Логарифмическое нормальное распределение

При логарифмически нормальном распределении нормально распределенным является логарифм (lg t) случайной величины Г, а не сама эта величина.

Это распределение обеспечивает более точное, чем нормальное распределение, описание наработки до отказа тех объектов, у которых отказ возникает вследствие усталости, например подшипников качения, элементов электронных систем управления комок и пр. Оно используется при обработке опытных данных об усталостной долговечности металлов, времени безотказной работы некоторых объектов.

Логарифмически нормальное распределение позволяет описывать течение времени безотказной работы объектов, имеющих свойство «упрочняться» по ходу времени эксплуатации:

где p - математическое ожидание логарифма времени; о - среднее квадратическое отклонение логарифма времени.

По результатам испытания и оЬи определяют по формулам:

Вероятность безотказной работы P(t)„,a6n можно определить по табл. 1 для нормального распределения в зависимости от квантили

логарифмически нормальное распределение справедливо при любом основании логарифма, но наиболее употребительны десятичные и натуральные логарифмы.

Данное распределение хорошо моделирует отказы, происходящие вследствие накопления элементарных повреждений в материале деталей. В этой связи оно принято в качестве одной из статистических моделей усталостных отказов, которые происходят в результате постепенного суммирования внутренних дефектов металла, превращая их в микротрещины, и последующего роста их до размеров, приводящих к недопустимому ослаблению сечения детали.

О выборе закона распределения отказов при расчете надежности

Определение закона распределения отказов имеет большое значение при исследованиях и оценках надежности. Однако определение P(t) по одной и той же исходной информации от Г, но при различных предположениях о законе распределения может привести к существенно отличающимся результатам.

Закон распределения отказов можно определить по экспериментальным данным, но для этого необходимо проведение большого числа опытов в идентичных условиях. Практически эти условия, как правило, трудно обеспечить. Кроме того, такое решение содержит черты пассивной регистрации событий.

В настоящее время не существует какого-либо универсального способа получать непосредственно из некоторых статистических данных математическую модель закона распределения. Известные методы позволяют лишь подтвердить (или отвергнуть) соответствие данного статистического материала некоторой заранее выдвинутой гипотезе о законе распределения. Более рационально - изучение и анализ условий, физических процессов при которых возникает то или другое распределение. На основе такого анализа составляются модели возникновения отказов и соответствующие им законы распределения времени до появления отказа, что позволяет делать обоснованные предположения о законе распределения.

Процедура нахождения подходящей математической модели закона распределения случайной величины всегда выполняется в два этапа:

  • 1) выдвижение гипотезы о математической моделе распределения;
  • 2) проверка соответствия выдвинутой гипотезы имеющимся статистическим данным, т.е. опытные данные служат лишь средством проверки обоснованности прогноза, а не источником данных о законе распределения.

Как уже отмечалось, гипотезы о законе распределения могут выдвигаться на основе теоретического анализа физической природы и свойств рассматриваемой случайной величины. Источником этих гипотез может служить также предварительный анализ имеющихся статистических данных.

Проверка соответствия гипотезы статистическим данным сводится к установлению степени близости гипотетического и статистического распределений. Для проверки гипотез о законе распределения применяются специально разработанные количественные критерии, получившие название критериев согласия, среди которых наиболее широкое применение нашли два критерия - критерий Пирсона и критерий Колмогорова.

В табл. 2 для каждой составляющей надежности указаны характерные случайные величины и показатели надежности, а также типы законов распределения, которые могут использоваться при их описании.

Для однозначного определения закона распределения, как известно, необходимо задать столько независимых чисел, сколько параметров имеет этот тип закона распределения. Такими числами могут быть, в частности, показатели составляющих надежности. Поэтому выбор числа показателей некоторой составляющей надежности связывается с числом параметров того типа законов распределения, к которому относятся распределение определяющей эту составляющую надежности случайной величины.

Таблица 2. Показатели и законы распределения по составляющим надежности

Составляющая

надежности

Случайная

величина

Показатели надежности для объектов

Используемый закон распределения

невосстанав-

ливаемых

восстанавливаемых

Безотказность

Время безотказной работы

Гамма-процентная наработка до отказа P(t) -вероятность безотказной работы

Тср - средняя наработка до отказа

(t)- интенсивность отказов co(t) - параметр потока отказов

Экспоненциальный

Нормальный

Ремонтопригодность

Время восстановления

-

Тср - среднее время восстановления Р0в)~ вероятность восстановления

Нормальный

Экспоненциальный

Сохраняемость

Время хранения до потери объектом своих характеристик

Г амма-процент- ный срок сохраняемости Мс - средний срок сохраняемости

Г амма-процент- ный срок сохраняемости Мс _ средний срок сохраняемости

Нормальный

Логарифми-

чески-нор-

мальный

Экспоненциальный

Долговечность

Время от начала эксплуатации до предельного состояния

Г амма-процент- ный ресурс

Г амма-процент- ный ресурс

-

Описанный выше подход достаточно широко применяется при выборе числа показателей безотказности. Реже такой же подход используется при выборе числа показателей ремонтопригодности. Это связано с тем, что пока еще лишь для небольшой номенклатуры промышленных изделий считается необходимым задавать распределение вероятности восстановления.

Что касается таких составляющих надежности, как сохраняемость и долговечность, то в настоящее время знание такого закона распределения не считается необходимым. В связи с этим для описания каждой из этих составляющих выбирается обычно один показатель (редко два), и выбор этот не связывается с типом закона распределения соответствующей случайной величины.

Контрольные вопросы

  • 1. Дать определения понятиям частоты и вероятности событий.
  • 2. Пояснить суть теоремы сложения вероятностей и ее практического применения.
  • 3. Пояснить суть теоремы умножения вероятностей и ее практического применения.
  • 4. Законы распределения случайных величин и способы их задания.
  • 5. Функция распределения случайных величин.
  • 6. Плотность распределения.
  • 7. Закон распределения Пуассона и область его применения. Почему распределение Пуассона часто называют «законом редких событий»?
  • 8. Экспоненциальный закон распределения и область его применения.
  • 9. Нормальный закон распределения и область его применения.
  • 10. Логарифмический нормальный закон распределения и область его применения.
  • 11. Выбор закона распределения отказов при расчете показателей надежности.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >