Расширение по типу сферических гармоник
Расширение по типу сферических гармоник (РСГ) было первым расширением, предложенным в литературе для решения ТУБ. Первые применения РСГ к электронному транспорту в полупроводниках имели дело с исследованием подвижности носителей в омическом режиме (F—> 0 ) [3,43]. В этом пределе предполагается, что функция распределения по существу сферически-симметричная функция равновесия Больцмана to, с маленькими несферическими исправлениями, пропорциональными cos в (где в— угол между область полем F и кристаллическим импульсом к). В установившейся гомогенной ситуации можно написать
где Тр(Е) является полным временем релаксации импульса, полученным из (2.11). Обратим внимание что формула Кубо - Гринвуда (2.20) получена из (2.46). Как было отмечено, при изотропическом или упругом рассеивании тр(Е) может быть строго определено, поскольку это не зависит от самой f. В других случаях (прежде всего, при полярном оптическом рассеивании, которое не является ни изотропическим, ни упругим) такое простое расширение возможно, но ничего не достигает, так как гр(Е) остается полным функционалом от f и требует более сложных подходов для получения омической подвижности [3, 38,46].
Основная идея, приводящая к (2.45), может быть расширена на более общую ситуацию. Временную зависимость k-пространства функции распределения можно расширить по числу ортогональных функций положения в реальном времени. Рассеивающиеся ядра W (к', к) в интегралах столкновений могут также быть расширены. Наконец, расширения могут быть введены в РСГ, а коэффициенты каждого набора основных функций равны, чтобы получить иерархию РСГ в переменных г и t. Усекая расширение на подходящем уровне, решения этих двойных отличительных уравнений предоставляют решение РСГ.
Было предложено много различных внедрений этих методов, что даёт полную оценку их применимости [36-39]. Вектор/ простирается вдоль направления плотности тока и находится в плоскости, определенной / и электрическим полем, являясь нормальным к },ёг и одновременно нормальным к другим двум векторам. Сферические группы приняты для полупроводника, но произвольную «форму группы» Е (к) можно легко рассмотреть и для других сред. Затем функция распределения может быть расширена как
где YLm- сферические гармонические функции; в и (р являются полярными и азимутальными углами 1 соответственно. Также предполагается, что рассеивающиеся ядра J W (к, к) зависят только от амплитуд к и к и от угла с между ними. Таким образом, можно расширить полное ядро как
где р, - полином Лежандра порядка 1. Можно рассмотреть много процессов рассеивания, таких как изотропное и упругое рассеивание с акустическими фононами, неэластичное изотропное рассеивание с оптическими фононами, упругое анизотропное рассеивание с ионизированными примесями и ионизация воздействия. При рассмотрении только неполярных материалов, у которых имеется упругое и анизотропное рассеивание Фрё- лиха, в предположении, что распределение азимутальным образом симметрично, так, что m = 0 - гармоника сохранена, усекая расширение на термин f:, заменив (2.45) и (2.46) в ТУБ на составляющие уравнение коэффициенты полиномов того же порядка 1, получим уравнения:
В этих уравнениях у (Е) = /rk2/(2irT), полный средний свободный пробег X (Е) = ц(Е) т(Е) определен в параметрах групповой скорости v и полного уравнения рассеивания, 1/г(Е) является функцией энергии е, (символ «'» означает дифференцирование по параметру Е). Показано, что эти соотношения явно способны моделировать упругие процессы. Векторы а* и bi были определены выше:
Пять уравнений системы (2.110) - (2.114) и (2.115) достаточны, чтобы определить полностью три неизвестные fj (г) и эти две степени свободы для единичного вектора J(г). Обратим внимание, что именно функция fo необходима для получения средних значений п, плотности потока носителей
