Адаптация с использованием чистых производных

Рассмотрим неопределённый объект известного порядка п с одним управлением, одним задающим воздействием и одной управляемой переменной. Будем считать, что модель этого объекта задана соответствующими передаточными функциями по управлению и по задающему воздействию:

Задана и желаемая модель замкнутой системы также в виде передаточной функции:

где оц, h - неизвестные параметры объекта управления; а*1 - коэффициенты характеристического полинома модели замкнутой системы, удовлетворяющего критерию Гурвица.

Как отмечалось выше, параметры Ьм и oc,M i = 0, п — 1 модели

(2.30) выбираются так, чтобы соответствующая ей система управления имела те же показатели качества, какие должна иметь замкнутая система управления неопределенным объектом (2.28), (2.29).

Как видно, и здесь предполагается, что порядок неопределённого объекта известен и равен п.

Допустим, имеется возможность измерять выходную переменную y(t) и определять все её производные по времени до П 1 включительно, т.е. предположим, что измеряются величины:

В этом случае управление и можно определить равенством:

где Kj(t), i = О, П - коэффициенты настройки адаптивного регулятора.

Как и в предыдущем случае, они определяются непосредственно в процессе функционирования адаптивной системы управления путем решения в её регуляторе дифференциальных уравнений вида:

Здесь s!|(t) = yM(t) — y(t), s^(t)=yM(t)-y(t), eaj (0 = ^(0, уг параметры настройки адаптивного управления (2.31) - произвольные положительные числа, т.е. у. > 0» i =0, ni числа . - это компоненты вектора 1,

который вычисляется по следующей формуле:

В этом равенстве Р - матрица, по-прежнему, являющаяся решением приведенного выше уравнения Ляпунова (2.16).

Основная трудность практического применения алгоритма адаптивного управления с моделью (2.31) - (2.34) заключается в том, что определение производных по времени четвёртого, пятого и более высоких порядков чрезвычайно затруднено шумами, которые всегда сопровождают процессы измерения и управления. Поэтому данный подход может быть применён лишь для объектов 3-го, максимум 4-го порядка.

С другой стороны, как будет показано ниже, если скорость протекания процессов в управляемом объекте невысока, то определение оценок значений производных по времени измеряемых переменных вплоть до третьего-четвертого порядка является вполне разрешимой задачей при современном состоянии средств вычислительной техники.

Поэтому областью практического применения данного алгоритма являются системы управления такими объектами управления, в которых протекают медленные процессы, высшие производные по времени которых малы, так что ими можно пренебречь. Кроме того, для определения производных по времени от переменных таких «медленных» объектов можно применять эффективные процедуры сглаживания шумов, что позволяет выделить старшие производные из помех, и тем самым реализовать данный алгоритм управления.

Пример 2.2. Рассмотрим неопределённый объект второго порядка, уравнение которого имеет вид:

а его параметры а0, ар h2 неизвестны. Найти алгоритм настройки параметров адаптивного закона управления:

при котором управляемая переменная у объекта (2.35) стремится к значениям выходной величины модели системы управления, которая описывается уравнением:

Решение. Переходная функция модели (2.37) приведена на рис. 2.3. Как видно, перерегулирование здесь составляет 5 %, а время регулирования t = Зс. Этот переходной процесс иногда называют «оптимальным

по быстродействию» процессом второго порядка без ограничений на управление. Это объясняется тем, что другие аналогичные переходные процессы систем второго порядка без ограничений на управление имеют большую длительность.

Чтобы воспользоваться приведёнными выше формулами (2.28) - (2.34), необходимо, прежде всего, решить уравнение Ляпунова (2.16), а для этого необходимо представить уравнение объекта (2.35) и уравнение модели (2.37) в переменных состояния. Воспользуемся для этой цели соотношениями для уравнений в канонической наблюдаемой форме (см. [2. С. 112-114]).

Оптимальный желаемый процесс

Рис. 2.3. Оптимальный желаемый процесс

Записывая соответствующие уравнениям (2.35) и (2.37) передаточные функции и применяя к ним указанные соотношения, будем иметь:

Таким образом, матрица Пусть матрица

Очевидно Q>0 Подставим матрицы Ам и Q в уравнение (2.16) и решим его. В результате найдем, что матрица

Далее найдём вектор 1 по (2.34)

т.е. 10 =— 1, ^ = 1,41 Наконец, подставляя найденные значения коэффициентов в (2.32), (2.33), получим:

где

Здесь J- - также параметры настройки адаптивного управления (2.36),

являющиеся положительными числами.

Таким образом, адаптивный регулятор для объекта (2.35) определяется уравнением модели (2.39), уравнениями адаптации (2.40) и уравнением адаптивного управления (2.36).

Подчеркнём, что для получения значений управления u(t) необходимо непрерывно, параллельно с работой объекта управления интегрировать уравнения (2.39) и (2.40), одновременно определяя производные по времени у и 8а- Производную 8а можно определять, воспользовавшись выражением sa = ум — у , где у измеряется дифференцирующим

устройством. Производную у проще найти по переменным состояния

модели. Действительно, дифференцируя по времени второе уравнение (2.39), получим = [0 1]хм Далее подставляя сюда первое уравнение (2.39), будем иметь:

или

Так как вектор х^ =[х^ хм 2 ]Т получается в процессе интегрирования системы (2.39), то у легко определяется по приведенной формуле.

Основной трудностью построения адаптивного управления данным методом является выбор коэффициентов у(), у2, значения которых в

приведенных выше уравнениях не определены. Эти значения выбираются экспериментальным путём в процессе настройки системы адаптивного управления непосредственно на объекте управления. Теоретически эти коэффициенты влияют лишь на скорость сходимости коэффициентов jfC (/) к тем значениям, при которых выполняется условие:

где б - допустимая ошибка адаптации.

а, доп J

По отношению к системе (2.38) - (2.40) можно также построить функцию Ляпунова относительно ошибки Sa(t) и показать, что её производная по времени вдоль траекторий адаптивной системы является отрицательно определённой. Поэтому процесс адаптации в этой системе теоретически будет сходиться при любых у- . На практике же из-за неточностей в определении структуры модели объекта (2.35), погрешностей интегрирования уравнений (2.39), (2.40) и других неучтённых факторов процесс адаптации будет сходиться лишь при некоторых значениях этих коэффициентов. Однако найти эти значения можно лишь при настройке системы управления в конкретных условиях её функционирования.

Контрольные вопросы

  • 2.1. Каково назначение модели в системах адаптивного управления?
  • 2.2. В чем состоит формальная цель адаптации в системах адаптивного управления с моделью?
  • 2.3. Почему для обеспечения качественного управления неопределенными объектами в системах адаптивного управления с моделью достаточно достижения формальной цели управления?
  • 2.4. В чем отличие регуляторов систем прямой адаптации от регуляторов систем адаптивного управления с моделью?
  • 2.5. Какие условия осложняют реализацию алгоритма управления по состоянию в системах адаптивного управления с моделью?
  • 2.6. Для какой цели в системах адаптивного управления с моделью используется решение уравнения Ляпунова?
  • 2.7. Какие условия осложняют реализацию алгоритма управления по производным в системах адаптивного управления с моделью?
  • 2.8. Из каких соображений создается модель в системах адаптивного управления с моделью?
  • 2.9. Как практически определяются коэффициенты настройки адаптивных регуляторов с моделью?
  • 2.10. Какие практические методы определения производных по времени от переменных модели можно применять в адаптивных регуляторах с моделью?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >