ПРИМЕР РАСЧЕТА СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМОЙ НЕРАЗРЕЗНОЙ БАЛКИ МЕТОДОМ СИЛ

Исходные данные

Требуется рассчитать на действие неподвижной (постоянной и временной) нагрузки балку, представленную на рис. 5.3, и построить огибающие (расчетные) эпюры изгибающих моментов.

Рис. 5.3

Вычисление степени статической неопределимости

Подсчитаем степень статической неопределимости. В шарнирно-подвижных опорах А, В и С возникают три неизвестные по величине вертикальные опорные реакции, в жесткой заделке D — три составляющие реакции: горизонтальная и вертикальная силы и реактивный момент. Таким образом, неизвестных усилий шесть, а для плоской системы сил можно составить только три линейнонезависимых уравнения равновесия.

Для определения степени статической неопределимости задачи воспользуемся равенством

Выбор основной и эквивалентной систем

Основную систему из заданной схемы получим, вводя шарниры над промежуточными опорами и в жесткой заделке. При этом ОС станет статически определимой и останется геометрически неизменяемой (рис. 5.4).

Эквивалентную систему получим из ОС, загрузив последнюю всей внешней нагрузкой и неизвестными изгибающими моментами, приложенными в сечениях у введенных шарниров (рис. 5.5). Нумерация неизвестных усилий произвольная.

Рис. 5.4

Рис. 5.5

Значения неизвестных изгибающих моментов, при которых НДС балки в заданной системе ничем не отличается от НДС балки в ЭС, и будут решениями задачи.

Построение единичных и грузовой эпюр изгибающих моментов в основной системе

Для построения эпюр изгибающих моментов в ОС рассмотрим ряд простых шарнирно опертых балок: АВ, ВС и CD. Реакции для грузового состояния в опорах можно определить, используя свойство симметрии.

Пояснение к построению эпюры изгибающих моментов от действия момента Х = 1 представлено на рис. 5.6. В результате его действия балки АВ и ВС нагружены, а балка CD не нагружена. Для составления аналитических выражений изгибающих моментов найдем реакции опор V_u и V_C.

Реакцию V_u найдем из условия равенства нулю суммы моментов всех внешних сил, приложенных к балке АВ (см. рис. 5.6, а):

Рис. 5.6

Реакцию V_C определим из условия равновесия балки ВС (см. рис. 5.6, в):

Изгибающие моменты получим методом сечений, рассматривая более простую отсеченную часть балки. Поскольку нас интересует только эпюра изгибающих моментов, то выкладки, касающиеся определения поперечной силы Q, опустим. Внутренние усилия M(z), Q(z) можно найти из условия равновесия участка балки длиной z.

Балка АВ. О < z < 18,0 м (см. рис. 5.6, а). Изгибающий момент M{z) определим из условия равенства нулю суммы моментов сил относительно центра тяжести произвольного сечения на всем отрезке (в этом случае неизвестное усилие Q(z) не входит в уравнение равновесия) (см. рис. 5.6, 6):

Значения изгибающего момента оказались положительными, т.е. положение растянутой зоны балки АВ определено верно. График полученной линейной зависимости М от zj строим на растянутой стороне балки по точкам: М (0,0 м) = 0, М (18,0 м) = 1.

Балка ВС. 0 < z₂ < 18,0 м (см. рис. 5.6, в). Для определения изгибающего момента M(z₂) рассмотрим правую часть балки ВС (см. рис. 5.6, г). Условие равенства нулю суммы моментов всех сил относительно центра тяжести сечения дает:

На всем отрезке 0 2< 18,0 м растянутое волокно будет нижним, и для построения эпюры изгибающих моментов остается лишь по точкам М₂ (0,0 м) = 0 и М₂ (12,0 м) = 1 провести прямую линию.

Для построения единичных эпюр изгибающих моментов от действия Х₂ = 1 и Х₃ = 1 и грузовой эпюры от действия внешней нагрузки поступаем аналогичным образом. Эпюры представлены на рис. 5.7.

Рис. 5.7

Определение единичных и грузовых перемещений и решение системы канонических уравнений

Система канонических уравнений метода сил (5.1) имеет вид

Определим по формуле (5.3) перемещения в ОС по направлениям j = 1, 2, 3 от сил Х_и = 1 (м = 1,2, 3):

Вычислим по формуле (5.2) перемещения в ОС по направлениям j от внешней нагрузки:

Определим значения неизвестных, подставив найденные значения перемещений в систему канонических уравнений:

Построение эпюр изгибающих моментов и поперечных сил

Ординаты результирующей эпюры изгибающих моментов определяем из выражения, полученного на основании формулы (5.4):

Результирующую эпюру изгибающих моментов представим на рис. 5.8.

Для кинематической проверки решения задачи умножим эпюру М на эпюру М₂:

Рис. 5.8

Эпюру поперечных сил для неразрезной балки представим на рис. 5.9.

Рис. 5.9

Изгибающие моменты от действия временной нагрузки определим на ПЭВМ с помощью программно-вычислительного комплекса SCAD++. Результаты расчета на временную нагрузку приведены в табл. 5.1. Огибающая эпюра изгибающих моментов изображена на рис. 5.10. Параметры поперечного сечения балки подберем по сортаменту прокатных профилей (приложения 1-4).

Таблица 5.1

Таблица ординат расчетной огибающей эпюры изгибающих моментов

Рис. 5.10