СЛОЖНОЕ СОПРОТИВЛЕНИЕ

КОСОЙ ИЗГИБ

Ранее были рассмотрены простейшие виды деформации прямого бруса: осевое растяжение (сжатие), сдвиг (срез, скалывание), кручение и прямой изгиб. В реальных условиях брус может испытывать не одну какую-либо деформацию, а сразу несколько. При этом в его поперечных сечениях возникает не менее двух усилий, одновременно учитываемых при расчете на прочность. Такие случаи работы бруса принято называть сложным сопротивлением, или сложной деформацией. Одним из видов сложного сопротивления является косой изгиб — деформация, при которой плоскость действия изгибающего момента не совпадает ни с одной из главных плоскостей бруса.

При плоском косом изгибе существует единая для всего бруса силовая плоскость (рис. 9.1), т.е. во всех сечениях углы, составляемые силовыми линиями и главными центральными осями, одинаковы. В случае пространственного косого изгиба нагрузки располагаются в разных продольных плоскостях, вследствие чего указанные углы не постоянны по длине бруса.

Рис. 9.1

При поперечном косом изгибе, независимо от того, плоский он или пространственный, в поперечных сечениях бруса возникают четыре внутренних силовых фактора: поперечные силы Q_x, Q_y и изгибающие моменты М_х, М_у (см. рис. 1.16, г). Однако влияние поперечных сил, как правило, незначительно, и в расчетах на прочность и жесткость им пренебрегают, полагая косой изгиб чистым.

Определение напряжений и перемещений при косом изгибе рассмотрим на примере консоли прямоугольного сечения, к которой приложена сосредоточенная сила ТДрис. 9.2, а), направленная под углом а к главной центральной оси у. Разложим эту силу на составляющие вдоль главных центральных осей поперечного сечения

Рис. 9.2

Составляющая F_y изгибает консоль в вертикальной плоскости относительно оси х, вызывая в произвольном по длине балки сечении изгибающий момент

Составляющая F_x изгибает консоль в горизонтальной плоскости относительно оси у, вызывая момент

Величина М = Fz представляет собой результирующий изгибающий момент в рассматриваемом сечении, т.е. момент, который возникает в силовой плоскости. Таким образом, косой изгиб можно свести к двум прямым во взаимно-перпендикулярных плоскостях (рис. 9.2, б).

Для определения нормальных напряжений, обусловленных каждым моментом в отдельности, воспользуемся формулой (7.9), отвечающей случаю прямого изгиба. Тогда при изгибе в вертикальной плоскости получим следующее выражение напряжений в произвольном волокне:

I

Соответствующая эпюра построена на рис. 9.3, а. Наибольшие по абсолютному значению напряжения возникают в крайних верхних и нижних волокнах:

Рис. 9.3

Аналогично записывается выражение напряжений при изгибе в горизонтальной плоскости (рис. 9.3, б):

Наибольшие напряжения возникают в крайних правых и левых волокнах:

Суммарные напряжения, согласно принципу независимости действия сил:

Хотя эта формула получена из рассмотрения частного случая косого изгиба, она носит общий характер. Изгибающие моменты М_х, М_у и координаты х, у интересующего волокна удобнее всего принимать по абсолютному значению, а знак слагаемых напряжений устанавливать исходя из характера деформирования бруса. Например, точка А при изгибе в обеих главных плоскостях попадает в растянутую зону балки, поэтому оба слагаемых положительны.

Для построения эпюры суммарных напряжений необходимо предварительно найти положение нейтральной (нулевой) линии. Воспользовавшись формулой (9.4), подставим в нее значения изгибающих моментов (9.2) и (9.3):

Поскольку нейтральная линия является геометрическим местом точек, в которых напряжения отсутствуют, приравняем записанное выражение нулю:

где х₀ и у₀ — текущие координаты точек нейтральной линии.

Интерес представляет случай, когда результирующий изгибающий момент М = Fz* 0, поэтому остается приравнять нулю выражение в скобках:

Отсюда

Получили уравнение прямой, проходящей через начало координат (если х₀ = 0, то у₀ = 0). В данном случае начало координат совпадает с центром тяжести сечения (точка О на рис. 9.3), поэтому можно утверждать, что при косом изгибе, как и при прямом, нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения балки.

Записанное уравнение удовлетворяется, если координаты х₀ и у₀ имеют разные знаки. Таким образом, в сечениях рассматриваемой балки нейтральная линия должна проходить через второй (х₀ < 0; у₀ > 0) и четвертый (х₀ > 0; у₀ < 0) квадранты.

Обозначим (3 угол наклона нейтральной линии к оси х (рис. 9.3, в). Тогда tg(3 = —УоАо и, следовательно,

Из этой зависимости следуют три важных вывода:

• 1) углы а и (3 отсчитываются в одном направлении, т.е. для совмещения с нейтральной линией ось х следует повернуть на угол (3 в том же направлении, в каком необходимо повернуть ось у для совмещения с силовой линией (в рассматриваемом случае — по ходу часовой стрелки);
• 2) при косом изгибе угол |3 Ф ос, следовательно, в отличие от прямого изгиба, нейтральная линия не перпендикулярна силовой. Перпендикулярность сохраняется только при J_x = J_y, т.е. если главные моменты инерции одинаковы (например, у кругового или квадратного сечений). Но тогда все центральные оси сечения являются главными (см. параграф 5.4) и изгиб в любой плоскости будет прямым;
• 3) положение нейтральной линии не зависит от значения прикладываемой нагрузки.

Установив положение нейтральной линии, проведем параллельно ей две касательные к сечению и перпендикулярно — базисную линию (см. рис. 9.3, в). Далее через точку пересечения базисной и нейтральной линий проведем прямую, которая характеризует линейный закон изменения нормальных напряжений (см. формулу (9.4)). Для осуществления последней операции кроме найденной нулевой точки эпюры достаточно вычислить и отложить суммарное напряжение в любой другой точке. Обычно используют наиболее удаленные от нейтральной линии точки, откладывая в принятом масштабе максимальные напряжения растяжения о, _тах и сжатия о_{с тах}, возникающие в соответствующих волокнах. Чтобы придать эпюре законченный вид, ее заштриховывают перпендикулярно базисной линии и указывают знаки ординат.

зоо

Таким образом, определение положения нейтральной линии необходимо в первую очередь для отыскания наиболее напряженных точек поперечного сечения. Однако на примере рассмотренной балки видно, что если сечение имеет две оси симметрии и точки, которые максимально удалены одновременно от обеих осей (прямоугольное, двутавровое и т.п.), то эти точки и являются заведомо опасными. Действительно, по эпюрам с_Мх и о_Му (см. рис. 9.3, а, б)

можно со всей определенностью утверждать, что для балки из пластичного материала наиболее опасны те угловые точки, где совпадают знаки указанных напряжений. В данном случае это точка 7, где суммируются напряжения растяжения, и точка 3, где суммируются напряжения сжатия.

Условие прочности таких балок имеет вид

где М_х и М_у — расчетные изгибающие моменты относительно главных осей х и у в опасном сечении, Н м; W_xne1 и W_ynet — моменты сопротивления сечения нетто относительно указанных осей, м³; 7? — расчетное сопротивление материала растяжению (сжатию) при изгибе, Па (МПа); у_с — коэффициент условий работы.

При учете развития пластических деформаций прочность стальных балок сплошного сечения проверяют в соответствии с рекомендациями СНиП [11].

Если балка выполнена из хрупкого материала, то опасной является только точка 7. В этом случае, однако, рациональнее переходить, как и при прямом изгибе, на асимметричное сечение (см. параграф 7.6).

Формула (9.6) предназначена для проверочного расчета. При известных размерах поперечного сечения из нее нетрудно найти и предельно допустимое значение нагрузки. Сложнее осуществить подбор сечения, так как в формулу входят две неизвестные геометрические характеристики W_xwW_y.Yi общем случае приходится задаваться поперечными размерами и проверять их по указанной формуле. Если неравенство не удовлетворяется, то размеры корректируют и проверяют снова.

Для простых сечений, например прямоугольного, расчет упрощается, особенно если задано отношение размеров. При подборе прокатных двутавров задаются отношением моментов сопротивления к = WJW_y, которое, как видно из табл. 1 приложения, у обыкновенных двутавров колеблется от 6 до 14.

Прогибы при косом изгибе определяют также на основании принципа независимости действия сил путем геометрического суммирования прогибов в направлениях главных центральных осей.

Установим направление суммарного прогиба той же консоли, которая изображена на рис. 9.2. Для определения прогибов отдельно от каждой из составляющих F_x и F_y воспользуемся формулой (а) примера 8.6. Тогда прогиб свободного конца консоли по оси х (относительно оси у) f_x = F_XP/(3EJ_},), по оси у (относительно оси х) /, = Р_УР/(Ш_Х).

Полный прогиб

Направление полного прогиба характеризуется зависимостью

где у — угол наклона линии прогиба к оси у (рис. 9.3, г).

Подставив выражения составляющих (9.1) с учетом зависимости (9.5), получим

Таким образом, направление полного прогиба при плоском косом изгибе перпендикулярно нейтральной линии и, следовательно, не совпадает с силовой линией. Именно этим обстоятельством объясняется термин «косой» изгиб.

Пример 9.1. При установке на опоры прокатного двутавра № 60, предназначенного для работы на изгиб в плоскости стенки, допущена

Рис. 9.4

ошибка, в результате которой стенка отклонилась от проектного положения на угол а = Г (рис. 9.4). Определить вызванное этим увеличение нормальных напряжений и прогиба двутавра.

Решение. Сравнение напряжений. В проектном положении, т.е. при работе двутавра на прямой изгиб в плоскости наибольшей жесткости, согласно формуле (7.10) и табл. 1 приложения:

Ошибка на монтаже заставляет двутавр работать на косой изгиб. В этом случае, согласно формуле (9.6):

или с учетом выражений изгибающих моментов (9.2) и (9.3):

т.е. напряжения возрастают на 25%.

Сравнение прогибов. При косом изгибе

где/ — прогиб в случае прямого изгиба в плоскости стенки.

Полный прогиб, согласно формуле (9.7):

т.е. прогиб увеличивается на 27%. Таким образом, незначительная, на первый взгляд, монтажная ошибка в Г приводит к существенному увеличению напряжений и перемещений по сравнению с проектным значением.

Пример 9.2. Прямоугольное в плане помещение склада перекрыто треугольными деревянными стропильными фермами пролетом L = 18 м и высотой Н — 3,6 м (рис. 9.5). По верхним поясам ферм шириной Ь — 20 см уложены деревянные прогоны прямоугольного сечения пролетом / = 4 м, поддерживающие асбестоцементную кровлю весом Р_п — 0,2 кН на 1 м² площади горизонтальной проекции покрытия. Кровля несет нагрузку от снегового покрова р_2п — 1 кН на 1 м² той же площади.

Подобрать сечение прогонов из условий прочности и жесткости при отношении размеров h/b — 1,3. Расчетное сопротивление древесины R = 15 МПа. Коэффициенты надежности по нагрузке Ур = 1,, Ур ⁼ 1,6; коэффициент условий работы у_с — 0,8. Предельный относительный прогиб/,// = 1/200. Собственным весом прогонов пренебречь.

Решение. Подсчет нагрузок. На каждый прогон (кроме крайних) приходится грузовая площадь шириной в плане d — L/6 =18/6 м = 3 м. Нормативная нагрузка, действующая на 1 м длины прогона, составляет

Расчетная нагрузка, согласно формулам (2.25):

Рис. 9.5

Расчет на прочность. Нагрузка направлена наклонно по отношению к главным центральным осям сечения прогона, поэтому разложим ее на составляющие по этим осям (рис. 9.6, а). Составляющие расчетной нагрузки:

Значения угла а и его тригонометрических функций заимствованы из примера 4.9.

Нормальная составляющая нагрузки q_y изгибает прогон относительно оси х как свободно лежащую на двух опорах (на двух фермах) балку (рис. 9.6, б) расчетным пролетом

где Ь₀ — ширина опорной площадки прогона, равная половине ширины верхнего пояса фермы (см. рис. 9.5).

Наибольший изгибающий момент по формуле (а) примера 7.3:

Скатная составляющая q_x вызывает изгиб относительно оси у (рис. 9.6, в). Наибольший момент

Рис. 9.6

Согласно формулам (7.12) и (7.13), моменты сопротивления сечения находятся в таком же отношении, как и его размеры:

Отсюда W_y — W_x/,3, и условие прочности (9.6) принимает вид

Понижающий коэффициент условий работы у_с опущен по той причине, что он компенсируется равнозначным коэффициентом надежности по ответственности у„ — 0,8, который учитывает категорию (уровень ответственности) рассчитываемого объекта (см. параграф 2.12).

Записанное условие прочности выразим относительно требуемого момента сопротивления:

В то же время

Следовательно, 0,282№ > 927, откуда ширина сечения

и высота И = 1,36 = 1,3 • 14,87 = 19,33 см.

Округлив, по табл. 5 приложения принимаем сечение bxh = 15x20 см. Расчет на жесткость. Составляющие нормативной нагрузки:

Моменты инерции площади сечения по формулам (а) и (б) примера 5.4 составляют:

Абсолютное значение прогиба, согласно выражению (а) примера 8.4, при модуле Е= 10 • 10⁹ Па (см. табл. 2.1): по оси у —

по оси л: —

Полный прогиб получим по формуле (9.7):

Полный относительный прогиб

т.е. жесткость обеспечена.

Зная моменты инерции, нетрудно определить положение нейтральной линии. Согласно зависимости (9.5)

откуда (3 = 35°26'. Положение нейтральной линии и эпюра суммарных нормальных напряжений в сечении посередине длины прогона показаны на рис. 9.6, а. В справедливости максимального значения напряжений нетрудно убедиться самостоятельно, выполнив проверочный расчет подобранного сечения по формуле (9.6).

Рассмотренный пример показывает, что хотя скатная составляющая нагрузки значительно меньше нормальной, ее влияние на прочность и жесткость прогона существенно, так как эта составляющая изгибает прогон в плоскости наименьшей жесткости. Для снижения напряжений и прогибов стальные прогоны обычно раскрепляют тяжами, поставленными посередине пролета в плоскости кровли и тем самым вдвое сокращают расчетную длину прогонов при работе на скатную составляющую. В деревянных покрытиях этой цели служат вспомогательные стропильные ноги.