Общее решение кинетического уравнения

Решение системы уравнений (2.5) удобно получить методом интегралов по траекториям, т.е. путем рассмотрения вероятности Р (хо, to, х, t) для электрона, располагавшегося в момент времени to в точке хо, оказаться в момент времени to в окрестности точки х. Вероятность такого перехода зависит от скоростей в исходном и конечном состояниях, поэтому вероятность обозначим индексами Pkk', где к, к' = 1,2, причем первый индекс пусть соответствует исходному состоянию (k = 1 означает, что электрон имел скорость и_г).

Одна из возможных траекторий электрона, претерпевшего два акта рассеяния в интервале времени t - to, изображена на рис. 11 линией AB'C'D.

Вероятность пройти отрезок АВ' со скоростью и_г без рассеяния равна exp ( -1/т), а вероятность приобрести скорость и₂ в момент времени to+t' за время dt' равна dtZт2.

Чтобы в результате еще одного рассеяния оказаться в окрестности точки D (в интервале dx), электрон должен без рассеяния достичь точки С приобрести скорость v_t (в интервале времени dt”, связанного с dx) и сохранить эту скорость в течение времени Ч — t', где Ч - время движения со скоростью v_x.

Рис. 11. Возможная траектория электрона из точки (хо, to) в точку (х, t)

Соответствующие вероятности определяются ехр (- ъ/тг ), dt"/t2i и exp [- (ti -1')/ Г12]. Вероятность всего описанного события равна

Все возможные траектории заключены в фигуре ACDB. Траектории с двумя актами рассеяния учтем путем интегрирования выражения (2.46) по t' в пределах от 0 до ti. В итоге плотность вероятности равна

Поступая подобным образом со сложной траекторией, содержащей 2п актов рассеяния, имеем

Для электрона с исходной скоростью и конечной скоростью плотность вероятности по всевозможным траекториям (с парным числом актов рассеяния) имеем

Плотность вероятности других переходов: и

где

причем zi, Z2> 0, т.е. при to = 0 и и_г > и₂ формулы (2.52)-(2.55) справедливы в области

Запишем общее решение системы уравнений (2.5) следующим образом:

где fio и f 20 - начальные условия.

При начальных условиях (2.14) из выражений (2.52)-(2.55) следует, что в области

которая включает в себя границы области (2.57), функция где

и Io, Ii - модифицированные функции Бесселя [3,11].

Вне области (2.59) концентрация электронов n = fi + f2 равна нулю

[3, 19].

Можно убедиться в том, что б в виде (2.60) и аналогичные выражения для f2 - решения системы уравнений (2.5). Для этого удобно вспомнить [18-20], что

и

При произвольных начальных условиях (2.11) из формул (2.52)— (2.55) и (2.58) следует

Выражение для имеет аналогичный вид.