Нормальное распределение

Нормальное распределение имеет место, когда отклонение случайной величины создают многие примерно равнозначные по воздействию, независимые (или слабо зависимые) друг от друга факторы.

Так как на практике часто выполняются именно эти условия, то нормальное распределение является весьма распространенным.

Плотность распределения при нормальном распределении описывается формулой

>

из которой видно, что оно определяется двумя параметрами - математическим ожиданием М(х) и средним квадратическим отклонением ох.

Графически этот закон интерпретируется кривой Гаусса (рис. 11) с максимумом при х = М(х):

Параметр ох характеризует ширину кривой плотности распределения, а, следовательно, и остроту кривой. Действительно, вся площадь под кривой, выражающая вероятность достоверного события, не зависит от формы и всегда должна быть равна единице. Следовательно, более узкая кривая должна быть более высокой, и наоборот.

Функция и плотность нормального закона распределения

Рис. 11. Функция и плотность нормального закона распределения

Теоретически функция плотности распределения, подчиняющаяся нормальному распределения распространяется в диапазоне от х = - оо до х = + оо, но это не является существенным недостатком, так как площадь, очерченная уходящими в бесконечность ветвями, начиная с диапазонов х < М(х) - Зах (точки 1 и 1* оси х на рис. 11) и х <М(х) + Зсгг (точки 2 и 2* оси х на рис. 11) составляет величину всего 0,27 %. Т.е. вероятность отказа, например, в диапазоне х<М(х) - 3<тг составляет не более 0,135 % и обычно не учитывается в расчетах.

Наибольшая ордината кривой равна 0,399/ах .

Функция нормального распределения определяется интегрированием функции плотности распределения F:

Интеграл такого вида не выражается через элементарные функции. Решение в этом случае проводится заменой переменных в интеграле введением квантили-.

и переходом к нормированному распределению (м (х) = 0, х = l).

Пропуская вывод уравнения, запишем

где

- интеграл Лапласа.

Вкладывая смысл функции нормального распределения как вероятность отказа в заданном интервале времени F(x) = Q(x), вероятность безотказной работы будет

где

- квантиль нормального распределения (табл. 1).

Таблица 1. Связь P(t) с квантилью и_

Квантиль,

и

Вероятность безотказной работы, P(t)

Квантиль,

и

Вероятность безотказной работы,

т

Квантиль,

и

Вероятность безотказной работы,

т

0,0

0,5000

-0,7

0,7580

-2,000

0,9772

-0,1

0,5398

-0,8

0,7881

-2,200

0,9861

-0,2

0,5793

-0,9

0,8159

-2,326

0,9900

-0,3

0,6179

-1,0

0,8413

-2,500

0,9938

-0,4

0,6552

-1,282

0,9000

-3,090

0,9990

-0,5

0,6915

-1,400

0,9192

-3,500

0,9998

-0,6

0,7257

-1,600

0,9452

-3,719

0,9999

Пример

Оценить вероятность P(t) безотказной работы в течение t = 1,5* 104 ч изнашиваемого подвижного сопряжения, если ресурс по износу подчиняется нормальному распределению с параметрами M(t) = 4-104 ч, а = 104ч.

Решение

по табл. 1 находим P(t) = 0,9938.

Помимо прямой задачи - оценки вероятности безотказной работы за данную наработку - зачастую требуется решить обратную задачу: определить наработку, соответствующую заданной вероятности безотказной работы.

Пример

Оценить 90 % ресурс редуктора мешалки, если известно, что долговечность шестерни ограничена по износу, а ресурс подчиняется нормальному распределению с параметрами M(t) - 104ч, а = 103ч.

Решение

Из табл. 1 при P(t) = 0,900 находим: и = -1,282.

Тогда

Нормальному распределению подчиняются: наработка на отказ многих восстанавливаемых и невосстанавливаемых изделий; размеры и ошибки измерения деталей; механические характеристики материалов (пределы текучести, прочности, выносливости и т.п.). Этот закон часто также называют законом Гаусса.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >