МЕТОДЫ ФИНАНСОВОЙ МАТЕМАТИКИ В ИНВЕСТИЦИОННОМ МЕНЕДЖМЕНТЕ

Методы финансовой математики используются для проведения инвестиционного анализа в тех случаях, когда следует учитывать стоимостные и временные характеристики инвестиционных проектов, а также процентные ставки, заданные в явной или неявной форме. Базовые основы финансовой математики включают вычисление процентов, геометрической прогрессии, расчет степенных функций, логарифмические вычисления, а также решение системы уравнений.

Наращение и дисконтирование денежных потоков

Особенностью использования базовых приемов финансовой математики в инвестиционном менеджменте является необходимость учета фактора времени. Особая важность данного фактора объясняется долгосрочностью инвестиционных вложений. Как известно, золотое правило бизнеса гласит: «Денежная сумма, полученная сегодня, больше той же суммы, полученной завтра». Такое изменение ценности денег обусловлено следующими причинами:

настоящие деньги можно использовать как финансовый актив, приносящий доход в будущем;

в связи с инфляционными процессами денежная единица со временем обесценивается;

неопределенность связана с риском не получить будущие деньги. В инвестиционном менеджменте данный фактор учитывается при измерении доходности проводимых финансовых операций посредством проведения процедур наращения и дисконтирования.

Процесс приведения настоящей стоимости денег к будущей их стоимости при заданной процентной ставке называется процессом наращения.

Процесс приведения ожидаемой в будущем к получению суммы денег к их стоимости в настоящий момент времени называется дисконтированием.

Логика данных финансовых операций отражена на рис. 8.

Рис. 8. Логика операций наращения и дисконтирования

При проведении процедуры наращения используют следующие понятия:

процентный доход - абсолютная величина дохода от предоставления денег в долг в любой форме;

процентная ставка - отношение суммы процентного дохода, выплаченного за фиксированный отрезок времени, к величине ссуды; период начисления - промежуток времени, в течение которого начисляют процент; период начисления делится на интервалы начисления;

интервал начисления - промежуток времени, за который происходит начисление процента (год, полугодие, квартал, месяц); наращение (рост) первоначальной суммы - процесс увеличения суммы денег в связи с присоединением процентов к основной сумме.

В зависимости от способа начисления процентов по отношению к начальной сумме на протяжении всего периода начисления различают простые и сложные проценты.

Для простых процентов начисление осуществляются на начальную сумму. Формула наращения по простым процентам выглядит следующим образом:

где Б_д - будущая стоимость денег;

Н_д - настоящая стоимость денег;

п - количество периодов начисления;

i - процентная ставка.

Простые проценты обычно используются при выдаче краткосрочных ссуд, срок по которым равен одному году или менее.

Если в расчете принимают, что год равен 360 дням, то вычисляют обыкновенный, или коммерческий, процент, если 365 дням, то вычисляют точный процент.

Формула наращения по коммерческим процентам имеет вид где Т - число дней ссуды.

При сложных процентах проценты начисляются на наращенную сумму (если проценты не выплачиваются сразу в момент их начисления). Сложные проценты применяют для долгосрочных финансово-кредитных операций. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая служила базой для их определения, часто называют капитализацией процентов.

Для определения величины сложных процентов применяют следующую формулу:

где г - процентная ставка за начисляемый период;

t - количество периодов начисления процентов.

Например, если годовая процентная ставка равна 20 %, а проценты начисляются ежеквартально (т. е. 4 раза в год), то при определении величины наращенной за три года суммы в представленной формуле г = 20/4 = 5 % (т. е. при 20 % годовых в квартал начисляется 5 %), а t = 4 • 3 = 12 (количество периодов начисления процентов за 3 года).

Таким образом, методика расчета процентов базируется на теории наращения денежных средств по арифметической или геометрической прогрессии. Арифметическая прогрессия соответствуют простым процентам, а геометрическая - сложным.

Различают два способа начисления процентов:

• 1) декурсивный;
• 2) антисипативный.

При декурсивном способе проценты начисляются в конце каждого интервала начисления. Декурсивная процентная ставка называется ссудным процентом (/).

При антисипативном способе проценты начисляются в начале каждого интервала начисления. Антисипативная процентная ставка называется учетной ставкой (d).

И в том и в другом случае начисления процентов процентные ставки могут быть как простыми, так и сложными.

Формулы для расчета простых и сложных процентов различными способами приведены ниже:

Б_д = Н_д (1 + ni) - для простых декурсивных процентов;

Б_д = Н_д (1 + i)ⁿ - для сложных декурсивных процентов;

Б_д = Н_д / (1 - nd) - для простых антисипативных процентов;

Б_д = Н_д / (1 - d)ⁿ - для сложных антисипативных процентов.

Сравнивая данные формулы, можно заметить, что антисипативный метод начисления процентов более выгоден заемщику. В мировой практике наибольшее распространение получил декурсивный способ начисления процентов. Антисипативный метод начисления процентов применяется, как правило, в периоды высокой инфляции.

В ряде случаев при анализе эффективности различных финансовых операций определяют эквивалентные процентные ставки.

Эквивалентные процентные ставки - это процентные ставки разного вида, применение которых при одинаковых начальных условиях дает одинаковые финансовые результаты.

Под одинаковыми начальными условиями в данном случае подразумеваются одна и та же величина первоначального капитала и равные периоды начисления дохода. Исходя из этого, можно составить уравнение эквивалентности и вывести соотношение для рассматриваемых ставок.

Например, для простых ссудной и учетной ставок такие соотношения будут выглядеть следующим образом:

При проведении процедуры дисконтирования доходность инвестиций определяется на основе дисконтной ставки (нормы дисконта).

Дисконтирование осуществляется посредством корректировки (умножения) ожидаемых денежных доходов на коэффициент дисконтирования (К_д).

где i - ставка дисконтирования (норма дисконта), доли единицы.

Ставка (норма) дисконтирования - это размер прибыли, которую инвестор мог бы иметь от альтернативного вложения. Определение нормы дисконта является довольно сложной задачей. При определении нормы дисконта возможно несколько подходов.

• 1. Тождественность нормы дисконта с банковской ставкой. Данный подход предполагает, что альтернативным источником вложения денежных средств является размещение денег в банке под проценты. Однако, принимая во внимание, что различные банки предлагают различные ставки, сложно понять, какое именно значение следует выбрать.
• 2. Установление нормы дисконта в соответствии с уровнем доходности каких-либо ценных бумаг. Как правило, в данном случае используются показатели доходности казначейских обязательств.
• 3. Установление нормы дисконта на основе экспертных оценок финансовых специалистов предприятия.
• 4. Установление нормы дисконта с учетом уровня риска вложений и темпов роста инфляции.
• 5. Установление нормы дисконта на основе средневзвешенной стоимости капитала предприятия.

Применительно к дисконтированию также говорят о дисконтировании по простой или сложной ставке процентов.