Адаптивная система с управлением по состоянию

Адаптивная система с моделью и с управлением по состоянию применяется в тех случаях, когда все переменные состояния объекта управления типа (2.1), (2.2) являются измеряемыми, т.е. имеют место равенства:

Фактически это значит, что в уравнении (2.2) матрица С равна единичной матрице, т.е. С =Е.

Кроме того, в данном случае предполагается, что число управляющих воздействий так же равно числу переменных состояния. Другими словами, матрица В в уравнении (2.1) является квадратной и неособенной, т. е. m = п и det В Ф 0. Без потери общности, можно считать, что матрица В = Е. Таким образом, уравнения неопределённого объекта и модели в этом случае имеют вид:

Так как уравнения (2.12) описывают желаемое поведение замкнутой системы, то матрица является устойчивой, т.е. её характеристический

полином удовлетворяет критерию Гурвица. Уравнение адаптивного регулятора в данном случае ищется в виде

где Kj(t), K2(t) _ матрицы настраивающихся коэффициентов адаптивного регулятора (2.13).

Коэффициенты матриц K,(t), K2(t) _ эт0 функции времени, как показано на рис. 2.2. Они изменяются в течение переходного процесса адаптации, а затем остаются постоянными, пока коэффициенты объекта управления не примут новых значений. Сами матрицы Kj(t), K2(t) определяются решениями следующих дифференциальных уравнений:

В уравнениях (2.14), (2.15) F,, Ft- произвольные, положительно

определённые пхп матрицы; Р - также пхп симметричная, положительно определённая матрица, которая является решением следующего

уравнения Ляпунова:

где Q - симметричная, положительно определённая матрица.

Уравнение (2.16) всегда имеет решение в виде симметричной, положительно определённой матрицы, так как матрица А является, как отмечалось выше, устойчивой матрицей. Выражения (2.12) - (2.16) представляют собой уравнения адаптивного регулятора с моделью. График одного из решений этих уравнений приведен на рис. 2.2.

Коэффициенты адаптивного регулятора

Рис. 2.2. Коэффициенты адаптивного регулятора

Скорость сходимости элементов матриц Kj(t), K2(t) к своим установившимся значениям определяется произвольными матрицами постоянных коэффициентов Fj, F2 Эти матрицы выбираются эмпирически

(опытным путём) в процессе настройки адаптивной системы непосредственно на конкретном объекте управления.

Алгоритм (2.12) - (2.16) достаточно простой и практически всегда обеспечивает сходимость, однако условия, при которых получен данный алгоритм, на практике выполняются довольно редко. Основными ограничениями здесь являются требования, чтобы число управлений и число управляемых переменных было равно числу переменных состояния, а все переменные состояния были доступны измерению.

Пример 2.1. Найти алгоритм настройки адаптивного регулятора по переменным состояния для объекта, описываемого уравнениями:

где а и h - неизвестные числа. При этом управляемая переменная у измеряется.

Решение. В данном случае, очевидно, полностью выполняются принятые в начале данного параграфа допущения: число управляемых переменных равно числу управлений и числу переменных состояния, а управляемая переменная измеряется. Поэтому для построения алгоритма адаптивного управления по состоянию можно применить изложенную выше теорию.

Возьмем уравнение модели следующего вида:

где а >0 Адаптивный регулятор в соответствии с равенством (2.13) описывается выражением:

где Kj(t), K2(t) - некоторые скалярные функции, подлежащие определению.

В соответствии с уравнениями (2.14), (2.15) эти функции являются решением следующих дифференциальных уравнений:

где ?a(t) = yM(t) — y(t) = ^(t) — x(t); у,, y2- постоянные, являющиеся

параметрами настройки адаптивного управления (2.20).

Уравнение Ляпунова (2.16) здесь имеет вид:

где q - положительное число. Решение этого уравнения - p = q/2aN ,>0. Это позволяет записать уравнения (2.21) и (2.22) следующим образом:

Таким образом, уравнения искомого адаптивного регулятора для неопределенного объекта первого порядка (2.17), (2.18) определяются выражениями (2.19) - (2.24), где ea(t) = yM(t) - y(t) •

Анализ поведения адаптивной системы. Покажем, что если в процессе адаптации параметры замкнутой системы приближаются к параметрам модели, то рассогласование ?a(t) = yM(t)— y(t) стремится к нулю. С

этой целью подставим уравнение (2.20) в уравнение (2.17). В результате получим

или

Возьмём в качестве функции Ляпунова функцию

Это положительно определенная функция. Её производная по времени равна

Но производная по времени от рассогласования ?a(t) в соответствии с уравнениями (2.25) и (2.19) имеет вид:

Из выражения (2.27) видно, что если за счет изменения коэффициентов К] (t) и К2 (t) в процессе адаптации будут выполнены следующие равенства:

то g =—а (х —х) = —а s . Подставим это выражение для g в формулу

(2.26). В результате получим, что производная по времени функции V(8 ) вдоль траекторий адаптивной системы (2.25) определяется выражением :

Таким образом, по отношению к замкнутой системе, состоящей из объекта (2.17), (2.18) и адаптивного регулятора (2.19) - (2.24), существует положительно определённая функция V (sa ), производная которой вдоль траекторий системы при всех ga (t) ф 0 является отрицательно определённой функцией. Следовательно, в силу теоремы Ляпунова процесс адаптации и сама адаптивная система управления являются устойчивыми, т.е. Sa(t)—>0 Отсюда следует, что рассогласование в основном контуре

системы управления g(t) = g(t)— y(t) также стремится к нулю, т.е. lims(t) = О •

t—>сО

Так как на практике число управляющих воздействий обычно меньше числа переменных состояния объекта, то рассмотренный алгоритм может быть использован не всегда, в связи с этим рассмотрим ещё один алгоритм адаптивного управления с моделью.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >