ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Степень статической неопределимости конструкции n_st равна числу избыточных «лишних» связей, удаление которых превращает СНС в статически определимую геометрически неизменяемую систему.

Основная система (ОС) (рис. 4.2, б) — статически определимая, геометрически неизменяемая конструкция, полученная из заданной СНС (рис. 4.2, а) путем устранения л «лишних» связей. Реакции в отброшенных связях принимаем за неизвестные Х, Х₂, ..., Х„, подлежащие определению.

Рис. 4.2

Эквивалентная система (рис. 4.1, в) — это ОС, к которой приложены заданные внешние нагрузки и реакции Х, Х₂, ..., Х_п в устраненных связях. Подбираем значения Х_и Х₂, ...,Х„ так, чтобы внутренние усилия, деформации и перемещения сечений в эквивалентной системе были такими же, как и в заданной конструкции. Для симметричных рам целесообразно выбирать ОС, рассекая раму по оси симметрии (рис. 4.3).

Рис. 4.3

АЛГОРИТМ РАСЧЕТА РАМ МЕТОДОМ СИЛ

Определение числа неизвестных при расчете статически неопределимых рамных конструкций методом сил

Замкнутым контуром назовем совокупность стержней, жестко связанных между собой в один контур или замкнутых на землю. Число контуров обозначим буквой К. Из уже рассмотренных примеров (см. рис. 4.2 и 4.3) видно, что степень статической неопределимости конструкции n_st — 3К.

Если рамы имеют простые шарниры, число которых обозначим буквой Ш, то число лишних неизвестных уменьшается. Введение одного простого шарнира, соединяющего между собой два диска, снижает степень статической неопределимости на единицу (рис. 4.4).

Кратность шарнира равна числу стержней (дисков), соединенных шарниром, минус единица.

Рассмотрим рамы, имеющие шарнирно-подвижные опоры (катки), число которых обозначим П. Каждая шарнирно-подвижная опора (каток) снижает степень статической неопределимости на два (рис. 4.5).

Рис. 4.4

Рис. 4.5

В общем случае число n_s, «лишних» неизвестных определяем по формуле

Канонические уравнения метода сил для расчета статически неопределимых систем на действие внешних нагрузок

Рассмотрим примеры выбора нескольких вариантов основной системы для расчета СНС, представленной на рис. 4.6, а.

Рис. 4.6

Выбирая ОС, отбросим три связи, препятствующие: в первом варианте ОС — горизонтальному, вертикальному смещениям и повороту сечения В (рис. 4.6, б). Соответствующие реактивные усилия в направлениях отброшенных связей в эквивалентной системе (ЭС) обозначим Х, Х₂, Х₃ (рис. 4.6, в). Во втором варианте ОС в сечении ригеля проведем разрез, тем самым удалив связи, препятствующие взаимным горизонтальному, вертикальному смещениям и взаимному повороту двух смежных сечений СИ С₂ (рис. 4.6, г). Соответствующие внутренние усилия (продольные, поперечные силы и изгибающие моменты) обозначаем Х, Х₂, Х₃ (рис. 4.6, д).

Для составления канонических уравнений рассмотрим эквивалентную систему и применим принцип независимости действия сил. Запишем величину полного перемещения в направлении j как сумму перемещений в том же направлении от сил X_h Х₂, ..., Х_п и внешней нагрузки, приложенной к конструкции:

82

Подберем силыХ, ...,Xj, ...,Х„ так, чтобы перемещения сечений эквивалентной системы в направлении отброшенных связей были такими же, как и в заданной конструкции, т.е. отсутствовали:

Представим каждое перемещение в виде

где 6,1, ..., 5_jn — перемещения в направлении j от сил соответственно Х=, ...,Х„=1, приложенных в ОС. Тогда получим систему п линейных уравнений

Систему канонических уравнений (4.2) запишем в матричной форме:

Здесь обозначены:

X = colon [Х_{, Х₂, • • • ,Х_п ] — матрица-столбец неизвестных;

A_f = colon [А_1/г, A_2F, • • •, A_nF ] — матрица-столбец свободных членов;

Коэффициенты 5 -_и при неизвестных канонических уравнениях (4.2) представляют собой перемещения, которые могут быть вычислены по формуле Мора:

Напомним, что эпюра Mj строится в ОС от силы Xj = 1, а эпюра М_и строится в ОС от силы Х_и = 1. Заметим, что перемещения bjj (главные перемещения) не могут быть отрицательными

числами, а также не могут быть равными нулю, так как определяются из выражения

По теореме о взаимности перемещений

При удачном выборе ОС они могут быть равны нулю. Свободные члены системы канонических уравнений (4.2) определяем по формуле

где Мр — эпюра изгибающих моментов, построенная в ОС от внешней нагрузки.

84

Для вычисления перемещений и A_ju разобьем схему рамы на т участков так, чтобы на каждом из них функции М_} и M_F были непрерывны, а жесткости постоянны. Пронумеруем узлы конструкции цифрами 1, 2, 3,...,/ таким образом, чтобы возрастание чисел было слева направо и снизу вверх. За начало элемента принимаем узел с меньшим номером. Элементы конструкции нумеруем цифрами в кружках (D, ©,..., т.