ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ В СВЯЗАННЫХ КОНТУРАХ

Лабораторная работа

Цель работы: изучение теории колебаний в связанных колебательных системах, наблюдение колебаний в связанных электрических контурах, измерение частот нормальных колебаний и биений.

Принадлежности: источник постоянного напряжения, звуковой генератор ГЗ-111, электронный осциллограф, кассета ФПЭ-09/ПИ, кассета ФПЭ-13, магазин емкостей, кабели и соединительные провода.

Электрические колебания - колебания зарядов и токов, электрических и магнитных полей в колебательном контуре - имеют наглядную механическую аналогию в виде гармонических колебаний пружинного или математического маятников. Электрические колебания в связанных контурах также аналогичны колебаниям в системе из связанных механических маятников.

Колебания связанных механических маятников

Для лучшего понимания процессов, происходящих в связанных электрических контурах, рассмотрим механическую аналогию - колебания физических маятников, упруго связанных пружиной друг с другом (рис. 32). Наличие пружины обеспечивает взаимодействие маятников друг с другом и перенос энергии от одного маятника к другому в процессе колебаний.

Связанные физические маятники

Рис. 32. Связанные физические маятники: два тела массами т подвешены на жестких недеформируемых стержнях и связаны между собой невесомой пружиной

Система из двух связанных маятников обладает двумя степенями свободы, для ее описания необходимо задать два угла отклонения маятников от положения равновесия. Количество степеней свободы системы, с другой стороны, равно числу независимых движений, которые может совершать система. Независимые колебания в колебательной системе называются собственными, нормальными колебаниями или нормальными модами (типами) колебаний. В случае нормальных колебаний все составные части системы колеблются по гармоническим законам с одинаковой частотой. Все остальные колебания, которые может совершать система связанных тел, не будут гармоническими.

Система из двух одинаковых связанных маятников, обладая двумя степенями свободы, имеет две нормальные моды колебаний. Если маятники отклонить на одно и то же расстояние А+ в одну сторону (рис. 33) и отпустить, то пружина, оставаясь не растянутой, не будет связывать маятники друг с другом - колебания будут гармоническими с частотой (щ. Если маятники отклонить на одинаковые расстояния А_ , но в противоположные стороны и отпустить, то в системе также установятся гармонические колебания с частотой со2- В этом случае средняя точка пружины остается неподвижной и перенос энергии (взаимодействие маятников) отсутствует. Такие синфазные или противофазные колебания маятников происходящие с частотами o>i и о>2 являются нормальными модами (типами) колебаний двух связанных маятников.

Нормальные моды колебаний связанных маятников

Рис. 33. Нормальные моды колебаний связанных маятников: а - синфазная: б - противофазная

Для синфазной (или симметричной) моды смещения маятников от положения равновесия равны друг другу по величине и по знаку:

для противофазной (или антисимметричной) моды - равны по величине, но противоположны по знаку:

Произвольное колебание системы связанных маятников можно представить в виде суперпозиции нормальных мод колебаний:

Амплитуды А+,А_ и начальные фазы (р0+, ф0. нормальных мод

определяются начальными условиями. В общем случае в системе будут происходить негармонические колебания маятников с изменяющейся амплитудой.

Приведем маятники в движение из начального (t = 0) состояния при условиях: х,(0)=0, х2(0)=2А и х,(0)=0, х?(0)=0. То есть,

первый маятник находится в положении равновесия, второй отклонен от положения равновесия на расстояние 2А, начальные скорости маятников равны нулю и, соответственно, равны нулю начальные фазы Фо+ > Фо- Отпустим второй маятник без толчка. Тогда в системе установятся колебания вида:

В системе устанавливаются колебания маятников с частотой, равной средней частоте двух нормальных мод:

а их амплитуда изменяется со временем по закону косинуса или синуса с частотой, равной полуразности частот нормальных мод:

Медленное изменение с частотой, равной половине разности частот нормальных мод, называется «биениями».

Частота биений равна разности о^-оь частот (а не половине этой разности) поскольку максимум амплитуды 2А достигается дважды за период, соответствующий частоте Q= 0)1 0)2 . Следовательно, период биений оказывается равным:

При биениях между маятниками происходит периодический обмен энергиями. Вначале (рис. 34) амплитуда колебаний второго маятника максимальна и максимальна его энергия, при этом амплитуда колебаний первого маятника и его энергия равны нулю. С течением времени убывает амплитуда колебаний второго маятника и возрастает амплитуда колебаний первого маятника. К моменту времени

амплитуда колебаний и энергия второго маятника уменьшаются до нуля, возрастают до максимума амплитуда и энергия колебаний первого маятника. Далее процесс идет в обратном порядке - уменьшается амплитуда и энергия колебаний первого маятника и возрастают у второго.

Биения в системе связанных маятников

Рис. 34. Биения в системе связанных маятников

Колебания напряжения, токов, электрических и магнитных полей в электрическом контуре подробно рассмотрены выше в работе 242. Возникающие колебания являются гармоническими и период свободных колебаний в электрическом контуре определяется формулой Томсона:

Колебательный контур может быть связан с другими цепями, например, с другим колебательным контуром. Связь между контурами может быть обеспечена разными способами. На рис. 35 изображены электрические контура, связанные: а) индуктивной связью; б) емкостной связью.

Связанные электрические контуры

Рис. 35. Связанные электрические контуры: а - индуктивная связь; б - емкостная связь

В первом случае (рис. 35а) используется явление взаимной индукции - переменный магнитный поток катушки индуктивности первого контура, пронизывая витки катушки второго контура, наводит в ней переменную э.д.с., и, наоборот, изменяющийся магнитный поток катушки второго контура наводит э.д.с. в первом контуре. Во втором случае (рис. 35б) напряжение, которое создается на конденсаторе связи Ссв при прохождении через него тока первого контура, действует на цепь второго контура, приводя к появлению в нем тока, и наоборот. Такая схема называется схемой с внутренней емкостной связью.

Рассмотрим колебания, происходящие в двух одинаковых электрических контурах (Lt = L2 = L, Q = С2 = С), связанных емкостной связью (конденсатор Ссв) - рис. 36. В системе из двух связанных контуров, также как и в системе двух связанных маятников, возможны две нормальные моды колебаний.

На рис. 36 изображены направления токов в контурах в некоторый момент времени (с течением времени направления и величины токов будут изменяться в соответствии с гармоническим законом).

Нормальные колебания в системе двух одинаковых связанных электрических контуров (L,=L=L, Ci=C=C)

Рис. 36. Нормальные колебания в системе двух одинаковых связанных электрических контуров (L,=L2=L, Ci=C2=C): а - синфазная (ши симметричная) мода; б - противофазная (или антисимметричная) мода

Синфазная мода возникает, если токи 1ь Ь в обоих контурах текут по часовой стрелке. При этом ток через конденсатор связи (с учетом направления токов 1ь 12) равен нулю С +(-12) =0. Конденсатор остается незаряженным, что является аналогом нерастянутой пружины в колебаниях связанных маятников (рис. 33с/). Противофазная мода возникает, если ток С в левом контуре течет по часовой стрелке, а в правом 12- против часовой стрелки. Через конденсатор связи токи С, 12 текут в одном направлении. Конденсатор заряжается - это является аналогом растянутой пружины в колебаниях маятников (рис. 33б).

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >