ЭЛЕКТРОННАЯ ТЕОРИЯ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ КРИСТАЛЛОВ
Задача о распределении потенциалов в объёме кристалла
Электронные свойства кристаллов с формальной теоретической точки зрения характеризуются главным образом наличием разрешенных «энергетических зон», разделенных «запрещёнными зонами». Понятия об энергетических зонах количественно требуют решения уравнения Шре- дингера для совокупности электронов и ионов в кристалле. Например, в кристалле, состоящем из N атомов Si, можно рассматривать как решетку N ионов Si + 4 и 4N электронов, внедренных в общий кулоновский потенциал из-за присутствия всех этих ионов и самих электронов.
Сама задача по нахождению распределения потенциалов может показаться сложной. Однако периодичность решетки приводит к упрощениям этой задачи: это следует из электронных свойств одной ячейки, и периодичности граничных условий, возникающих из-за симметрии решетки. Таким образом, мы можем свести задачу к более простой, включающей «только» восемь электронов и два четырехкратно ионизованных иона Si.
Вследствие общей теоремы для расчета зонной структуры твердых тел о том, что аппроксимация потенциала ионов и всех «других электронов» сводится к нахождению фиксированного псевдопотенциала, который включает в себя влияние всех других электронов, возможно использовать одноэлектронную картину. Кроме того, мы можем положиться на теорему Блоха, которая определяет, как выразить сложную волновую функцию через произведение простого «свободного электрона» и сложной «быстрой вибрирующей» волновой функции в каждой ячейке. Таким образом, каждое электронное состояние напоминает волновой вектор свободного электрона к и может быть записано как
что представляет собой блоховскую функцию, где uк - периодичность решетки. В [3] для (2.1) проведена нормировка по всему объему решетки Q.
Подобно симметриям кристалла в «реальном пространстве» всех пространственных координат г (как обсуждалось в разд. 1) имеются также соответствующие симметрии в пространстве всех волновых векторов к, например, состояние электрона, движущегося вдоль оси х кубического кристалла, будет описываться волновой функцией, идентичной той, которая связана с электроном, движущимся вдоль оси z, при условии, что мы заменим кх на kz. Эти симметрии позволяют рассматривать только первую зону Бриллюэна (ЗБ) кристалла.
Достаточно рассмотреть блоховские волновые функции с к внутри первой ЗБ, чтобы получить полное знание об электронных свойствах решетки. Эти упрощения по симметрированию кристаллов представляют сложную математическую задачу.
Итак, поставив общую теоретическую схему и определив зонную структуру твердого тела, сначала будем обсуждать зонную структуру твердых тел только с качественной точки зрения.
Для этого представим полный гамильтониан кристалла (без какого- либо упрощения), состоящий из кинетических и потенциальных энергетических членов как для ядер, так и для электронов. Тогда можно отделить движение ионов (намного более тяжелое и медленное) от быстрого движения электронов (так называемое адиабатическое приближение). Движение ионов будет рассматриваться как квазиклассическое (так как ионы тяжелее), их длина волны будет очень короткой, что делает классическую механику, описывающую их движение с хорошим приближением, близкой к равновесию. Описание ионного движения, как «линеаризованного», вокруг их положения равновесия (колебания решетки или фононы) будет кратко рассмотрено далее. Это будет учтено позже в контексте квантовой теории многочастотных систем. Затем будет рассмотрен гамильтониан для электронов, отдельно от ионного движения. Далее можно сделать преобразование сложной многоэлектронной модели в одноэлементную для всех ионов и электронов.
Рассмотрим уравнение Гамильтониана для кристалла.
Кристалл может быть описан координатами п и Ri, а электронов и ядер, а также их сопряженными импульсами р, и Pi, а. Таким образом, полный гамильтониан кристалла будет иметь вид
Первые 2 члена описывают кинетическую и потенциальную энергии электронов, обусловленную Кулоновскими взаимодействиями между всеми электронными парами (коэффициент V: означает, что сумма 27у будет учитывать каждую пару дважды). Следующие два члена представляют собой кинетическую и потенциальную энергию ядер (ионов), взаимодействующих через потенциал U. Наконец, последний член представляет потенциальную энергию электрона в присутствии всех ионов с зарядом eZ«, расположенным в Ri.« = Ri + г«. Полезно напомнить, что в этих обозначениях Ri идентифицирует точку решетки 1 (или координату ячейки, или вектор трансляции) и г« - координату иона а в ячейке.
Предположим, что все электроны (а также ядро, атомная валентность и проводимость) появляются в гамильтониане (2.2).
Действительно, поскольку состояние основных электронов существенно не отличается при рассмотрении свободных ионов и ионов в кристалле (их энергия связи настолько велика), можно считать, что «ядер- ные» потенциалы У (а) и U на самом деле являются ионными потенциалами, так что только электроны внешней оболочки (валентность для изоляторов и полупроводников, проводимость для металлов) появляются в уравнении (2.2), но далее будем игнорировать эту разницу и обсуждать последствия каждого из вариантов. Итак, термины «ядерные» и «ионные» будут взаимозаменяемыми (т.е. эквивалентными).
Сложность решения данной задачи очень велика, поскольку придётся иметь дело с многомерной задачей. Например, для Si (для собственных ядерных потенциалов) необходимо учесть N ядер и 14 N электронов.
Таким образом, полная волновая функция будет зависеть от 15N х 3 переменных. Кроме того, для учета характера соотношения Ферми для электронов и соблюдения принципа Паули, необходимо «асимметризировать» волновую функцию при учёте всех пар электронных координат. Это очевидное обобщение того, что обсуждалось при качественном изложении атома Не. Наконец, тогда как известна формула Кулоновского потенциала иона с зарядом eZа, который равен У(а) (г) = = Z«e2 / (4ksqv), взаимные электрон-электронные и ион-ионные потенциалы U зависят от распределения электронных потенциалов , что является волновой функцией (т. е. неизвестным параметром). Это делает проблему нелинейной. Учёт кристаллической симметрии, очевидно, упростит эту проблему.
