Частные случаи условий равновесия

Уравнения (7.14), (7.15) справедливы для любой уравновешенной пространственной системы сил. Они упрощаются, если на систему сил наложены некоторые ограничения.

Рис. 7.25

1. Рассмотрим случай действия на тело сходящихся сил. Систему декартовых координат выберем так, чтобы ее начало совпало с точкой пересечения линий действия сил (рис. 7.25). По построению плечи всех сил относительно начала координат равны нулю.

Следовательно, равен нулю и момент каждой силы относительно точки О. Поэтому векторное равенство (7.13) и уравнения

(7.15) выполняются тождественно, т.е. их можно не учитывать.

Аналитические условия равновесия тела под действием сходящихся сил запишутся так:

Система сходящихся сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда главный вектор сил или суммы проекций сил на каждую из трех координатных осей равны нулю.

2. Рассмотрим случай, когда все силы лежат в одной плоскости. Систему декартовых координат выберем так, чтобы все силы лежали в плоскости Оху (рис. 7.26). По построению проекция каждой силы на ось Oz равна нулю. Следовательно, сумма проекций всех сил на ось силы на плоскость Oyz. По построению

Oz равна нулю. Поэтому третье во системы уравнений (7.14) выполняется тождественно, и его можно не учитывать.

Момент силы относительно оси Ох равен алгебраическому моменту относительно начала координат проекции этой

Рис. 7.26

проекция любой силы на плоскость Oyz направлена вдоль оси Оу, и ее плечо относительно точки О равно нулю. Следовательно, сумма моментов сил относительно оси Ох равна нулю, и первое равенство в уравнениях (7.15) выполняется тождественно.

Аналогично доказывается тождественность выполнения второго равенства в уравнениях (7.15).

Аналитические условия равновесия тела, когда все силы лежат в плоскости Оху, запишутся так:

Система сил на плоскости находится в равновесии тогда и только тогда, когда суммы проекций сил на две координатные оси в плоскости действия сил и сумма моментов сил относительно третьей оси, перпендикулярной плоскости действия сил, равны нулю.

Момент силы относительно оси Oz равен алгебраическому моменту силы относительно начала координат (точки О). Началом координат или центром моментов можно выбрать произвольную точку О тела и записать уравнения (7.17) так:

3. Пусть все силы параллельны. Систему декартовых координат выбрем так, чтобы силы были параллельны оси Oz (рис. 7.27). Тогда проекции сил и суммы их проекций на оси Ох и Оу равны нулю, и первые два равенства в (7.14) можно не учитывать, поскольку они выполняются тождественно.

Рис. 7.27

Момент силы относительно оси Oz равен алгебраическому моменту относительно начала координат проекции этой силы на плоскость Оху. По построению проекция любой силы на плоскость Оху есть точка, т.е. величина спрецированной на плоскость силы равна нулю. Следовательно, сумма моментов сил относительно оси Oz равна нулю, и третье равенство в (7.15) выполняется тождественно.

Аналитические условия равновесия тела, когда все силы параллельны оси Oz, запишутся так:

Система параллельных сил находится в равновесии тогда и только тогда, когда сумма проекций сил на ось, параллельную силам, и суммы моментов сил относительно двух других координатных осей равны нулю.

4. Установим условия равновесия рычага. Рычагом называется опирающееся на неподвижный цилиндрический шарнир твердое тело, имеющее одно независимое движение - вращение вокруг неподвижной оси шарнира, перпендикулярной плоскости действия активных сил.

Пусть F_1? F₂, F₃,... F_n - активные силы, действующие на рычаг в плоскости Оху, перпендикулярной оси Oz шарнира (рис 7.28, слева). Приведем активные силы к силе, равной главному вектору R, приложенному к точке О, и паре сил с главным моментом М₀ относительно центра О. Для равновесия рычага необходимо и достаточно уравновесить силу R и пару сил с моментом М₀, лежащими в плоскости Оху (рис. 7.28, справа).

Рис. 7.28

Пусть N_x, N_y и Xi, Y[ - проекции реакции N опоры и силы Fj на координатные оси Ox, Оу (i = 1 -н п). Так как система активных сил и уравновешивающих сил (реакций опоры) является плоской, аналитические условия равновесия (7.17) можно записать так:

Первые два уравнения позволяют найти реакцию опоры. Следовательно, для равновесия рычага необходимо и достаточно равенства нулю суммы моментов действующих на него активных сил относительно оси вращения рычага: Zi=i M_z(Fj) = 0.