Гидродинамическое приближение
Как было рассмотрено ранее, эффекты пролёта горячих носителей были основным источником изучения поведения кинетических процессов в 1980-1990-х, когда устройства были миниатюризированы, но приложенное напряжение было сохранено постоянным на уровне 5 В, что обеспечивало высокие напряжённости электрических полей, приводящие к поведению электронов вне состояния равновесия. Иначе говоря, устройства масштаба миллимикрона, которые представляют интерес сегодня, используют именно эти эффекты, поскольку транспорт носителей приближается к баллистическому режиму. Электронная кинетическая энергия теперь падает, так как потенциальный барьер падает ниже 1ЭВ. Как следствие этого, данный эффект может быть включен в модель, рассматривая третий момент (2.13) или (2.15). В предположении, что функция распределения главным образом изотропическая для (2.14) или (2.15), это уравнение может быть переписано в виде
где энергия потока S = n(E)ens является сложным параметром, включающим более высокий момент. В этой форме записи у этого уравнения есть очень простая трактовка: изменение в единицу времени энергии n{E)ens, содержавшейся в бесконечно малом объеме реального пространства, объясняется «омическим нагревом», вызванным областью, которая ускоряет носители в объеме jF. Элементарная энергия, рассеянная в решетке, соответствует параметру столкновения (выраженному через время релаксации).
fw
А энергия потока VS представляет собой плотность энергии, распределяемой в объёме за единицу времени. Четвёртым моментом будет разложение средней полной кинетической энергии потока (Е) на «дрейфовую» и «тепловую» компоненты:
где Ти = m*((Vi - (Vi)ens)(Vj - <^)ens))ens/(3/cB) - температурный тензор (он должен быть приведён к скаляру). Таким образом, энергия потока имеет вектор S, который может быть преобразован применительно к понятию «дрейфа» и связан со вторым моментом и «тепловым» термином Q, содержащим «неудобные» четвертые моменты:
где
Тепловой поток является потоком «случайного» компонента полной кинетической энергии и может быть связан с более низкоуровневыми моментами, такими как электронная температура Т, согласно феноменологическому тепловому закону, полученному с использованием разложения Фурье:
Это отношение играет роль отношения Эйнштейна (2.88) и выражает третий момент D с точки зрения второго момента /и. Коэффициент теплопроводности к получен из соотношения Вцдемана - Франца:
где значимость параметра Сы является все еще предметом исследований и лежит в диапазоне от 0 до - 2,1 (или даже - 2,5, который замещает роль параметра Q ).
Ранее было показано, что есть различные способы получения текущего уравнения непрерывности (2.19) или (2.22), зависящие от того, используем ли мы строго второй момент или немного отличающиеся средние параметры, которые рассматриваются в (2.13). Имея дело с энергетическим уравнением неразрывности, представляется большое количество различных его решений. Алгебраические манипуляции, приближения и даже выбор преобразования, приводящего к системе уравнений, полученной для первых трех моментов ТУБ, значительно отличаются среди многих публикаций. Ввиду отсутствия «стандартной» модели далее представим одну из самых общих систем уравнений, известную как гидродинамическое приближение [3, 42].
Выражение, которое будет изложено ниже, было получено Руде- ном и Оденом [43]. Пересматривая текущее уравнение непрерывности (2.8), коэффициент диффузии D, времена релаксации fpi(ViVj)ens сточки зрения момент второго порядка, температура Т представляется при помощи разложения на «тепловую» и «дрейфовую» компоненты скорости. Таким образом,
Последнее выражение получается в рамках изотропического приближения. Коэффициент диффузии Djj был определен по аналогии со случаем равновесия, а затем трансформирован согласно линейной зависимости от температуры носителей функции Do, которую можно записать как
D0 = к в TOfp/m*, при этом подвижность д=cfp/m =D0/(kBT0), где нижний индекс «О» относится к равновесным значениям при температуре решетки (на дне зоны проводимости). Далее, используя (2.30), система уравнений (2.6), (2.8), и (2.14), совместно с уравнением Пуассона (2.17), в уже знакомой изотропической и независимой от времени форме записываются как
Эти соотношения записаны в неизвестных параметрах: n, ф, j (или v = -j //(еп)) и электронной температуры Т. Отметим, что пространственное изменение D было правильно представлено, когда величина тр входит в состав функции D0 (которая не является градиентной), в то время как изменение температуры градиентно в пространстве. Время релаксации импульса fp дано в (2.9) для любого компонент j, а объединенная скорость релаксации 1/fp w имеет вид
где скорость релаксации l/fw изложена как (2.70). На данном этапе нужно выбрать несколько независимых моделей, чтобы выразить времена релаксации как функции набора переменных более, чем набор, доступный в распространении дрейфа: г, n, j, F и Т. При этом подходе необходимо выбрать зависимую переменную, такую как Т, чтобы смоделировать динамику столкновения через времена релаксации. Это противопоставляет зависимость д и D на области F, которая предоставляет им частные функции. Обход этого «местного» приближения - это то, что отличает данную гидродинамическую модель, способную к моделированию областей с областями сильных внешних полей, так, чтобы поток носителей был бы в тепловом равновесии с областью пролёта.
Гидродинамические приближения представляют существенное улучшение ДД-апроксимации, поскольку носители способны приобрести энергию в областях, где их динамика не обязательно описана количественными соотношениями. Все же при движении от ТУБ до гидродинамической модели (или к любому другому приближению моментов высшего порядка) имели место следующие потери:
Во-первых, был исключён большой объем информации. Мы ограничиваемся знанием некоторых средних чисел (моментов) по функции распределения f. Подробная информация о высокоэнергетической части распределения неизвестна.
Во-вторых, исключения из (2.30) неоднократно считали неверными. Действительно, это представляет главную проблему в методе моментов: каждый момент всегда соединяется со следующим, более высоким моментом, поскольку более высокие моменты рассматривают, что физическое значение «закрытия» становится менее очевидным. Как и в уравнении ДД (2.19), очень большие градиенты плотности привели бы к необоснованно большим скоростям распространения горячих носителей. Это стало большой проблемой в простых непоследовательных моделированиях биполярных транзисторов с короткой базой. Поэтому в (2.35) большие температурные градиенты согласовываются с необоснованно большим тепловым током, что интерпретируется в уравнении скорости носителей через (2.35) как «аномальный скоростной пролёт», наблюдаемый в очень маленьких
пространствах n+— п - п -диодов, названных «баллистическими» диодами (по историческим причинам). Более строгие исправления к закону Виде- мана - Франца были получены, использовав принципы расширенной термодинамики, составляя воздействия вязкости [38]. Развитие этих результатов было получено после исключения конвективного параметра (ip/е) (jV) (j/n) в (2.34), что привело к целому классу приближений, обычно известных какмодели энергетического транспорта (ЭТ), или, при пренебрежении энергией дрейфа т*1Г^ по сравнению с тепловой энергией (3/2) квТ, как «приближение Сайе» для комнатной температуры. Только в присутствии больших напряженностей поля (т.е. больших изменений электрического поля по среднему свободному пробегу) и/или решительно анизотропных процессов рассеивания, таких как рассеивание Фрейлиха, делает компоненты дрейфа кинетической энергии значительными. Это происходит в материалах с длинным средним свободным пробегом (как большинство AIUBV составных полупроводников) и при достаточно низких температурах (принцип максимизации энтропии [3]).
В-третьих, мы вынуждены использовать приблизительные модели для времен релаксации. Эти модели описываются, к сожалению, очень косвенными способами, некоторой конкретной собственностью функции распределения, но почти невозможно определить исключительно их форму, не говоря уже о функциональной зависимости от к или Е и Т, f, в зависимости от предложенных моделей. Ситуации, в которых распределение значительно отклоняется от любой «формы», определяются моделями, которые не имеют явного решения. Это особенно верно для скорости релаксации импульса, энергетическая зависимость которой намного сильнее, чем зависимость, показанная tw (Е). Действительно, моделирования по методу Монте-Карло (МК) показывают, что эта зависимость должна быть практически плоской и выше порога оптической эмиссии фонона, по крайней мере, в ковалентных материалах. Популярные модели для времен релаксации, используемых в различных гидродинамических моделированиях, включают: Простое следствие этого процесса из моделирования по МК-ме- тоду транспорта в гомогенной ситуации [3, 39]:
где Т - средняя температура носителей в области F. Этот выбор сделан для того, чтобы величина 2(Е)/(Зкв) представляла хорошую степень приближения, по крайней мере, в отсутствие сильного потока носителей. Количества Уд (Т) и F (Т) являются скоростью дрейфа и самой областью, выражены как функции огТ и получены как результат инверсий: vd в F и TbF в соотношениях, полученных из результатов моделирований по методу МК. Очевидно, ситуации, в которых функция распределения значительно отклоняется от гомогенного случая, вызовут некоторые проблемы, как обсуждено в [42].
2. Модель Бэккарани и Уордемена [43]:
где Hq— омическая подвижность при температуре решетки Г0.
3. Модель Хэнша и Миуры - Мэттоша [3, 44] для скорости релаксации импульса, выраженной как функция плотности тока j и плотности потока энергии S:
где А и В - константы, зависящие от функции температуры решетки.
4. Модель, предложенная Ли и Таном [3, 43], которая фиксирует константы А и В в уравнении (2.102) с точки зрения энергетического времени релаксации f w, скорости насыщения v и подвижности низкой области ji0:
Ценность доступных моделей является ясным признаком серьезности проблемы и важности правильного выбора времен релаксации. Давайте рассмотрим снова «аномальную проблему проскакивания» в
п+— п - п+ диодах. В то время как закон Видемана - Франца был принят только как обобщающий, нужно отметить, что большой температурный
градиент РТ, наблюдаемый вокруг п - п+ перехода, не происходит из-за быстрой энергетической релаксации, поскольку концентрация «холодных» носителей в контакте п+ увеличивается резко, в то время как релаксация носителей, эмитирующих из п-канала, происходит среди холодных носителей. Другими словами, распределение на переходе холодных компонент перевозчиков в равновесии добавлено к горячему компоненту перевозчиков, прибывающих от канала. Эта потеря информации отражена в искусственно высоком градиенте ГГ. Реальное решение проблемы, кажется, состоит не так в изменении (2.31) при большом РТ, как во включении «правильного» РТ (т.е. только компонент горячих носителей) в уравнение и тр, соответствующего бимодальному распределению. Это показано Масали в [3], где объясняется присутствие двух (горячего и холодного) потоков в системе.
Модель (2.41), возможно, самая успешная попытка устранить проблему аномального проскакивания с переопределением времени релаксации импульса, так как это связывает тр только с несущим эшргаю компонентом распределения, но это действительно не решает реальную физическую проблему. В целом процессы переноса, в которых f показывает сильное бимодальное (или квазибаллистическое) поведение, не может быть описано по любой схеме. Главный вопрос установления шкалы расстояний и энергии заключается в измерении методами моментов, которые начали бы показывать свои пределы. Очень простым способом также можно выразить диапазон законности гидродинамического приближения как требование к градиенту электрического поля, а не на (более сильных) условиях на основании самой области, которая относится к моделям ДД (2.25):
т.е. электрическое поле должно значительно измениться по шкале расстояний, не слишком много меньшей, чем несколько средних свободных пробегов.
