Дрейфово-диффузионная модель

В приближении дрейфа и диффузии (ДД) [3,26,27] предполагается рассмотрение только первых двух моментов из вышеперечисленных. Уравнение неразрывности (2.6) и уравнение Пуассона (2.17) не учитывают эти процессы. Необходимо воспользоваться уравнением сохранения тока (2.8) или (2.13).

Когда уравнение (2.13) возьмем в качестве второго момента, система может быть «закрыта» (т.е. являться независимой для учёта моментов высших порядков). Предположим, что f представляет собой температурное (Т) распределение Больцмана (т.е. f = ехр{ — [Е(к) —Ef] /(квТ)}, где Ер ^_ уровень Ффми), тогда тензор коэффициента диффузии Dij = (T_PiiViVj)_ens может быть связан с другим тензором подвижности, входящим в то же уравнение Ру = — (e/h)(r_p 'iVi(d f / д kj)/f)_ens, известным отношением Эйнштейна

где кв ^— Постоянная Больцмана, а Т — «электронная температура», которая в приближении ДД является определяющей для нахождения температуры решетки То Это предполагает путь уменьшения функционального тензора подвижности ц- до простой константы (или функции переменных г, n, j

или F). Если при анализе рассматривается случай, когда носители не слишком далеки от теплового равновесия, можно воспользоваться (2.18) в предположении, что и D и д (коэффициент диффузии и подвижность носителя соответственно) являются постоянными величинами и мы можем написать (2.6) в разрешаемой форме:

В предположении, что динамическое равновесие (стационарный случай) упрощает решение, определено, что г_р не зависит от координат, поэтому нужно использовать градиент коэффициента диффузии. Это спорный вопрос, так как D может зависеть от положения координат, т.е. должен быть связан со средним числом _ns, которое находится в пространственном градиенте. Следовательно, время реклаксации должно остаться вне градиентного представления. Обратим внимание также на то, что мы заменили тензоры скалярами (их диагональные элементы, которые, как предполагают, были равны) благодаря сферической симметрии функции распределения в равновесии. Нужно отметить, что при тех же приближениях теплового равновесия при температуре решетки То подвижность д определяется по известной формуле Кубо -Гринвуда [3,27-30], после интеграции по полярному углу и преобразования интегрирования по к к интегралу по энергии Е, через параметр плотности состояний (ПС), D (Е):

где fo ~ функция равновесного распределения Больцмана при температуре решетки То (Тр находится из (2.11) или (2.12)).

Когда (2.6) выбран в качестве второго момента, закрытие получено идентичным способом, заметив, что отношение Эйнштейна все еще связывает тензор распространения, теперь определенный как Dij=f_pi(ViVj)_en&, тогда тензор подвижности Д- = т_р pm* определяется в равновесии. Взяв изо-

тропическое приближение (т.е. рассмотрев только диагональные элементы этих тензоров и приняв условия, что они все равны), имеем:

В случае «третьего момента», полученного за счёт учёта средней кинетической энергии (Z^ens, параметр температуры носителей Т был заменен ее значением, равным (3/2) квТ, для распределения Максвелла - Больцмана, чтобы получить последнее выражение в правой стороне уравнения

(2.21) . Из этого выражения получаем Dij = т_ркВТ/ m •

Подставляя эти выражения в (2.6), находим:

где D не определён ни внутри, ни вне градиента. В случае обычных предположений, в качестве объёма рассматривается любая внутренняя или внешняя области, где может быть определен градиент по каждому из параметров, в зависимости от выбранной системы координат.

Обратим внимание, что (2.79) для подвижности Д не позволит непосредственно прийти к определению Кубо - Гринвуда для подвижности [3, 31] в линейном режиме.

Для того чтобы увидеть совпадения этих двух определений (2.18) и

(2.22) , ограничимся линейным режимом и используем линеаризацию решения ТУБ, которое будет дано ниже. Тогда имеем

где последний шаг этих расчётов включает определение диагональных элементов [1^, до того условия, когда будет достигнуто требуемое равенство. С другой стороны, согласно определению:

Теперь в стационарном режиме и использовании линеаризовавшего решения ТУБ (2.81) получаем замену:

согласно выражению (2.22). Очевидно, выбор любого уравнения текущей непрерывности равнозначен. Формулировки согласно (2.11) и (2.17) подчеркивают возможности вычисления непосредственно макроскопических параметров D и д по известным параметрам микроскопических ядер рассеивания W(k', к) в линейном режиме. Кроме того, эта формулировка показывает очень ясно условия, при которых время релаксации импульса может быть определено по (2.11). Поэтому такой подход наиболее предпочтителен с точки зрения физического подхода [3, 31, 32]. Альтернативная формулировка по (2.8) и (2.22) включает определение времени релаксации импульса тр (2.7), является более неудобной и громоздкой. Однако параметр математическое ожидание, входящее в модель, удобен для нахождения D и р. с точки зрения т_р. Этот путь для нахождения времени релаксации и является важным пунктом для решения задачи.

Ранее было принято, что для перехода в простую форму (2.19) временная зависимость, которая ранее не была учтена, включает производную времени среднего числа {jr_p)_ens. Необходимо учесть этот фактор посредством приближения теплового равновесия для f в некоторой определенной форме для времени релаксации т_р. Приближение, сделанное до сих пор, предполагает, что отношение Эйнштейна справедливо для данного случая. Это будет верно, только если устройство столь большое, что в каждой точке системы координат поток носителей термостабилизируется так сильно, что всегда находится в местном тепловом равновесии со средой. Таким образом, подвижность всегда связывают с уравнением Эйнштейна. Кроме того, в гомогенной ситуации (2.81) подразумевается

так, чтобы скорость носителей была равна juF, поскольку это следует из определения плотности тока (2.9). Следовательно, рассеяние носителей должно происходить таким образом, чтобы часто в любой точке обеспечивалось тепловое равновесие с межкристаллической средой. Суммируя вышесказанное приближение ДД, можно определить, что столкновение происходит на некотором среднем расстоянии, т.е. носитель покрывает участок между последовательными столкновениями (средняя длина свободного пробега. А), т.е.

где ha> - средняя энергия потерь за одно столкновение, которое обычно имеет размерность тепловой энергии или элементарного теплового эквивалента.

«Эффекты горячих носителей», такие как скоростная насыщенность и уменьшение коэффициента диффузии и подвижности в областях, более крупных, чем омический предел (2.24), были определены опытным путем за счёт нахождения функциональной принадлежности D и р пролётным областям [5,32-36]. Например, модель Коги - Томаса [3,37] содержит вывод:

где р₀ - омическая подвижность и ц - скорость насыщения. Аналогичным образом проводилось моделирование подвижности в Si-слоях инверсии, полевого эффекта в подзатворной области окисного полупроводника (МОП- транзисторы), в которых учитывалась модификация из-за наличия большой «поперечной» области. Выбор лучших «моделей подвижности» обеспечивал правильный выбор и привёл к замечательным успехам в объяснении электрического поведения устройств, достаточно маленьких в условиях сильных электрических полей и достаточно больших для того, чтобы нарушать большинство приближений, при которых применяется ДД [3,36]. Были также предприняты попытки расширить диапазон применимости моделей DD к ситуациям, в которых относительно большие напряженности поля вызывают скоростное проскакивание (сверхпролётные эффекты). Одномерная модель [37] заключается в добавлении к выражению enmF для плотности тока (2.17) параметра, пропорционального градиенту области, nmL—, где L - параметр, имеющий размерность длины, выражающей своего рода продолжительность релаксации импульса (ускорение релаксации). В [38-41] сделаны предложения, аналогичные методам Монте-Карло, для оценки коэффициента L.

Трудно установить историю приближения ДЦ, так как она связана с самой физикой полупроводников. Шокли в 1956 г. получил наиболее предпочтительный пригодный механизм для полупроводниковых уравнений (2.6) и (2.19). Подход ДД остается основным для моделирования устройства даже в настоящее время. Окончательная причина, почему простое приближение ДД все еще так полезно, заключается в том, что параметры процессов переноса легко применимы и сравнимы с экспериментальными данными. Такая способность прогнозирования ограничена электростатическим поведением устройства. Эти свойства ДД имеют большую важность с точки зрения баланса мощности. Уравнение Пуассона всегда остается справедливым, независимо от того, какой вид переноса электронов подлежит рассмотрению.