Разбиение сферического волнового фронта на зоны Френеля

Для того чтобы вычислить напряженность электрического поля световой волны в точке наблюдения Р, разобьём весь волновой фронт на зоны Френеля, исходя из условия, что волны из двух соседних зон приходят в точку наблюдения с разностью хода У2. На рис. 14 радиус волнового фронта равен аь расстояние от центральной зоны Френеля до точки наблюдения равно а2. Расстояния до точки наблюдения от зон Френеля с номерами m= 1, 2, 3, ... обозначены rm. При этом выполняются условия

Разбиение сферического волнового фронта на зоны Френеля

Рис. 14. Разбиение сферического волнового фронта на зоны Френеля

Центральная зона Френеля представляет собой сферический сегмент с вершиной в точке О. Остальные зоны представляют собой кольца на сферической поверхности (рис. 15). Радиус первой зоны Френеля R, = | NjQj |, радиус второй зоны = |N2Q2|, и так далее.

Форма зон Френеля сферического волнового фронта

Рис. 15. Форма зон Френеля сферического волнового фронта

Для того чтобы понять, сколько зон Френеля укладывается в открытой части волнового фронта (в круглом отверстии), нужно знать радиусы зон Френеля. Удобно было бы выразить их через исходные параметры эксперимента - расстояние от источника до преграды аь расстояние от преграды до экрана а2 и радиус отверстия Ь. Кроме того, площади зон Френеля должны быть одинаковыми, чтобы в каждой зоне укладывалось одинаковое число источников. Выразим радиусы зон через исходные параметры и проверим, выполняется ли условие равенства площадей зон.

Найдем радиус зоны Френеля на примере первой зоны. Радиус первой зоны обозначим R,. Чтобы определить этот радиус, нужно знать высоту сферического сегмента (рис. 14). Высота сферического сегмента для первой зоны

На рис. 14 R, =|N)Q1| . Согласно теореме Пифагора для прямоугольных треугольников SN^ и PN^ получаем систему уравнений:

я

Согласно рис. 14 jSNj^aj, |SQ1| = a1+ —, |Q1P| = a2+h1,

I I Я

| IN!r | = Г, = a2 + —. Для зоны номер один эта система уравнений примет вид:

Для зоны Френеля номер m можно записать аналогичную систему уравнений

Решим эту систему уравнений, найдем радиус зоны Френеля Rm. Приравняем правые части уравнений системы

Раскроем скобки, приведем подобные

Длина волны света Л составляет величину порядка 10'7м. Пренебрежём малой величиной порядка А2:

Отсюда высота сферического сегмента

Теперь определим радиус зоны Френеля номер ш:

Отсюда,

После подстановки полученного выражения в формулу для получим

Помня о том, что длина волны света X - величина малая, пренебрежём малой величиной порядка А2 и получим формулу для вычисления радиуса зоны Френеля номер ш:

Площади зон Френеля должны быть равны. Проверим, выполняется ли это условие. Площадь зоны Френеля номер ш равна разности площадей двух сферических сегментов (рис. 15). Площадь сферического сегмента равна

где R - радиус сегмента; h - высота сегмента. Для сферического сегмента, включающего ш зон Френеля R = аь h = hm и поэтому

Площадь зоны Френеля номер ш:

Как видно из (1.24), площади зон Френеля не зависят от номера зоны ш, следовательно, они равны. При выводе этой формулы мы пренебрегали слагаемыми, пропорциональными X2. Поэтому условие равенства площадей зон Френеля выполняется для не слишком больших номеров зон ш,

таких, что т2Л2 —> 0. Напомним, что формула для радиусов зон Френеля справедлива при выполнении этого же условия.

Выводы

1. В случае дифракции сферической световой волны на отверстии радиусы зон Френеля можно определить по формуле:

где а! - расстояние от источника света до преграды; а2 - расстояние от отверстия до экрана; Л - длина волны света; m - номер зоны.

  • 2. Площади зон Френеля равны для не очень больших номеров зон т.
  • 3. Формула для вычисления радиусов зон Френеля и утверждение о равенстве площадей зон Френеля выполняются только для волн малой длины (Л « аь Я « а2).

Контрольные вопросы

1. Как зависит от номера зоны Френеля ее площадь в случае дифракции сферических волн (дифракции Френеля)? Длина волны излучения X. Расстояние от источника до преграды аь от преграды до экрана а2.

  • 2. Как зависит от номера зоны Френеля ее площадь в случае дифракции плоских волн (дифракции Фраунгофера)? Длина волны излучения X. Расстояние от источника до преграды а ь от преграды до экрана а2.
  • 3. Как зависит радиус зоны Френеля от ее номера в случае дифракции сферических волн (дифракции Френеля)? Длина волны излучения X. Расстояние от источника до преграды аь от преграды до экрана а2.
  • 4. Как зависит радиус зоны Френеля от ее номера в случае дифракции плоских волн (дифракции Фраунгофера)? Длина волны излучения X. Расстояние от источника до преграды а ь от преграды до экрана а2.
  • 5. Какие приближения были использованы при выводе формул радиусов зон Френеля и площадей зон Френеля в случае дифракции сферической волны на отверстии? Какие ограничения на применение этих формул накладывает применение таких приближений?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >