Кинетическое уравнение Больцмана и диффузия

Уравнение диффузии для электронов часто используется при описании явлений переноса в условиях неоднородного распределения электронов, в том числе и для описания работы многих полупроводниковых приборов: выпрямителей, транзисторов, диодов оптоэлектроники и электроники сверхвысоких частот и т.п. Это уравнение привлекательно тем, что отличается математической простотой и содержит всего два коэффициента: дрейфовую скорость электронов и их коэффициент диффузии.

Однако минимизация количества коэффициентов уравнения происходит за счет ограничения общности последнего. Действительно, чем проще с математической точки зрения описание процесса переноса, тем жестче условия применимости этого подхода. Поэтому применение того или иного математического подхода к анализу явлений требует четкого уяснения границ его применимости, с одной стороны, и знания необходимых коэффициентов, с другой стороны. Естественно, выполнение условий применимости уравнения диффузии достаточно для макроскопического определения коэффициента диффузии. Часто подразумевается, что выполнение этих условий является необходимым.

В этом разделе рассмотрим расплывание пакета невзаимодействующих между собой электронов и определим зависимость дисперсии пакета от времени. Установим условия, необходимые для применимости уравнения диффузии и достаточные для определения стационарного коэффициента диффузии. В рамках кинетического уравнения проведем обоснование широко используемого метода вычисления коэффициента диффузии с помощью производной от дисперсии по времени; покажем, что этим методом можно получить правильный результат при условиях, когда уравнение диффузии еще не применимо. Обсудим возможность выделения элементарных составляющих коэффициента диффузии и их релаксацию в условиях стационарной скорости дрейфа пакета.

Условия применимости уравнения диффузии для горячих электронов рассматривались в работах [4-6]. Согласно результатам работ [3, 7], распределение концентрации горячих электронов описывается уравнением диффузии, если градиент концентрации электронов мал, а распределение электронов по скоростям в каждой точке пространства соответствует стационарному распределению (определенному при равномерном их распределении в пространстве). Если распределение горячих электронов по скоростям отличается от стационарного, то применение уравнения диффузии (даже в случае малого градиента концентрации при начальных условиях) возможно лишь спустя время, большее по сравнению с временем установления стационарного состояния в условиях равномерного распределения электронов в пространстве [8].

При больших градиентах концентрации электронов уравнение диффузии не применимо: плотность тока зависит от концентрации электронов, градиента концентрации и производных более высокого порядка [3]. Таким образом, для описания расплывания узкого пакета недостаточно знать дрейфовую скорость электронов и их коэффициент диффузии. Рассмотрим обратную задачу - определение коэффициента диффузии горячих электронов по расплыванию их пакета. Так как в экспериментах существуют технические трудности создания точечного пакета, то условия применимости уравнения диффузии, как правило, выполняются, и проблема определения коэффициента диффузии не возникает. Иначе обстоит дело, когда коэффициент диффузии вычисляется методом Монте- Карло по результатам моделирования расплывания S-образного исходного пакета электронов. В работе [9] приводится критика этого метода и предлагаются видоизменения, которые, как следует из работы [6], не согласуются с обобщенным законом Фика [3]. Этот закон, в свою очередь, справедлив для стационарного случая, тогда как при расплывании узкого пакета производные по времени от концентрации не удовлетворяют условию малости. Поэтому опасения по поводу возможных ошибок в случае узкого пакета нельзя априорно отбросить.

В подразд. 2.1-2.3 рассматриваются различные случаи элементарного кинетического уравнения, общее решение которого имеет достаточно простой вид. На основе этого соотношения выводятся уравнения Фика и диффузии и обсуждаются границы их применимости. Далее находится общее решение модельного кинетического уравнения и рассматриваются условия его соответствия нормальному распределению. Затем рассматривается метод моментов распределения и несовпадение условий применимости уравнения диффузии и методов вычисления коэффициента диффузии. Основное внимание уделяется случаю узкого исходного пакета электронов, что необходимо для обоснования метода определения коэффициента диффузии дрейфующих горячих электронов в условиях любых градиентов концентрации. В том числе уточняются условия для нахождения различных вариантов определения коэффициента диффузии для разных видов дисперсии.

Далее полученные закономерности сопоставляются с результатами моделирования расплывания пакета горячих электронов методом Монте- Карло для полупроводников со сложной фактурой зон и различными механизмами рассеяния и основные выводы обобщаются на случай произвольного кинетического уравнения Больцмана для невзаимодействующих между собой электронов.

Для микроскопического описания явлений переноса в полупроводниках часто используется метод кинетического уравнения Больцмана

где f = f (k, х, t) - функция распределения; Ё - оператор стационарного кинетического уравнения при равномерном распределении электронов в пространстве и наличии греющего поля напряженностью Е:

Здесь е - заряд электрона; h - постоянная Планка; к - волновое число; S - оператор рассеяния. Для краткости в дальнейшем оператор Ё назовем «кинетическим оператором».

В данной работе рассмотрим случай невзаимодействующих между собой электронов, а электрическое поле будем считать однородным и не зависящим от времени. Для выполнения этих условий концентрация электронов и плотность пространственного заряда полагаются достаточно малыми, и уже на уровне кинетического уравнения не учитываются коллективные явления: межэлектронное и электронно-дырочное рассеяние, экранирование и т.п.

Рассмотрим основные следствия из кинетического уравнения для элементарной модели, достаточной для рассмотрения диффузионного расплывания пакета [3, 7-10]. В этой модели учитываются всего два состояния электрона со скоростями v₁ и и₂. Считается, что возможны переходы из одного состояния в другое и обратно, причем вероятность этих переходов постоянна и определяется временами т и хг соответственно. Эта модель неоднократно использовалась для интерпретации междолинной диффузии и шумов горячих электронов [8, 9].

Система кинетических уравнений для такой модели в одномерном случае имеет вид

где fi и fa - парциальные концентрации электронов, обладающих в данный момент скоростями Vi и 1>2 соответственно; х - координата; t - время. Пусть

где п - концентрация электронов.

На основе этой системы рассмотрим распределение узкого пакета электронов.

Полученные результаты будем сопоставлять с результатами, следующими из уравнения диффузии

где v_dr - скорость дрейфа центра пакета; D - коэффициент диффузии.

Так как мы интересуемся пакетом электронов, то в качестве граничных условий выбираем

следовательно,

В случае уравнения (2.7) также потребуем, чтобы

Начальные условия считаем произвольными и

Для определенности иногда удобно рассматривать расплывание 8- образного исходного пакета

или нормального исходного пакета с начальной дисперсией ст₀:

где х₀ - координата центра пакета при t = 0; о₀ = (х — х₀)² - дисперсия; N - число электронов в пакете.

При начальных условиях (2.11) или (2.15) отношение может быть произвольной функцией координаты. Особого внимания заслуживают случай локального стационарного распределения электронов по скоростям

и случай интегрального стационарного распределения электронов по скоростям, когда интегрирование осуществляется в пределах всего пакета:

где F_t° и F® - стационарные решения системы уравнений при однородном распределении концентрации в пространстве (2.15).