Синтез адаптивной системы с идентификацией

При наличии оценки математической модели неопределенного объекта управления синтез закона управления и формирующего устройства может быть осуществлен любым из известных аналитических методов. В частности, это могут быть известные методы оптимального управления или, например, метод модального управления. Однако эти методы предполагают интуитивный выбор проектировщиком параметров критерия качества или желаемых мод замкнутой системы. Более того, на этот выбор влияют особенности математической модели объекта управления, что сильно затрудняет применение этих методов в адаптивных системах с идентификацией.

В связи с этим рассмотрим применение метода аналитического синтеза систем с управлением по выходу и воздействиям (АССУВВ) [3] в адаптивных системах на конкретном примере неопределенного объекта. Этот метод позволяет синтезировать системы различных типов с заданными прямыми показателями качества в установившемся и переходном режиме. Кроме того, вся дополнительная информация, необходимая для решения задачи синтеза этим методом, может храниться в памяти микропроцессора адаптивного регулятора.

Аналитический синтез систем с управлением по выходу и воздействиям. Ограничимся здесь случаем одномерного объекта, описываемого уравнением «вход-выход»:

где у = y(t) - управляемая переменная; u = u(t) - управляющее воздействие (управление); f = f(t) - неизмеряемое возмущение; А(р) - нормированный по старшей степени полином; В(р), Н(р) - числа или полиномы общего вида. Коэффициенты всех полиномов в (4.30) имеют известные численные значения.

Далее будем предполагать, что объект управления (4.30) является полным, т.е. полиномы А(р) и В(р) не имеют общих множителей, а полином Н(р) Ф 0.

При использовании метода АССУВВ ищется уравнение «вход- выход» формирующего устройства (ФУ) адаптивного регулятора в соответствии с принципом управления по выходу и воздействиям, поэтому уравнение этого ФУ записывается следующим образом:

где g = g(t) - задающее воздействие; R(p), Q(p), Цр) - искомые полиномы.

Как видно, на вход ФУ (4.31) подается выход у = y(t) объекта, а также задающее воздействие g = g(t); возмущение f = f(t) не подается на ФУ, так как оно не измеряется. Формирующее устройство (4.31), фактически, является многомерным устройством. Величина

где г = deg R( р), q = degQ(p), 1 = degL(p), называется относительным порядком формирующего устройства.

Практически, полиномы R(p), Q(p), Цр) из уравнения ФУ (4.31) должны удовлетворять условию физической реализуемости:

где jj,*^ - допустимое значение относительного порядка ФУ. Обычно jj,*^

полагается равным нулю или единице.

Задача синтеза состоит в следующем. Для объекта (4.30) синтезировать ФУ, при котором замкнутая система имеет по задающему воздей-

* *

ствию g астатизм порядка v , а по возмущению - порядка vt ; время

регулирования не более заданного значения t* с, и перерегулирование

*

также не более а %.

Предположим полином В(р) в (4.30) является числом или полиномом, причем в последнем случае он удовлетворяет условиям Гурвица, т.е.

В(р) = (Зт или

где ш = deg в(р); Г|* - заданная степень устойчивости неполной части замкнутой системы.

Характеристический полином D(p) замкнутой системы полагается равным D(p) = B0(p)AQ(p)/3(/?), где В0(р) = р^В(р), а А^Ср)-полином, корни которого равны тем корням полинома А(р), которые удовлетворяют условию Re Pj А< “В* ’ Pm - коэффициент полинома В(р) при р в старшей степени т. Другими словами, корни полиномов А^(р) и В0(р) располагаются в допустимой для данной системы области Q комплексной плоскости; D(p) - аналогичный полином, т.е. D(p) = DQ(p)-

Как известно, для обеспечения желаемых порядков астатизма по задающему воздействию g и возмущению f замкнутой системы необходимо, чтобы в прямой цепи системы имелось определенное число интеграторов.

Если А(р) = р"А Д)( р) , а Н ( р) = рПн Н0( р), причем АДО) Ф 0 и Но(0) Ф

0, то дополнительное число интеграторов, которые необходимо ввести в синтезируемую систему, определяется следующим выражением:

В связи с изложенными соображениями, искомые полиномы R(p), L(p) выбираются в виде:

где R( р), L( р) - неизвестные пока полиномы. С учетом равенств (4.36)

характеристический полином D(p) замкнутой системы (4.30), (4.31) определяется выражением:

Так как в этом равенстве А(р) = AQ(p)A^(p), то, сокращая общие множители В0(р) и А^(р) в его левой и правой частях, получим полиномиальное уравнение:

Уравнение (4.37) эквивалентно линейной системе алгебраических уравнений, в которой неизвестными являются г+1 коэффициентов р.

полинома R(p) степени г и 1 +1 коэффициентов полинома L(p)

степени 1 . Эта система имеет вид:

а её матрица имеет f +1 столбцов, составленных из коэффициента (3 , и г+1 столбцов, - из коэффициентов полинома

Мр) = PVA^(p) = X|1=oaiP1 •

Степень fj полинома D(p) в (4.37) равна степени произведения А_)( р) pvR( р). Следовательно, в системе уравнений (4.38) содержится N = f) + 1 уравнений и Nk=r+1 + 1+1 неизвестных коэффициентов, т.е.

где n^= deg А^(р), пп = п-пй- Для разрешимости системы (4.38) необходимо, чтобы Nk = N Отсюда, используя приведённые выражения, найдём:

Для выбора коэффициентов полинома D(p) степени Т| используются стандартные нормированные передаточные функции (СНПФ), коэффициенты некоторых из них приведены в табл. 4.4. Более подробные таблицы СНПФ приводятся в [4] и других книгах по теории управления.

Для осуществления этого выбора по порядку астатизма vg = v*, степени

птаб= f] и перерегулированию а = <7 % из табл. 4.4 выбираются соответствующие коэффициенты и величина tpxa6- Далее вычисляются коэффициенты полинома D( р) из (4.37) по формуле

гДе С0{) = tpTag/t* - временной масштабный коэффициент.

После расчетов по формулам (4.35) - (4.40), из коэффициента (3 и коэффициентов полиномов А(р) и D(p) составляется система алгебраических уравнений (4.38), решение которой позволяет записать полиномы:

а затем и полиномы R(p), Цр) по формулам (4.36).

Полином Q(p) из уравнения ФУ (4.31) определяется следующим образом:

а) при V* > 2 по формуле

б) при v* = 1 по формуле

Подстановка найденных полиномов R(p), Q(p) и Цр) в выражение (4.31) дает уравнение искомого ФУ. Для проверки правильности проведенных расчетов находятся полиномы:

При корректных расчетах степени полиномов Dj(p) и D2(p) будут равны, а соответствующие коэффициенты близкими друг к другу.

Таблица 4.4

Стандартные нормированные передаточные функции

vg

Птаб

Нормированные коэс

зфициенты

а

%

1-р.таб

С

5,

%

До

Ai

Л2

Аз

д4

а5

Дб

1

2

1

1,82

1

0,1

4,82

2

3

1

2,2

1,9

1

1,65

4,04

4

1

2,8

3,5

2,2

1

0,89

4,81

5

1

3,4

5,4

4,9

2,7

1

1,29

5,43

6

1

4,05

7,55

8,7

6,5

3,15

1

1,63

6,04

2

2

1

2,5

1

10

3,6

5

3

1

6,35

5,1

1

10

7,0

4

1

11,8

16,3

7,2

1

10

12

5

1

18

38

29

9

1

10

18

6

1

27,7

82,3

92,3

45,8

11

1

10

24,6

3

3

1

6,7

6,7

1

10

1,5

5

4

1

7,9

15

7,9

1

21

4,28

5

1

18

69

69

18

1

20

8,26

6

1

36

251

485

251

26

1

17

19

Примечание. В последнем столбце табл. 4.4 даётся значение 5 - «трубки» в %, при котором определялось время tpTa6 [4. С. 401].

Если в рассматриваемом случае измеряемыми являются не g и у, а 8 и у, то в уравнении формирующего устройства (4.31) g заменяется по формуле g = е + у, и приводятся подобные члены. В этом случае уравнение «вход-выход» ФУ будет иметь вид:

где L(p) = L(p) — Q(p). Аналогично изменяется уравнение (4.31), если измеряемыми являются g и е.

Покажем на конкретном численном примере порядок синтеза адаптивного управления методом АССУВВ.

Пример 2.6. Предположим, в процессе идентификации марковским методом получены оценки передаточных функций неопределенного одномерного объекта следующего вида:

Адаптивная система управления должна иметь второй порядок астатизма к задающему воздействию g и первый порядок астатизма к

возмущению f, т.е. v* = 2, a v*f = 1; время регулирования не более 5 с, перерегулирование не более 10 %, а степень устойчивости неполной части системы не хуже единицы, т.е. r|* = 1. Допустимый относительный порядок адаптивного ФУ jj,*y = 0; измеряются рассогласование в = g — у и управляемая переменная у.

Решение. Так как объект управления задан передаточными функциями, то он является полным, поэтому полиномы из уравнения (4.30) определяются выражениями: А( р) = р3 + 0,4009 р2 - 0,2103 р ;

В( р) = 0,5 р +0,9998; Н(р)= р3 + 2,602р2-1,411р + 2,802. Степени

и корни полиномов А(р) и В(р) равны: n = 3, рА =-0,70093, рА = 0,

рА = 0,30003, пА = 1; ш = 1, рв =-1,9996, pj=0,5; полином

Н(0) 9±0, пн =0- Полиномы А(р) и В(р) не имеют одинаковых или

близких корней, т.е. объект является полным, и его полнота хорошо обусловлена [4. С. 74].

При этом корень полинома В(р) удовлетворяет условию (4.34), поэтому синтез ФУ может выполняться в соответствии с изложенным методом АССУВВ.

В данном случае левый корень = -0,70093 не удовлетворяет условию Re pjA < -rf, поэтому ^(р) = р3 + 0,4009 р2 - 0,2103 р,

Ап(р) = 1, пй = 3, па = 0; полином В0(р) = р +1,9996, m0= 1 •

Выражение (4.35) имеет вид v = max{2 — 1; 1 — 0; 0} = 1, тогда по формулам (4.39) имеем:

По найденному значению п таб= г| = 5, заданным значениям Vg = 2

и перерегулирования сг =10% из табл. 4.4 выбираются коэффициенты Д0=1, Aj= 18, Д2=38, Д3= 29, Д4=9, Д5=1 и величина

t =18

1р,таб 1 °'

Далее вычисляются масштабный коэффициент С9{) = 18/5 = 3,6 и по формуле (4.40) находятся все коэффициенты полинома D(p): 65=1-3,6°=Ь 64 = 9-3,6= 32,4; 53 = 29-3,62 =375,84 ; 62 =38-3,63 «1772,9; =18-3,64 ^3023,3; 50 = 1-3,65 *604,66•

Затем находится полином д(р) = р?Ай(р)= р4+0,4009р3-0,2103р2

и составляется соответствующая система алгебраических уравнений (4.38), которая в данном случае имеет вид:

Решение этой системы, т.е. коэффициенты: Х,0 = 1209,3 ^

Хг = 6046,6; Х2 = 3559,3; Х3 = 726,4; р() = 32; = 1 позволяют записать полиномы: Цр) = 726,Зр3 + 3559,3р2 + 6046,6 р +1209,3 и R( р) = р + 32, а по формулам (4.36) найти полиномы L( р) = L( р), так

как Д^(р) = 1,и R(p) = (p +1,9996)р(р + 32) = р3 + 34р2 + 63,987р. Порядок астатизма уо =2, поэтому полином Q(p) находится по

формуле (4.41,a): Q( р) = 2(6, р + 50) = 6046,6 р +1209,3 В данном случае измеряются рассогласование 8 = g — у и управляемая переменная у, поэтому уравнение искомого адаптивного ФУ запишем по (4.43):

3 + 34 р2 + 63,987 р)и = (6046,6 р +1209,32)8 - (726,3 р3 + 3559,3 р2) у (4.45) Для проверки корректности вычислений найдем полиномы из равенств (4.42):

Как видно, приближенные значения коэффициентов обоих полиномов очень близки. Нетрудно убедиться, что полученные полиномы являются гурвицевыми, что свидетельствует об устойчивости замкнутой системы.

Для реализации ФУ представим его уравнение (4.45) следующим образом:

где w= 726,3у - вспомогательная переменная.

Применяя к этим равенствам соотношения канонической наблюдаемой формы [3], получим уравнения ФУ в переменных состояния

Итак, ФУ адаптивного регулятора системы с идентификацией для управления неопределенным объектом, оценки передаточных функций которого имеют вид (4.44), описывается уравнением «вход-выход» (4.45) или уравнениями в переменных состояния (4.46), (4.47). Отметим, что в соответствии с уравнениями в переменных состояния в данном случае адаптивное ФУ состоит из динамического блока третьего порядка, усилителя и сумматора. При этом уравнения (4.46), (4.47) могут быть реализованы как на операционных усилителях, так и на микропроцессоре или микроконтроллере. Правда, в последнем случае требуется довольно высокое быстродействие вычислительных средств, с тем, чтобы можно было пренебречь запаздыванием в этих элементах.

Контрольные вопросы

  • 4.1. Какие объекты называются неопределенными?
  • 4.2. Что такое идентификация?
  • 4.3. Как происходит идентификация многомерных объектов управления?
  • 4.4. Что такое «марковские параметры» линейных динамических объектов управления?
  • 4.5. Какие параметры объекта определяют его марковские параметры?
  • 4.8. При каком свойстве непрерывного объекта возможна его идентификация марковским методом?
  • 4.9. Какие объекты называются дискретно-подобными?
  • 4.10. При каком условии дискретно-подобный объект является корректным?
  • 4.11. В чем заключается основное свойство корректных дискретноподобных объектов?
  • 4.12. По какой причине дискретно-подобный объект может оказаться не корректным?
  • 4.12. Каким преобразованием связаны передаточные функции непрерывного объекта и соответствующего корректного дискретно-подобного объекта?
  • 4.13. В чем особенность системы уравнений, решением которой являются коэффициенты характеристического полинома линейного динамического объекта?
  • 4.14. Значения скольких марковских параметров необходимо иметь, чтобы решить задачу идентификации одномерного объекта n-го порядка?
  • 4.15. Почему при решении задачи идентификации желательно иметь число значений марковских параметров больше минимально необходимого?
  • 4.16. Каким методом может быть автоматически найдено уравнение формирующего устройства адаптивной системы с идентификацией?
  • 4.17. Какое управление называется управлением по выходу и воздействиям?
  • 4.18. Что такое стандартная нормированная передаточная функция?
  • 4.19. Как строится желаемая передаточная функция системы, синтезируемой по заданным прямым показателям качества?
  • 4.20. При каком условии на свойства объекта управления может применяться изложенный выше метод АССУВВ?
  • 4.21. Каким образом можно проверить корректность расчета параметров формирующего устройства адаптивной системы с идентификацией?
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >