МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА МНОГОФАКТОРНОГО ЭКСПЕРИМЕНТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СРЕДЫ МАТКАД

ПОСТРОЕНИЕ РЕГРЕССИОННОЙ МОДЕЛИ ПО МАТРИЦЕ БОКС 3

Для проведения расчетов используется программа под названием «BOX_3_3.xmcd» (Mathcad версий 14—15).

Перед использованием программы необходимо скопировать файл программы в соответствующую папку, предназначенную для сохранения файлов студентов, и изменить имя программы, например «ВОХ_3_ту family.xmcd», и в дальнейшем все изменения сохранять в этом файле.

Первый раздел программы озаглавлен: «Построение матрицы X и ввод повторностей Y». Программа строит матрицу ВОХЗ с именем «Xg», и студенту на этом этапе необходимо правильно ввести исходные данные, полученные при проведении трехфакторного эксперимента по упомянутой матрице планирования, а также в точном соответствии со строками матрицы планирования ввести значения выходного параметра Y с принятым количеством повторностей. Эти значения вводятся в виде матрицы с размерами «п на т», где п — количество строк, соответствующее количеству строк матрицы ВОХЗ (п = 14), а т — количество повторностей выходного параметра. По умолчанию в программе установлено число повторностей т = 2, в матрице подставлены некоторые исходные данные, позволяющие проследить за работой программы в этом варианте. Фрагмент программы показан на рис. 6.1.

При другом количестве повторностей определения выходного параметра необходимо, удалив правую часть равенства Y1 := ? (операция присваивания), вместо значка «?» вставить матрицу с требуемым значением количества столбцов т. На рис. 6.1 приведен пример выводимой панели после выбора опции «Вставить матрицу» при т = 3.

Второй раздел программы — формирование таблицы уровней варьирования факторов, которую можно использовать при расчете модели с натуральными значениями факторов. В этом разделе в программу вводятся значения Хы факторов в средней точке и интервалы варьирования /,. Эту таблицу нетрудно ввести в текст вручную, если расчет модели с натуральными значениями факторов не требуется.

Пример панели после выбора опции «Вставить матрицу»

Рис. 6.1. Пример панели после выбора опции «Вставить матрицу»

Третий раздел — расчет средних значений и дисперсий выходного параметра Y для всех строк матрицы планирования (построчных средних и дисперсий). Программой выводится таблица, изображенная на рис. 6.2, в столбцах которой представлены рассчитанные значения средних и дисперсий.

Затем выводится таблица в виде одного столбца со значениями дисперсий и производится расчет критерия Кочрена Gr, равного отношению максимальной дисперсии к сумме всех дисперсий. Сравнить полученное значение Gr с табличным (критическим) значением Gt студент должен самостоятельно и затем сделать вывод о воспроизводимости опытов. В программе приведены значения Gt для случаев двух (f= 1) и трех (/=2) повторностей.

В этом же разделе рассчитывается дисперсия воспроизводимости для индивидуальных и средних значений выходного параметра.

Выводимые значения средних и дисперсий

Рис. 6.2. Выводимые значения средних и дисперсий

В четвертом разделе программы рассчитываются коэффициенты регрессии по данным эксперимента. Расчет осуществляется по матричному выражению:

где X и X7 соответственно расширенная матрица X и транспонированная матрица X; Ys — вектор средних значений Y из выведенной выше таблицы.

Результат расчета выводится в виде таблицы (рис. 6.3). Найденные коэффициенты регрессии соответствуют следующему уравнению, представленному в общем виде:

В следующем, пятом, разделе программы осуществляется проверка значимости коэффициентов регрессии. При этом сначала рассчитываются дисперсии коэффициентов по формуле

где Ci — дисперсионная матрица, равная

и средние квадратические отклонения коэффициентов, получаемые как диагональные элементы ковариационной матрицы оценок коэффициентов:

Результат расчета коэффициентов регрессии

Рис. 6.3. Результат расчета коэффициентов регрессии

Затем подсчитываются значения критерия Стьюдента для каждого коэффициента:

Результаты расчетов, средние квадратические отклонения коэффициентов и значения критерия Стьюдента tRi выводятся в виде таблиц (рис. 6.4).

Полученные значения критерия Стьюдента надо сравнить с табличным (критическим) значением tT, выводимым программой на экран:

Те коэффициенты регрессии, для которых tRi < tT, являются незначимыми и их можно исключить из регрессионной модели. Однако следует учесть, что исключение коэффициентов Ь0, Ьп, Ь22 и 633 требует пересчета остальных коэффициентов. В таком случае следует в расширенной матрице X (рис. 6.5) исключить столбцы,

соответствующие исключаемым коэффициентам, а затем пересчитать коэффициенты, являющиеся значимыми.

Результаты расчета статистических характеристик коэффициентов

Рис. 6.4. Результаты расчета статистических характеристик коэффициентов

Расширенная матрица X

Рис. 6.5. Расширенная матрица X

Например, если бы оказался незначимым коэффициент ?33, то надо было бы исключить столбец 7 (см. рис. 6.5) и, используя в расчете (четвертый раздел программы) коэффициентов регрессии измененную таким образом матрицу X, получить новые значения коэффициентов.

Заметим, что в приводимом здесь примере (см. рис. 6.4) незначимым является коэффициент Ь2, так как для него tri{b2} = = 0,312 < tT = 2,145, но такого рода коэффициенты не коррелируют с остальными и пересчет после удаления этого коэффициента не требуется.

Следующий раздел программы — проверка адекватности регрессионной модели. Программа определяет расчетные значения выходного параметра Yr по формуле

Затем рассчитываются квадраты разностей SSy между расчетными значениями Yr и средними значениями выходного параметра, полученными из эксперимента Ys:

Квадраты разностей SSy используются при расчете дисперсии адекватности S2a (иногда ее называют дисперсией неадекватности) по формуле

Программа выводит все вышеупомянутые значения, как видно из рис. 6.6.

Выводимые промежуточные результаты расчетов (см. рис. 6.6) могут помочь при анализе возможных причин неадекватности регрессионной модели.

Гипотеза об адекватности модели проверяется с помощью критерия Фишера:

где Si — дисперсия адекватности (в программе в Маткаде обозначена S2a) <5^ {у} — дисперсия воспроизводимости для средних значений у (в программе обозначена -52ys).

Расчет квадратов отклонений SSy

Рис. 6.6. Расчет квадратов отклонений SSy

Программа проверяет условие: Si >*Sf{.y}, необходимое для расчета критерия Фишера, и при его невыполнении меняет местами эти две дисперсии, выводя сообщение: «Disp_vospr_>_Disp_ adekv!!!». Окончательное заключение в отношении принятия гипотезы об адекватности модели в этом случае студент должен сделать сам.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >