СИНТЕЗ АДАПТИВНЫХ ОПТИМАЛЬНЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ С ПРОГНОЗИРОВАНИЕМ МЕХАТРОНЫМ ОБЪЕКТОМ ИЗМЕНЯЕМОЙ СТРУКТУРЫ

Постановка задачи и модели объекта управления изменяемой структуры

Решение задачи синтеза оптимального управления скоростью отклонения исполнительных органов непрерывного объекта на основе алгоритма с прогнозирующей моделью приведено в [6]. Для объектов управления, математические модели которых содержат кусочно-гладкие функции, претерпевающие разрывы первого рода в отдельных точках, развитие этого метода отсутствует. Это связано с тем, что рассматриваемая математическая модель такого объекта управления характеризуется сменой его структурных состояний в процессе функционирования и при построении алгоритма управления положением исполнительных органов следует довольствоваться известным принципом Веллмана. Процесс управления, построенный на этом принципе, может выступать лишь как локальный при стационарности структуры на ограниченном отрезке времени [23], т.е. является оптимальным на интервалах оптимизации функционирования каждой из изменяемых структур. Такой подход синтеза рассматривается в [29, 89]. Практика же проектирования требует построения алгоритмов управления, оптимальных на интервалах оптимизации, включающих в себя структурные изменения объекта. Для решения задачи синтеза в таком виде необходима математическая модель функционирования объекта управления изменяемой структуры, описываемая предикатно-дифференциальными и предикатно-разностными уравнениями. Кроме того, в дальнейшем выведено выражение для определения изменяемой части дискретного аналога критерия обобщенной работы при оптимизации управления с прогнозирующей моделью, показана методика синтеза оптимального дискретного управления с прогнозирующей моделью положением исполнительных органов объекта изменяемой структуры и его свойства, которая иллюстрируется примером.

Математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры

В терминах обобщенных функций (производных) математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры может быть представлена в виде:

или в матричной форме

где x = [x₁,x₂,...,x_n]^r-«-мерный вектор-столбец состояния объекта управления; и = [и_х,и₂,...,и_т]^т -/«-мерный вектор-столбец управлений; A(t) = (a_H(t))1;B(t) = (b^t)) (/' = 1 ,n;j = 1 ,/«).

Коэффициенты математической модели (5.1) объекта изменяемой структуры с течением времени имеют скачки. Каждая область изменения коэффициента в момент скачка обуславливает изменение самого состава уравнений (5.1). В каждой области будет свое решение, а связи между ними в разных (смежных) областях не существует. Отсюда возникает необходимость нахождения аналитического выражения для единого динамического процесса, которое можно построить на понятии гибридной функции [156]. По определению, гибридная функция есть произведение некоторой числовой функции и функции предикат. Обозначим функцию предикат буквой L. Тогда описанием изменения коэффициента в (5.1) с учетом наличия v скачков может служить выражение:

с условиями единственности и полноты

Учитывая выражения (5.3)—(5.5), математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры (5.1) может быть представлена в виде:

с условиями единственности

и полноты

В матричном виде в соответствии с (5.2) она запишется в следующей форме:

с соответствующими условиями единственности и полноты

Математическая модель функционирования объекта изменяемой структуры вида (5.6) или (5.7) описывается предикатно-дифференциальными уравнениями и учитывает наличие скачков в изменяемой динамике, т.е. отражает характерное свойство объекта управления - изменение структуры.

Для построения дискретной модели воспользуемся приближенным методом первых разностей [33]. Согласно этому методу для каждого конечного множества замкнутых интервалов _p,t _+х заменим х(/) на х[&],

u(t) на и[к], а вместо x(t) подставим выражение x~(x[k + Y-x[k])IT₀. Тогда в соответствии с (5.7) запишем

где I - единичная матрица; L^Ap{t,t_v), L_p(t,t_v) - предикатные функции,

удовлетворяющие соответственно условиям единственности и полноты для A_p(t) и B_p{t).

Учитывая, что L^Ap(t,t_v) и L^Bp{t,t_v) соответствуют замкнутому интервалу [t_p,t_p+], Д^ля которого они везде одинаковы, а

запишем (5.8) следующим образом:

Так как количество интервалов [/ / ₍] равно 2v = N, то на каждом

из них будем иметь уравнение вида (5.9). Тогда, учитывая непрерывность решения и для точек замыкания интервалов [t_p,t_p+, запишем сумму по

всем р в правой части (5.9)

с условиями единственности и полноты

Уравнение (5.10) с соответствующими условиями единственности и полноты будет являться дискретной математической моделью функционирования объекта управления изменяемой структуры. Эта модель представлена предикатно-разностными уравнениями.