УСТОЙЧИВОСТЬ ДИНАМИЧЕСКИХ НЕЧЕТКО-ЛОГИЧЕСКИХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

Устойчивость автоматизированной системы управления является одним из наиболее важных требований, предъявляемых к ним [54, 55]. Для исследования устойчивости обобщенных нечетко-логических моделей автоматизированных систем (рис. 1.34) используется зависимость [56, 57] Система управления с обратной связью

Рис. 1.34. Система управления с обратной связью: УУ - устройство управления; ОУ - объект управления; ОС - обратная связь; X— входной сигнал; К - сигнал обратной связи; Е=Х-К - сигнал рассогласования; U - сигнал управления; Y- выходной сигнал; Y'- выходной сигнал в следующий момент

времени (/+/).

При этом в случае непрерывных нечетко-логических систем

где R - композиционная матрица (определение 1.27).

В случае дискретных систем

Нечетко-логическая модель задается в виде матрицы (табл. 1.8), элементами которой являются сигналы Y Y, U.

Таблица 1.8

Связь между параметрами нечетко-логической системы

Y

и

NB

NS

Z

PS

РВ

NB

Z

PS

РВ

РВ

NS

NS

NB

Z

РВ

РВ

PS

Z

PS

РВ

Z

NB

NS

PS

PS

~PSI

PS

Z

NS

РВ

РВ

РВ

Z

NS

PS

Y'

Так как элементы матрицы заданы в одном пространстве, следовательно, термы их сигналов У' У, U равны между собой: Ту, Ту, Тц. Например, одно из НП, заданных в таблице 1.8, имеет вид

Недостаток данной модели заключается в том, что она может иметь только два входных сигнала и один выходной. Для анализа устойчивости нечетко-логических систем используется метод [58, 59, 60], при котором устойчивость нечеткого объекта управления (см. рис. 1.34) задается

Если ОУ соответствует заданному состоянию, то справедливы следующие зависимости: X=Y и X'-Y и нечетко-логическая система будет устойчива. Данные устойчивой нечетко-логической системы представлены в таблице 1.9. Графически устойчивая нечеткологическая система представлена на рисунке 1.35 [61].

Таблица 1.9

Устойчивое состояние системы

У

X

NB

NS

Z

PS

РВ

NB

Z

PS

РВ

РВ

РВ

NS

NS

Z

PS

РВ

РВ

Z

РВ

PS

Z

NS

NB

PS

NB

NB

NS

Z

PS

РВ

NB

NB

NB

NS

Z

У'

Рассмотрим динамику поведения ОУ для данных, приведенных в таблице 1.8 (см. рис. 1.35, б). В окрестности точки с координатами Y=NS и U=PS значение Y-Z. Если Y увеличит свое значение до величины Z, то выходная переменная У'увеличит свое значение до величины РВ и возрастет до величины Z. Если У уменьшит свое значение до NB, то выходная переменная У' уменьшит свое значение до величины NB. Следовательно, точке с координатами (NS; PS) соответствует неустойчивое состояние. Точке с координатами Y=PS и U=NS соответствует устойчивое состояние, так как при увеличении У до значения РВ выходная переменная У' уменьшит свою величину до PS, а при уменьшении У до значения Z выходная переменная У' увеличит свою величину до PS.

Задача построения нечетко-логической системы управления с обратной связью при известном нечетком операторе ОУ (см. табл. 1.8), описанном уравнением Y-K(Y, U), заключается в нахождении нечетких правил вида:

образующих таблицу, соответствующую устойчивому состоянию нечетко-логической системы (см. табл. 1.9) U=K(X, Y),

при которых ОУ нечетко-логической системы с обратной связью Y-K(Y, X) обеспечивал бы её устойчивость.

Динамика объекта управления

Рис. 1.35. Динамика объекта управления: а - график, соответствующий

устойчивому состоянию системы; б - график, соответствующий объекту

управления

Пример 1.29. Рассмотрим методику определения выходного параметра устройства управления (U) при известных значениях X=NB и Y=NB.

Для заданных параметров в таблице 1.9 находим Y-Z. А затем в таблице 1.8 для параметров Y=NB и Y-Z определяем величину параметра управления U=NB. Это значение соответствует устойчивому состоянию системы нечетко-логического вывода с обратной связью.

Для данных X=NB и Y=NS из таблицы 1.8 находим Y-PS. И для полученных параметров Y=NS и Y-PS в таблице 1.9 определяем U=NB.

Данные, соответствующие устойчивому состоянию нечеткологической системы с обратной связью, сведены в таблицу 1.10.

Таблица 1.10

Устойчивость нечегко-логической системы

Y

X

NB

NS

Z

PS

РВ

NB

NB

NB/PS

NB/NS

NB/NS

-

NS

-

NS

PS

NB/NS

-

Z

РВ

NB/PS

Z

РВ

-

PS

NS

-

-

PS

NS/PB

РВ

NS

-

-

РВ

-

и

Как отмечалось выше, для этого способа количество входных параметров не должно превышать 2 на выходе одного параметра, что ограничивает использование данного метода.

В работах [62, 63] было уделено внимание вопросам, связанным с устойчивостью, и доказано важное следствие об устойчивости нечетко-логических систем.

Следствие 1. Нечетко-логическая система задана математической моделью вида

где X(t) - входное состояние нечетко-логической системы; Rpn - нечеткое отношение Rpn = Rpi о RP2 о...о Rpn‘, о - композиция нечетких отношений.

Если данная система будет устойчивой в лингвистическом равновесном состоянии Хе для произвольных исходных лингвистических состояний Xе(t), 0=1..«, если существует положительное целое число п, при котором выполняется равенство

где Г - операция транспонирования матрицы.

Пример 1.30. Рассмотрим процесс управления температурной деформацией, возникающей в зоне резания при механической обработке деталей на оборудовании с ЧПУ в зависимости от угла поворота шагового электродвигателя в режиме реального времени [64]:

где и - угол поворота шагового электродвигателя; t - температура в зоне резания.

Лингвистическая динамика объекта ОУ задана таблицей 1.11, а динамика У У - таблицей 1.12.

Таблица 1.11

Лингвистическая динамика ОУ_

и{ т) /(т)

BAL

SAL

Z

SAR

BAR

NST

BAL

BAL

SAL

SAL

Z

NMS

BAL

SAL

Z

Z

SAR

Z

SAL

SAL

Z

Z

SAR

PMS

SAL

Z

Z

SAR

BAR

РВТ

SAL

SAR

SAR

BAR

BAR

1{х+1)

Таблица 1.12

Лингвистическая динамика УУ_

w(t)

x(t)

BAL

SAL

z

SAR

BAR

BAL

NST

NST

NMS

Z

PMS

SAL

NST

NMS

NMS

PMS

PMS

Z

NMS

NMS

NMS

PMS

PBT

SAR

NMS

NMS

z

PMS

PBT

BAR

Z

Z

z

PBT

PBT

Дт)

Для переменных введены следующие лингвистические значения:

  • • для ОУ - температура в зоне резания (: NST - маленькая температура (Negative Small Temperature); NMS - не очень маленькая температура (N Middle S); Z - нормальная температура (Zero); PMS - не очень большая температура (Positive MS); РВТ - большая температура (Р Big Т).
  • • для УУ - угол поворота шагового электродвигателя у: BAL - большой угол влево (Big Angel Left); SAL - небольшой угол влево (Small AL); Z - нуль (Zero); SAR - небольшой угол вправо (SA Right); BAR - большой угол вправо.

Нечетко-логическая система, реализующая функцию УУ, представляется как

и записывается в виде пяти ПУ, соответствующих пяти различным множествам входного параметра t. Для обозначения лингвистической нечетко-логической системы используются единичные векторы:

При этом нечеткие отношения определяются следующим образом. Пусть задающая величина (температура в зоне резания) х{t)= x(t)° жестко связана с нечетким отношением Rp, у которого 5 строк матрицы образуются для соответствующих значений xe(t), 0=1..п:

Пусть х(/)'о= BAL и w(x)1o= SAL, тогда из таблицы 1.12 определяется /(x)=NST. Из таблицы 1.11 при ?(x)=NST и м(x)°i= SAL определяется параметр /(x+7)=BAL, следовательно, первая строка матрицы будет равна

Далее, jc(/)°i= BAL и w(x)°i= BAL, тогда из таблицы 1.12 определяется /(t)=NST. Из таблицы 1.11 при /(x)=NST и w(x)°i= BAL определяется параметр /(x+/)=BAL, следовательно, вторая строка матрицы будет равна

Аналогично получаются остальные строки матрицы Rpl3, Rpl4 и

V-

Матрица RP2 строится так же. Пусть х(7)2о= SAL и м(х)1 о= SAL, тогда из таблицы 1.12 определяется ?(x)=NST. Из таблицы 1.11 при f(x)=NST и w(x)°i= SAL параметр /(x+7)=BAL, следовательно, первая строка матрицы будет равна

Остальные строки матрицы Rp22, Rp2 , Rp2 и Rp2 формируются аналогично.

Проанализируем устойчивость нечетко-логической системы с ОС при исходном состоянии х(/)2о= SAL—(1, 0, 0, 0, 0). Исходное состояние системы согласно условию

ХеХе о Rprr>

где Хе - равновесное состояние системы ( является равновесным, так как

и устойчивым, поскольку при п>3 становится справедливо следствие 1:

Заданию x(t)=x(t) 0=BAL соответствует лингвистическая матрица нечеткого отношения нечетко-логической системы с ОС R,,. Исход- ное лингвистическое состояние системы и(т) = BAL и и(т) i=SAL согласно условию Хе - Хе о Rpn является двумя равновесными лингвистическими состояниями нечетко-логической системы с ОС:

и

На основании полученной матрицы Rp и равновесных состояний BAL и SAL при п>3 легко проверить, что нечетко-логическая система с ОС будет устойчива в лингвистическом состоянии BAL.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >