Распределение суммы и разности средних двух независимых выборок

Распределение суммы и разности средних значений двух независимых выборок, отобранных из различных генеральных совокупностей, может быть получено так же, как для одной выборки, когда рассматриваются все возможные комбинации выборок из обеих генеральных совокупностей. Пусть для г-й генеральной совокупности (г = 1, 2, ..., п) распределение выборочного среднего х{ имеет среднее ix и дисперсию ох.

Тогда распределение суммы средних двух независимых выборок х^ +х2 имеет следующие характеристики:

  • 1. Среднее распределения +цХг*
  • 2. Дисперсия распределения <^+х, = (% х2*
  • 3. Стандартная ошибка распределения =a/°^ + °х2-
  • 4. Распределение (приблизительно) нормальное, если оба выборочных распределения (приблизительно) нормальны.

Соответственно, распределение разности средних двух независимых выборок х^ -х2 будет характеризоваться следующим образом:

  • 1. Среднее распределения
  • 2. Дисперсия распределения =0^ +о^.
  • 3. Стандартная ошибка распределения =^а I +Gi*
  • 4. Распределение (приблизительно) нормальное, если оба выборочных распределения (приблизительно) нормальны.

Полученные результаты для выборочного распределения суммы и разности среднего могут быть обобщены для любой другой статистики, например для выборочного коэффициента корреляции или выборочной относительной частоты (доли, пропорции).

Распределение выборочной относительной частоты

Понятие относительной частоты принадлежит к числу основных понятий теории вероятностей и математической статистики. В отличие от вероятности событий, которая определяется как теоретически вычисленная величина (Р = т/п, где т - число событий с ожидаемым исходом, п - общее количество испытаний), т.е., по сути, до проведения эмпирического исследования, относительная частота определяется как фактически полученное отношение числа т появления события А и общего количества проведенных испытаний п:

Поскольку формально теоретически рассчитываемая вероятность и относительная частота совпадают, на практике последнюю часто обозначают символом р.

Например, относительная частота встречаемости W(A) в генеральной совокупности носителей определенных характеристик (например, мужчин, или больных ишемической болезнью сердца) может быть оценена с помощью соответствующей выборочной относительной частоты р = т/п, где в выборке объемом п содержится т случаев, обладающих нужной характеристикой. Распределение выборочной относительной частоты может быть определено, если вычислить относительные частоты рх, р2, ..., pk для всех возможных выборок объемом п, которые могут быть получены из данной генеральной совокупности. Выборочное распределение р имеет следующие свойства:

  • 1. Его среднее = р.
  • 2. Дисперсия о2р = р(1- р)/ п.

jp(l-p)

  • 3. Стандартное отклонение SE(р) = ор = J—--.
  • 4. Распределение биномиальное. Для относительно больших выборок (например, при п > 30) биномиальное распределение может быть аппроксимировано через нормальное распределение.

Рассмотрим примеры.

Распределение выборочного среднего

Предположим, что результаты социологического теста для взрослого населения нормально распределены со средним ц = 86 и стандартным отклонением а = 4. Пусть из этой генеральной совокупности была взята случайная выборка объемом 25. Тогда среднее (ij и его стандартная ошибка для выборочного распределения определяются следующим образом:

Распределение разности двух независимых выборочных средних

Предположим, что распределение суточного потребления калорий (ккал/в день) для детей возраста 1-2 лет имеет среднее рг = 1287 и стандартное отклонение = 198, а соответствующие параметры для генеральной совокупности 2-3-летних детей: среднее р2 = 1403 и стандартное отклонение а2 = 205. Пусть из первой генеральной совокупности была извлечена выборка объемом п1 = 27 детей, а из второй - объемом п2 = 25 детей. Тогда среднее выборочного распределения

разности средних ежедневного потребления калорий для обеих возрастных групп и их стандартная ошибка будут соответственно

Распределение выборочной относительной частоты

В генеральной совокупности 5-летних детей было установлено, что 20 % из них имеют проблемы с обучением. Представляет интерес для последующего исследования этого вопроса определение стандартной ошибки относительной частоты р для выборки объемом 150 единиц. Имеем п = 150, р = 0,2 (реальная относительная частота в генеральной совокупности). Стандартная ошибка относительной частоты вычисляется по следующей формуле:

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >