Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний одинаковой частоты

Два гармонических колебания с одинаковыми частотами происходят во взаимно перпендикулярных направлениях (по осям ОХ и OY):

В зависимости от соотношения амплитуд А,, А2 и начальных фаз (pj, ф2 складываемых колебаний точка будет двигаться или по эллипсу или по окружности или по прямым линиям (в 1,3 или 2,4 четвертях).

к

А) Пусть А, Ф А2 и разность фаз Д(р = ф, - ф2 = ±—, тогда

Возводим уравнения в квадрат и исключаем время:

Полученное уравнение или траектория движения точки является эллипсом с полуосями А, и А,. Если Aj = А2, то эллипс превращается в окружность. Таким образом, результирующее движение точки - это движение с постоянной угловой скоростью со по эллипсу с полуосями А, и А2 (рис. 26,а) или по окружности с радиусом А = Aj = А2 (рис. 26,6).

Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты и с разностью фаз Л (р = ± 7Т 2

Рис. 26. Траектория точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты и с разностью фаз Л (р = ± 7Т 2: а - амплитуды колебаний различны: А2 >А у, б - амплитуды колебаний одинаковы: A i = А2 А

Б) Пусть Aj ф А2 и разность фаз А<р = cpj - ф2 = 0, тогда д

Уравнение у= —-х является уравнением прямой линии, находящей- А2

ся в 1,3 четвертях координатной плоскости XOY (рис. 27).

Если Aj ф А2 и разность фаз Аср = <р, - ф2 = л, тогда:

Полученное уравнение является уравнением прямой линии, находящейся во 2, 4 четвертях координатной плоскости (рис. 27).

Траектория движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, произвольной амплитуды

Рис. 27. Траектория движения точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях одинаковой частоты, произвольной амплитуды

а2фа1 : а - разность фаз А (р = 0; б- разность фаз Д<р = к

Результирующее движение точки является гармоническим коле- А А

банием вдоль прямой у= —-х или у=-- с частотой (о и ампли-

Ат Ат

тудой А = д/Aj2 + А, .

Сложение взаимно перпендикулярных гармонических колебаний с кратными частотами

Пусть точка совершает одновременно два гармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, но с различными частотами Oj ф од, • Если частоты или периоды ТрТт этих колебаний относятся как целые числа:

(n, m - целые числа), то через промежуток времени, равный наименьшему общему кратному[1] обоих периодов, движущаяся точка снова возвращается в начальное положение. Определение уравнения траектории точки, участвующей в данных колебаниях в общем случае является трудной в математическом отношении задачей.

Траектория точки представляет сложную петлеобразную кривую. В общем случае вид траекторий зависит от соотношения между частотами, фазами и амплитудами колебаний.

Если периоды обоих колебаний совпадают неточно, то разность фаз все время меняется, вследствие чего траектория все время деформируется.

Если частоты обоих колебаний существенно отличаются друг от друга, то фигуры Лиссажу не наблюдаются.

Ниже на рис. 28 приведены фигуры Лиссажу для некоторых не очень сложных случаев, отличающихся разностью фаз и соотношением

Фигуры Лиссажу в зависимости от разности фаз

Рис. 28. Фигуры Лиссажу в зависимости от разности фаз <р = (р, - <р2 и соотношения частот со ^ со 2 складываемых колебаний

частот колебаний. Рассмотренные выше варианты сложения взаимно перпендикулярных колебаний при равенстве их частот представляют самый простой вид фигур Лиссажу.

  • [1] Наименьшее общее кратное двух целых чисел m, п - наименьшеенатуральное число, которое делится без остатка на каждое из этих двухчисел.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >