Рекуррентный наблюдатель производных

Как видно из приведённых выше выражений (3.18) - (3.25), для работы алгоритма идентификации неопределенных объектов рассмотренным выше методом, необходимы оценки дискретных значений производных по времени от измеряемых переменных этих объектов.

Известно достаточно много алгоритмов оценивания производных. При этом большая часть из них ориентирована на случай непрерывных сигналов и их производных. Наиболее простым способом формирования оценки производной по времени является метод Эйлера, в котором оценка дискретного значения производной ук вычисляется, как отношение разности Дук = ук — ук_| к периоду квантования Т, т.е.

Эта формула предполагает, фактически, аппроксимацию реальной функции y(t) линейной функцией, как показано на рис. 3.4.

Для получения значений оценки близких к соответствующей производной по формуле (3.26) требуется уменьшать Т. Однако измеряемые сигналы всегда сопровождаются помехами - ошибками измерения, которые при уменьшении Т делают невозможным применение формулы (3.26) для оценки значений производных. Это с очевидностью следует из рис. 3.5.

Линейная аппроксимация функции

Рис. 3.4. Линейная аппроксимация функции

Преимущество концепции СОРЭ состоит именно в том, что для реализации этого регулятора необходимо оценивать не переменные состояния неопределенной системы или объекта, а производные по времени измеряемой переменной этой системы или объекта. Для оценивания же производных по времени не требуется модель объекта, что и позволяет найти параметры модели неопределенного объекта управления.

Измеряемый сигнал с помехой

Рис. 3.5. Измеряемый сигнал с помехой

Поэтому на практике при оценивании производных применяются сглаживание и другие методы подавления влияния помех. В настоящее время для оценивания переменных состояния чаще всего используется фильтр Калмана-Бьюси (ФКБ). Однако применение этого фильтра требует знания модели той системы, на выходе которой формируется измеряемая переменная.

Для оценки дискретных значений производных по времени целесообразно применять рекуррентный наблюдатель производных (РНП). Этот наблюдатель оценивает значения каждой последующей производной по ошибке оценивания значений предыдущей производной, т.е. он оценивает дискретные значения производных по времени последовательно и рекур- рентно [5].

Рекуррентный наблюдатель производных состоит из Nn + 1 блоков второго порядка, соединённых последовательно. Причем Nn - это порядок старшей из оцениваемых производных. Например, на рис. 3.6 показана схема рекуррентного наблюдателя производных, который может оценить значения наблюдаемой переменной, её первой и второй производных, т.е. здесь Nn = 2. Оценивание производных в данном наблюдателе происходит рекуррентно, т.е. оценивание второй производной начинается, практически, после окончания процесса оценивания первой производной.

Блоки Б] - BN+] - однотипные, но имеют различную задержку начала работы. Каждый блок Б, является нестационарным элементом, так как его параметры изменяются периодически во времени. При этом каждый из блоков РНП оценивает саму переменную, поступающую на его вход вместе со случайной помехой, и первую производную по времени этой переменной.

Схема РНП

Рис. 3.6. Схема РНП

Рассмотрим работу первого блока Б]. Период Т работы этого и всех других блоков рекуррентного наблюдателя производных разбивается на два интервала [0, Xi] и [xi Т], как показано на рис. 3.7.

Уравнения блока Б] имеют вид:

где

Графики изменения коэффициентов kj(t) приведены на рис. 3.7, а. Как видно, на первом интервале [kT, кТ + xj коэффициент k9(t) = 0, а kj (t) = Ц j. При этом он имеет очень большое значение (10-15 тысяч).

На втором интервале [kT + Xj, kT + Т] коэффициент k^t) уменьшается до величины к12 ~ 200 300, а коэффициент к2 увеличивается от нуля до величины порядка 3^5 тысяч. В результате в течение интервала [kT, kT + Xj] переменная состояния xu(t) быстро изменяется и приближается к значению y(t). В этом интервале случайные помехи практически не сглаживаются из-за малой длительности этого интервала.

Коэффициенты и переменные состояния РНП

Рис. 3.7. Коэффициенты и переменные состояния РНП

Длительность второго интервала [кТ + Tj, кТ + Т относительно

велика, поэтому случайные помехи на этом интервале сглаживаются достаточно сильно, так что к концу второго интервала имеет место приближенное равенство:

Другими словами, переменная Xn(t) первого блока РНП к концу второго интервала будет являться оценкой y(t) наблюдаемой переменной y(t) неопределенного объекта.

По истечении времени ть т.е. при t = kT + Т) включится второй интегратор блока Бь при этом коэффициент k2(t) = k2, значение которого - несколько тысяч. Вследствие этого вторая переменная x2(t) начнёт изменяться и приближаться к значению y(t) . Однако шумы с,( (t), сопровождающие измеряемую переменную y(t), здесь также практически не сглаживаются. Поэтому при t 21(t) первого блока Б] представляет собой смесь первой производной измеряемой переменной и случайного шума, т.е. x21(t)« y(t) + ^i(t), как показано на рис. 3.7, б.

Для получения оценки первой производной эта величина y(t)-t-^j(t) подаётся на второй блок Б2 (см. рис. 3.6), для которого она является входным воздействием. Здесь происходит сглаживание содержащегося в ней шума ?,j(t), что приводит к образованию на первом выходе x12(t) второго блока оценки y(t) при t—»кТ. Одновременно на втором выходе блока Б2 формируется смесь второй производной с шумом y(t) + ?,2(t). Эта смесь подаётся на следующий блок Б3, где также формируется оценка второй производной и смесь третьей производной с шумом и т.д.

Таким образом, РНП способен к концу каждого периода Т последовательно сформировать оценки значений нескольких производных по времени измеряемой переменной.

Оценки значений производных на начало периода можно получать путем обратной экстраполяции двух, трех значений производных, полученных в конце интервала Т. Например, путем линейной экстраполяции значений оценок у; (уТ) и у. (Т) при у < 1, в предположении, что эти оценки на интервале kT < t < kT + Т изменяются по линейному закону.

Формируемые РНП оценки значений производных позволяют на основе соотношений (3.18) - (3.25) получить математическую модель неопределенного объекта. Эта модель в дальнейшем используется для построения алгоритма управления, т.е. для автоматического определения структуры и параметров СОРЭ, при которых достигается цель управления. Таким образом, соотношения (3.18) - (3.25) и (3.27) - (3.29) являются математической основой алгоритма функционирования СОРЭ. Эти соотношения легко реализуются с помощью современных микроконтроллеров, при этом все необходимые вычисления значений оценок производных и параметров виртуальных моделей выполняются в течение каждого периода квантования. Очевидно, выполнение соответствующих расчетов в реальном времени соответствуют довольно большому объёму вычислительных операций.

Тем не менее, в настоящее время, это вполне реализуемо, так как современные микроконтроллеры обладают довольно высоким быстродействием. Наиболее целесообразной представляется реализация данного алгоритма идентификации неопределенных объектов с применением многопроцессорных контроллеров, так как в этом случае появляется возможность организации параллельных вычислений. Это связано тем, что быстродействие современных однопроцессорных контроллеров недостаточно велико, и при малом периоде квантования процессор просто не успевает выполнить необходимые вычисления.

При этом необходимо иметь в виду, что для надежности эти вычисления выполняются дважды за период. В то же время многопроцессорные контроллеры обеспечивают успешное выполнение всех необходимых расчетов в соответствии с выражениями (3.18) - (3.25) и (3.27) - (3.29) по реализации алгоритма функционирования СОРЭ. Это позволяет применять регуляторы на основе СОРЭ для управления такими объектами управления, как нагревательные печи, химические реакторы, транспортные средства и т.д.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >