ПЛАНИРОВАНИЕ ЭКСПЕРИМЕНТА ПРИ ИССЛЕДОВАНИИ АВТОМАТИЗИРОВАННЫХ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ

При проектировании автоматизированных систем управления необходимо изучить взаимосвязь между входными X и выходными Y параметрами. Для исследования подобных связей необходимо на основе теории корреляции и планирования эксперимента синтезировать математическую модель, устанавливающую количественную взаимосвязь между входными и выходными характеристиками, описывающими каждый конкретный технологический процесс. При этом математические модели анализируются путем обработки статических данных с учетом взаимосвязи между исследуемыми параметрами и внешними воздействиями. Основой решения данных задач является корреляционно-регрессионный анализ.

При наличии функциональной связи между X и Y, зная количественную оценку одной из величин, можно с достаточно большой точностью указать значение одной из переменных. В реальных условиях, описывающих процесс механической обработки изделий на современном машиностроительном оборудовании, приходится исследовать взаимосвязь между входными и выходными переменными, имеющую вероятностный характер. В этом случае, если выходная величина Y связана с входной величиной X вероятностной зависимостью, то, зная значение X, нельзя точно определить значение Y, а можно только указать закон распределения, зависящий от того, какое значение имеет в текущий момент времени X.

Корреляция - это статическая зависимость между исследуемыми величинами, не имеющими строго функционального характера, при которой изменение входного параметра X приводит к модификации математического ожидания выходного Y параметра.

При этом различают следующие виды корреляции:

• 1. Парная корреляция - исследуется взаимосвязь между выходным и одним и/или двумя входными параметрами.
• 2. Частная корреляция - анализируется взаимосвязь между выходным и одним входным параметром при фиксированном значении других входных параметров.
• 3. Множественная корреляция - подвергается анализу взаимосвязь между выходным параметром и двумя или более входными параметрами.

Корреляционная связь позволяет ответить на вопрос, существует ли взаимосвязь между выходными Y и входными X параметрами, а также какова сила этой взаимосвязи. Оценка характеристик осуществляется с помощью коэффициента корреляции р,^ и корреляционного отношения гху.

Коэффициент корреляции определяется как

где @_х>, - ковариация входной и выходной величин; b - эмпирический коэффициент корреляции; а_х и о> — среднее квадратическое отклонение входной и выходной величины соответственно; X и У - средние значения входного и выходного параметров; п - количество опытов. При этом ковариация рассчитывается по формуле

где р_л и p_v - математическое ожидание входной и выходной величин соответственно; п - количество элементов в выборке, где /=1.. .п. Корреляционное отношение находится как

где а_Ху ~ среднее квадратическое отклонение между входной и выходной величинами.

Коэффициент корреляции p_xv и корреляционное отношение г_ху обладают следующими свойствами [99]:

• 1. Если (3w = ±l, то между X и У существует функциональная линейная связь вида у — ах + Ь.
• 2. Если рху = 0, то между X и У не существует функциональной линейной связи.
• 3. Чем ближе p_xv —> ±1, тем сильнее взаимосвязь междуХи Y.
• 4. Если корреляционное отношение ц_ху = 0, то между X и Y не существует функциональная линейная связь.
• 5. Если корреляционное отношение тру= 1, то У функционально зависит от X, то есть каждому значению х соответствует единственное значение у.
• 6. Чем ближе г_ху —> ±1, тем сильнее взаимосвязь между Xи У.
• 7. Если р^ = г|_х^, то между X и У существует только линейная связь.
• 8. Если p_xj, > 0, то при возрастании одного исследуемого параметра второй также будет увеличиваться (положительная корреляция).

9. Если $_ху < 0, то при уменьшении одного исследуемого параметра второй также будет уменьшаться (отрицательная корреляция).

Таким образом, корреляционный анализ позволяет на основе указанных свойств оценить взаимосвязь между выходным и входным параметрами исследуемой математической модели. Количественные оценки, полученные в ходе корреляционного анализа, позволяют синтезировать уравнение регрессии, которое дает возможность исследовать форму связи между параметрами. Регрессионный анализ заключается в нахождении такого аналитического выражения, в котором изменение выходного параметра обусловлено влиянием одного и/или нескольких входных параметров, при этом множество различных факторов, действующих на исследуемую математическую модель, принимаются за некоторые постоянные и/или средние значения.

По форме зависимости между входными и выходным параметрами различают следующие виды регрессии:

• 1. Нелинейная регрессия выражается уравнением степенной, показательной, экспоненциальной функций и уравнениями параболы и гиперболы следующего вида: у = а х^ь, у = а е, у = е ^{а х} , у = а + Ъх + сх², у = а + Ь/х.
• 2. Линейная регрессия выражается уравнением прямой, то есть функцией следующего вида: у = а + Ьх.

Далее рассмотрим экспериментальные исследования, позволяющие определять уравнения как нелинейной, так и линейной регрессии.