном образовании научно-методическую проблему: как средствами каждого предмета формировать и развивать УУД обучающихся? Ведь для этого необходимы новые методики, технологии, формы и средства обучения.

F(x,a) = 0, G(x) = 0

ний

В арсенале предмета «Математика» имеется классический набор задач, который осваивается обучающимися в процессе школьной подготовки. Такие задачи можно встретить в каждом школьном учебнике. Но для того чтобы акцентировать внимание на метапредметной составляющей процесса обучения, необходимо иначе работать с привычным математическим материалом. Цель данной статьи — обозначить один из возможных путей решения данной проблемы, а именно предложить методическую идею развития УУД обучающихся в процессе решения математических задач конкретного типа — заданий с параметрами.

Решение задач с параметрами является одним из самых трудных разделов школьной математики. В таких задачах требуется не только владение стандартными методами решения уравнений и неравенств, но и умение проводить довольно разветвленные логические построения, аккуратная работа с областью допустимых значений (ОДЗ) переменного и параметра. Это требует от школьника высокого уровня логического мышления и математической культуры, причем, в свою очередь, эти задачи сами способствуют их развитию.

Задания с параметром, в частности предлагаемые в профильном ЕГЭ по математике, предполагают исследование различных вариантов решения уравнения F(x, а) = 0 относительно переменного х на области допустимых значений параметра а. Ключевой момент решения — это определение контрольных и граничных значений параметра, в результате чего данное уравнение (неравенство) разбивается на частные уравнения (неравенства) определенных типов. Необходимо определить характеристики каждого или нескольких типов частных уравнений (неравенств) в зависимости от условия задачи.

Обратим внимание на то, что действия, которые необходимо выполнить в процессе решения заданий с параметром, можно отнести к познавательным УУД, выделенным А.Г. Ас- моловым [1]:

• ? исследовательским действиям (самостоятельное выделение гипотез и их проверка);
• ? знаково-символьным действиям (создание и преобразование модели, ее использование для решения задач);
• ? логическим действиям (анализ объектов с целью выделения существенных и несущественных признаков; синтез как составление целого из частей, в том числе с самостоятельным достраиванием, восполнением недостающих компонентов; выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов; установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рас- суждений).

Таким образом, можно утверждать, что при решении заданий с параметром формируются и развиваются познавательные УУД, следовательно, уровень владения ими учащимися взаимосвязан с успешностью решения заданий такого типа.

Рассмотрим задания с параметром, предлагаемые на профильном экзамене в 2017 г. При проверке заданий с развернутым ответом экспертами было замечено, что в прошлом году такие задания решались лучше за счет много- вариативности решения [2]. В этом году для всех заданий с параметром основной волны экзамена подходил либо аналитический, либо координатно-графический метод решения. Большинство экзаменуемых использовали аналитический метод, который лежал на поверхности, однако далеко не всегда получалось довести решение до конца из-за отсутствия идеи, непонимания смысла заданий с параметром и отсутствия необходимого уровня сформированности познавательных

УУД.

Чисто аналитически провести преобразования, получив уравнение вида F(x,a)G(x) = 0, было не так уж сложно. А вот далее, при переходе к исследованию решений совокупности уравнеи поиске ответа на вопрос о количестве решений уравнения на данном отрезке, нить адекватных рассуждений, как правило, терялась, возникали трудности математического и логического характера. Многие экзаменуемые пытались решать каждое из уравнений полученной совокупности часто без учета ОДЗ и не могли потом логически совместить полученные решения с условиями задачи для поиска граничных значений параметра.

Предлагаем комплекс тренировочных упражнений на развитие познавательных УУД на основе различных заданий с параметром, представленных в основной волне ЕГЭ 2017 г.

Обучающимся предлагаются карточки, содержащие задание с параметром, незавершенное решение данного задания, а также вопросы, отвечая на которые обучающийся должен самостоятельно завершить решение задания.

• 1. Объясните, почему иррациональное уравнение не имеет больше корней на отрезке [0; 1 ].
• 2. Выдвиньте гипотезу о количестве корней, принадлежащих отрезку [0;1]. При каких значениях параметра а это выполняется?
• 3. При каком значении параметра а уравнение будет иметь два корня -х =0 и х = 1?
• 4. При каких значениях параметра уравнение не будет иметь корней на отрезке [0;1]?
• 5. Определите значения параметра а, при котором уравнение будет иметь один корень х = 1.
• 6. Проверьте, подтвердилась ли гипотеза, и запишите ответ, перечисляя значения параметра в порядке возрастания от -оо до -оо.

• 1. При каких значениях параметра уравнение будет иметь два корня на [0;ти] ?
• 2. При каких значениях параметра уравнение не будет иметь корней на [0;л]?
• 3. При каких значениях параметра уравнение будет иметь один корень на [0;л]?
• 4. Проведите сериацию — расположите значения параметра по количеству решений в возрастающем порядке и запишите ответ.

III. Найдите все значения параметра а, при каждом из которых уравнение tg(/zr) - ln(x + a)=ln(x-l-a) имеет ровно один корень на отрезке [б; l].

В логической схеме анализа (см. рис. 1) заполните прямоугольники и проведите синтез - соберите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке [0;1].

Составьте логическую схему анализа и проведите синтез: укажите все значения параметра а, при которых уравнение имеет ровно один корень или не имеет решений на отрезке [0;1].

1. На плоскости Оах (см. рисунок 2) постройте прямые в указанных границах.

Рис. 2

2. При каких значениях параметра уравнение не будет иметь корней на [0;3] — в выделенной области?

Доведите решение уравнения с параметром до конца, построив логические цепочки рассуждений, используя все приемы из предыдущих заданий.

Таким образом, обучающиеся совершенствуют уровень владения УУД в процессе выполнения следующих заданий:

• ? выдвижение гипотезы и ее проверка;
• ? создание и преобразование математической модели (графика);
• ? анализ объектов с целью выделения существенных и несущественных признаков;
• ? синтез как составление целого из частей, в том числе с самостоятельным достраиванием, восполнением недостающих компонентов;
• ? выбор оснований и критериев для сравнения, сериации, классификации объектов;
• ? установление причинно-следственных связей, построение логической цепи рассуждений. При этом не теряется математическая составляющая образовательного процесса, как это часто бывает при переориентации на метапред- метные образовательные результаты. Предлагаемая идея может быть распространена на другие типы математических задач и виды УУД.

Список литературы

• 1. Асмолов А.Г. Проектирование универсальных учебных действий в старшей школе [Текст] / А.Г. Асмолов [и др.] // Национальный психологический журнал,- 2011.-№ 1(5).-С. 104-110.
• 2. Журавлева Н.А. ЕГЭ 2016. Извлекаем уроки и делаем выводы: задания с параметром [Текст] / Н.А. Журавлева, М.Б. Шашкина // Математика в школе. — 2016. — № 9—10. — С. 21—27.
• 3. Приказ Минобрнауки России от 17.05.2012 № 413 «Об утверждении Федерального государственного образовательного стандарта среднего общего образования (10—11 кл.)» [Электронный ресурс] // URL: Минобрнауки.рф / 2365 (дата обращения: 07.07.2015).

References

• 1. Asmolov A.G., Burmenskaya G.V., Volodarskaya ГА. Proektirovanie universal’nykh uchebnykh deystviy v starshey shkole [Designing universal educational activities in high school]. Natsional’nyy psikhologicheskiy zhumal [National Journal of Psychology]. 2011, I. 1(5), pp. 104-110.
• 2. Zhuravleva N.A., Shashkina M.B. EGE 2016. Izvle- kaem uroki i delaem vyvody: zadaniya s parametrom [EGE 2016. We learn lessons and draw conclusions: assignments with the parameter], Matematika v shkole [Mathematics in the school], 2016, I. 9-10, pp. 21—27.
• 3. Prikaz Minobrnauki Rossii ot 17.05.2012 № 413 «Ob ut- verzhdenii Federal’nogo gosudarstvennogo obrazova- tel’nogo standarta srednego obshchego obrazovaniya (10— 11 kl.)» [The order of the Ministry of Education and Science of Russia from 17.05.2012 № 413 “On the approval of the Federal State Educational Standard of secondary general education (10-11 cells)”]. Available at: minobrnauki.rf / 2365 (accessed 07 July 15).