Нечеткие величины, интервалы и числа

Определение 1.14 Нечеткой величиной называется любое нечеткое множество N={x, |дл(х)}, заданное на множестве действительных чисел % Функция принадлежности такого множества ц.у(х)/ .‘#->[0, 1].

При работе с нечеткими величинами для решения сложных технологических задач используют нечеткие интервалы.

Определение 1.15. Нечеткий интервал - это представление нечетких величин в форме, удобной для обработки информации с помощью вычислительной техники и несущей более богатую информацию, чем обычный точный интервал. В реальности встречаются ситуации, когда необходимо оценить точность некоторого параметра или обеспечить прогноз значения некоторого признака, а обычный интервал не позволяет оценить предоставленную информацию:

  • • при обработке диапазон значений может оказаться шире, чем допустимые значения;
  • • может существовать риск выхода за пределы назначенной области или рекомендуемых значений.

Нечеткий интервал позволяет обрабатывать данные таким образом, чтобы носитель нечеткого интервала гарантировал попадание величин в рассматриваемый диапазон значений, а его ядро будет отображать наиболее правдоподобные значения.

В общем виде нечеткий интервал М записывается [10, 32] следующим образом:

где интервал [ т, т ] - ядро нечеткого интервала М т и щ - нижнее и верхнее модальное значение нечеткого интервала М; интервал

[ in — a, 171 + (3 ] - носитель нечеткого интервала M; a и P - левый и

правый коэффициент нечеткости соответственно; цм - функция принадлежности нечеткого интервала Мнаходится в диапазоне [0, 1].

В графическом виде нечеткий интервал представляем на рисунке 1.17.

Представление нечеткого интервала

Рис. 1.17. Представление нечеткого интервала

Для расчета функций с помощью нечетких интервалов используются четыре арифметические операции и операции взятия максимума и/или минимума.

Операция сложения двух нечетких интервалов Mi©M> определяется

При этом операция sup заменяется операцией определения максимума.

Пример 1.11. Пусть задан нечеткий интервал М={<0, 0,4>; <1, 1>; <2, 0,4>}. Необходимо выполнить операцию сложения нечетких интервалов МфМ

Решение. Запишем М@М={<0, 0,4>; <1, 1>; <2, 0,4>}+{<0, 0,4>; <1, 1>; <2, 0,4>}={<0, max{min<0,4; 0,4>}>; <1, max{min{<0,4; 1>, <1; 0,4>}}>; <2, max{min{<0,4; 0,4>, <1; 1>, <0,4; 0,4>}}>; <3, max{min{<0,4; 1>, <1; 0,4>}}>; <4, max{min<0,4; 0,4>}>}={<0, тах{0,4}>; <1, тах{0,4; 0,4}>; <2, тах{0,4; 1; 0,4}>; <3, тах{0,4; 0,4}>; <4, max {0,4} }={<0, 0,4>; <1, 0,4>; <2, 1>; <3, 0,4>; <4, 0,4>}.

Для получения результата сложения нечетких величин необходимо воспользоваться комбинацией слагаемых: 0=0+0, 1=0+1=1+0,

2=0+2= 1+1=2+0, 3=1+2=2+1, 4=2+2 [33].

Наглядно решение представлено на рисунке 1.18.

Сложение и вычитание нечетких интервалов

Рис. 1.18. Сложение и вычитание нечетких интервалов

Операция вычитания двух нечетких интервалов М®М2 запишется как

и выполняется по аналогии с операцией сложения.

Операция умножения двух нечетких интервалов М®М2 примет вид

и выполняется по аналогии с операцией сложения.

Операция деления двух нечетких интервалов М^М2 определяется

и выполняется по аналогии с операцией сложения.

Операция взятия максимума из двух нечетких интервалов

max{М, М2}

Пример 1.12. Пусть заданы нечеткие интервалы М={<0, 0,4>; <1, 1>; <2, 0,4>} и М2={<-1, 0,2>; <0, 1>; <1, 0,2>}. Необходимо выполнить операцию взятия максимума нечетких интервалов пгах(М, М2).

Решение. Запишем тах(Л/ь М2)={<0, max {min {<0,4; 0,2>, <0,4; !>}}>; <1, max{min{, <1; 1>, <1; 0,2>, <0,4; 0,2>}}>; <2, max{min{<0,4; 0,2>, <0,4; 1>, <0,4; 0,2>}}>}={<0, тах{0,2; 0,4}>; <1, тах{0,2; 1; 0,2; 0,2}>; <2, тах{0,2; 0,4; 0,2}>}={<0, 0,4>; <1, 1>; <2, 0,4>}.

Видно, что результат операции взятия максимума тах(М,М2)= М. Для получения результата сложения нечетких величин необходимо воспользоваться комбинацией пар чисел: 0=тах(0, -1)=тах(0, 0);

l=max(l, -1 )=max( 1, 0)=max( 1, l)=max(0, 1); 2=max(2, -l)=max(2, 0)=max(2, 1).

Операция взятия минимума из двух нечетких интервалов min{Mi, М2} определяется как

и выполняется аналогично операции взятия максимума.

Определение 1.16. Нечетким числом (Ь-К)-типа называется нечеткая величина М={х, цл/*)}, функция принадлежности которой представляется в виде композиции произвольных L- и ^-функций в следующем виде:

Для нечетких чисел а=т = т (см. рис. 1.17)

Таким образом, нечеткое число (/,-Я)-типа с функцией принадлежности щХ*) ПРИ заданных значениях L- и ^-функций определяется кортежем <а, а, (3>. При этом нечеткое число (Т-/?)-типа обозначается Mlr= P>lr- Функция (Т-^)-типа представлена на рисунке 1.6, а.

Определение 1.17. Нечетким интервалом (Ь-Я)-типа называется нечеткая величина М={х, цдКлОЬ функция принадлежности которой представляется в виде композиции произвольных L- и ^-функций в следующем виде:

При этом нечеткий интервал (L-R)-thпа обозначается Л4д=< т, т , a, P>lr = <3, 6,2,4> Lr (рис. 1.19).

Нечелсий интервал (7,-/?)-типа M=

Рис. 1.19. Нечелсий интервал (7,-/?)-типа MLR=< 3, 6,2,4>LR

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >