ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД ПОЛУЧЕНИЯ УРАВНЕНИЙ СОХРАНЕНИЯ И ИХ АНАЛИЗ

Основные приближения и граничные условия

Целью следующего ниже рассмотрения является установление границ и приближений, в рамках которых будет проводиться все дальнейшее изложение.

Первым приближением, которое будет использовано, является приближение одного типа носителей заряда, так что щ=п; fj= f. При этом будем полагать, что в области г будет иметь место постоянство f.

Второе приближение заключается в пренебрежимой малости второго слагаемого по сравнению с первым в правой части уравнения (2.33). Вследствие этого, можно пренебречь изменением функции распределения, которое вызвано концентрационными изменениями, т.е. исключить упомянутый второй член в (2.33). Обычно это приближение выполняется достаточно хорошо [4, 5, 24-28].

При этом уравнение (2.33) может быть записано в виде

где v = — =--скорость частиц, к - их волновой вектор; /г_п = — , а —

тт 2п

постоянная Планка.

Если считать, что электроны рассматриваются как основные носители заряда, то они будут дрейфовать в электрическом поле под действием силы F=eE, где Е - напряженность электрического поля, а е - электронный заряд.

Третье приближение состоит в том, что будет рассматриваться только случай наличия таких электрических полей, суммарные значения напряжённости которых недостаточны для обеспечения начала процесса ионизации атомов кристаллической решётки. Таким образом, эти акты при расчётах учитываться не будут.

При четвертом приближении будем рассматривать только изотропную систему, когда ее можно представить как квазиодномерный кристалл, полагая все процессы коллективного движения направленными вдоль оси z внешнего электрического поля с напряженностью Е.

Используя выше приведенные приближения, получим соотношения для усредненной скорости дрейфа (и) и усредненной кинетической энергии движения электронов (W) в виде

где

являющиеся уравнениями сохранения усреднённого квазиимпульса и усреднённой кинетической энергии движения электронов. Полагая, что для отдельного электрона df=dpv и что при р = 0 и р = оо будет f = О, можно, используя интегрирование по частям, получить

причем (3.5) определяет среднюю эффективную массу m частицы. Тогда, вводя обозначения

определяющие усреднённые времена релаксации квазиимпульса <т> и усреднённой энергии хаотического движения <т_э> в формуле для функции распределения, можно уравнения (3.6) и (3.7) записать в окончательном виде:

причем Wo - усреднённая энергия среды, в которой дрейфуют электроны (этот параметр соответствует энергии электрона на дне зоны проводимости). В том, что <т> является усреднённым временем релаксации функции f за счет столкновений, нетрудно убедиться, заменив в (3.8) и на его значение из (3.2) и введя < т > под знак интеграла [28-33].

Уравнения (3.8) и (3.9) представляют собой два из трех искомых исходных уравнений сохранения. Третье уравнение мы получим вначале для случая донорного примесного полупроводника, умножив уравнение (3.2) на dp и проведя с учетом (3.3) интегрирование по всему квазиимпульс но му пространству. В результате для общего количества электронов с концентрацией п получим уравнение сохранения:

где основные параметры записываются как

и определяют усреднённые значения времени генерации носителей заряда < т_г> и усреднённое поперечное рекомбинационное сечение электронов и

few

ионизованных доноров < о >. Вследствие того, что значение — =< v

представляет собой усреднённую скорость кинетического электронного движения, параметр

характеризует усреднённое время рекомбинации как электронов, так и ионизованных доноров. Очевидно, что уравнение, подобное соотношению (3.13), может быть также выведено для любого другого вида рекомбинации и генерации носителей заряда. В частности, если считать, что n - концентрация дырок в акцепторном полупроводнике, a Ng - концентрация примесных акцепторных уровней, то уравнения (3.2), (3.10)—(3.12) будут справедливы и для этого чисто дырочного полупроводника. Поэтому мы в дальнейшем ограничимся рассмотрением достаточно общего соотношения (3.10) [5, 33].

Так как плотность дрейфового тока в случае отсутствия градиента концентрации определяется соотношением

где F = sE (s - заряд электрона, а Е - напряженность электрического поля), р, а — подвижность и проводимость горячих носителей заряда, то соотношения (3.8)—(3.10) дают возможность в случае их решения определить все составляющие тока.

Как мы увидим ниже, получение решения системы уравнений (3.8), (3.9) встречает существенные затруднения. Прежде чем рассматривать их,

Г дП

остановимся на анализе величины — , которую можно представить в

Vut л q'y

виде [3, 33]

где fo четная функция распределения составляющих квазиимпульса р (она находится при условии Е=0; 0), a f — представляет собой функцию распределения с неравновесными свойствами. Входящее в это выражение время релаксации т, как следует из расчетов [5, 33, 44], будет, в зависимости от типа рассеяния, функционально зависеть от энергии

где величины То и s могут принимать разные значения в зависимости от вида рассеяния. Если действует сразу несколько (i) механизмов рассеяния, то

Время т, определяемое из (3.15)—(3.17), по физическим понятиям представляет собой среднее время свободного пробега частицы в электронном газе и является квазиимпульсным электронным временем релаксации. Поскольку при каждом соударении с кристаллическим центром рассеяния энергии электрон может потерять свой квазиимпульс, но будет терять лишь малую долю энергии ? за какое-то время, то этот временной параметр можно рассматривать как электронное время релаксации энергии (т_э) посредством выражения [45]:

причем 0 - единичная кинетическая энергия частицы среды. Параметр т_э может иметь величины, большие, чем у т обычно на два-три порядка. При этом: т_э8 = т, где 8 - доля кинетической энергии, которую теряет электрон при каждом столкновении с центром рассеяния в кристаллической структуре. При достаточно большой концентрации электронов [4, 33], когда преобладает рассеяние электронов на электронах, обычно полагают <5 « 1. В [3,5, 33] определено, что значение параметра т_э, по аналогии с т, имеет степенную зависимость от энергии f (отличную от (3.16)): т_э = т_э0?^_??, причем т_э0 и q зависят от механизма рассеяния, а при действии сразу нескольких механизмов для т_э справедливо соотношение вида (3.17).

Используя обобщённые соотношения (3.9) и (3.10) при решении кинетических задач твердотельной электроники, применяют три подхода к нахождению входящих в эти уравнения параметров < т > и <т_э>: строгий (прямой), квазимикроскопический (упрощающий исходную задачу) и феноменологический (основанный на решении уравнений переноса и рассеяния). Можно показать, что обычно результаты, полученные в каждом из этих трех подходов, оказываются достаточно близкими.

Для того чтобы строго решить уравнения (3.9) и (3.10), нужно точно знать величины < т > и <т_э>, а для их определения необходимо подставить соотношения (3.15), (3.16), (3.2) в (3.7) и (3.8), предварительно отыскав функцию распределения f, входящую в (3.15). Но процесс точного определения функции распределения f составляет основную трудность решения уравнения распространения (1.1), особенно в случае переменных по времени полей с напряженностями Е Е~. По этой причине почти все методы нахождения f являются приближенными и основываются либо на разложении функции f в виде полиномиального или степенного рядов, члены которых определяются с какой-то степенью точности, зависящей от уровня возмущения стационарной функции f внешним полем, либо на произвольном задании вида функции f с таким же приближенным последующим уточнением параметров аппроксимаций [3, 5, 33]. В случае нахождения функции f, рассмотренные выше времена релаксации <т> и <т_э> функционально будут зависеть от воздействующего электрического постоянного поля и переменных полей (в этом частном рассмотрении), т.е. будут временнозависимыми. Аналогичные выводы можно сделать по поводу величины параметра W, который при известном f можно определить из (3.2). После чего можно связать эти две зависимости и вывести соотношения для < т > (W) и <т_э> (W), которые после подстановки в (3.9) и (3.10) и решения получившейся системы уравнений позволяют определить u(t).

Очевидно, что намеченную последовательность нахождения u(t) можно значительно упростить, воспользовавшись сразу выражением (3.2) при условии нахождения функции f (не используя (3.9) и (3.10) [3, 5, 33].

Однако при этом по-прежнему сохраняется сложная и неточная процедура определения функции f. Этой процедуры можно избежать, если в уравнениях (3.9) и (3.10) либо априорно задаться видом функций < т > (W) и <т_э> (W), либо вообще не конкретизировать эти зависимости.

Для произвольного задания функции f с хорошей степенью точности можно использовать квазимикроскопический подход. Очевидно, в соотношениях (3.9) и (3.10) параметры <т>и<т_э> являются усреднёнными временами релаксации дрейфового импульса и средней кинетической энергии движения. Также понятно, что эти параметры по своим значениям должны быть очень близки к временам релаксации т и т_э, импульсу р и энергии f хаотического движения. Зависимости < т >(W) и <т_э> (W) будут идентичны или хотя бы очень похожими по виду графиков (3.16) и (3.20). В [33] доказано, что иногда, например, в случае невырожденного газа, такой квазимикроскопический подход будет наиболее подходящим и обоснованно доказанным.

Следовательно, пятое приближение, применяемое в дальнейших выводах для применения данного квазимикроскопического метода, заключается в том, что зависимости < т >(W) и <т_э> (W) полагаются равными (как и (3.16), (3.20)):

где значения параметров s и q сведены в табл. 2, а величины т₀ и т_э0 можно найти в [3, 5, 42] для различных видов рассеяния электроном его кинетической энергии и квазиимпульса.

Таблица 2

Значения параметров s и q для различных механизмов рассеяния

И наконец, наиболее удобный для практического применения, феноменологический подход к решению соотношений (3.8) и (3.9), заключающийся в том, что функции < т > (W) и < т_э> (W) раскладываются в ряды Тейлора по переменным составляющим W с ограничением этих рядов двумя первыми членами. В этом заключается основное допущение, определяющее погрешность данного подхода. Производные по W от функций < т > и <т_э> являются кинетическими параметрами плазмы, которые могут быть найдены теоретическим либо экспериментальным путём. При рассмотрении случая отклонения дисперсии от квадратичного закона, можно найти другой энерго- зависимый параметр - эффективную массу электрона m(W), точнее, производную от него, когда можно феноменологически ввести функцию m(W), производная от которой будет и применяться в рамках такого подхода. (Подробнее этот вопрос будет рассмотрен ниже.) Очевидно, что все описанные выше два подхода к нахождению кинетических параметров носителей учитываются в данном феноменологическом подходе как частные случаи при определенных функциях < т > (W) и < т_э> (W), m(W) и условий того, что результаты решений соотношений (3.9) и (3.10), полученные первым (точным) методом, будут достаточно близки к результатам, найденным на основе феноменологического подхода.

Необходимо отметить, что на перспективность использования уравнений сохранения (3.8) и (3.9) для решения нелинейных плазменных задач впервые было указано в [33], однако там эти уравнения записывались из чисто феноменологических соображений, рассматривались как уравнения «элементарной теории», и именно из-за непоследовательности их получения идея их совместного применения не была реализована. (Линейные задачи с использованием этих уравнений впервые решались в работе [3, 33], а нелинейные задачи - в работе [5]). Ранее уравнения (3.8) и (3.9) были получены достаточно строго, и поэтому мнение [3, 5] об их элементарности и непоследовательности, по-видимому, следует считать несостоятельным.

Необходимо сделать ряд важных поправок по поводу применимости соотношений (3.8) и (3.9) для расчёта параметров твердотельной плазмы:

• 1. При рассмотрении кристаллов с выраженной анизотропией, тензорными становятся параметры время релаксации <т> и эффективная масса т, что превращает каждое из уравнений (3.8) и (3.9) в компонентную систему уравнений (по три уравнения для каждого параметра). Поэтому этот случай не будем рассматривать в рамках данной работы.
• 2. Для многодолинных объёмных полупроводниковых структур типа A^IUB^V нужно рассматривать разные типы частиц, которые соответствуют различным долинам (или учитывать изменения кинетических параметров носителей при переходах из одной долины в другую). То есть необходимо учитывать явления междолинного рассеяния энергии и вводить в модель соответствующие этому времена релаксации [35, 39].

Но эти эффекты можно учесть путем введения зависимости m(W) в уравнение (3.8), причем ход этой зависимости можно (по аналогии со случаем < т >(W) и <т_э> (W)) приближенно считать совпадающим с ходом соответствующей функции m((W) и <т_э> (W), считать почти совпадающим с видом функции m(f), следующей для данного кристаллографического направления из дисперсионной характеристики). Следует отметить, что введение в расчеты зависимости m(W) уже использовалось ранее [39] и что это введение составляет содержание шестого приближения, которое положено в основу следующего ниже рассмотрения.

В третьем исходном соотношении (3.10) вместо использования функции распределения f можно провести замену точного соотношения <<т> (W) на приближенную функцию, как и в случае (W). Следовательно, определив о (р), можно найти функцию о (f) и считать, что зависимость для усредненного поперечного сечения рекомбинации от средней энергии W, < a >(W) в общем виде повторяет вид графика о (f). Аналогично зависимость < т_г> (W) можно считать подобной зависимости т_гА (т_тА (р).

Поскольку с увеличением энергии W, параметр < а > уменьшается [3, 5, 36], то зависимость < a >(W) будет представлена в виде

В случае пренебрежения ионизационными процессами соотношение для т_гА (f) будет иметь вид [35]

где _д - энергия донорных уровней, к - постоянная Больцмана, Т - температура кристалла.

Седьмое приближение для данного подхода заключается в том, что при рассмотрении зависимостей < а > (W) полагается, что основная генерация электронов в зону проводимости идет со дна зоны проводимости

(на уровне энергии 0). Тогда в (3.18) можно положить:^ ~ г> не зависит от W и будет падать при увеличении температуры кристалла Тсогласно (3.22).

Далее, диффузионные токи, которые являются следствием изменений концентрации и тока вдоль направления поля, будут там, где это необходимо, рассматриваться отдельно. Поэтому восьмое приближение для данного подхода состоит в учете этих изменений, что должно приводить к появлению справа в (3.9) и (3.11) дополнительных слагаемых, аналогичных соответствующим членам в ранее полученных уравнениях (3.9) и (3.11).

Итак, определено, что временные параметры: времена релаксации <т>, <т_э>, <т_р>, зависящие от W в соответствии с (3.13),(3.19), (3.20), и время <т_г>, которое при отсутствии учета ионизации можно считать не зависящим от W, определяют вид исходных соотношений (3.9)-(3.11). Важно отметить, что пятый параметр - эффективную массу m в (3.10) и в (3.12) будем полагать зависящей от W, без конкретизации вида механизма приводящего к этой зависимости. (В дальнейшем усредняющие индексы «< >» будут сняты: <т> = т; <т_э> = т_э; <т_р> = т_р, <т_г> = т_г, <с> = о.)

Соотношения (3.9)—(3.11) могут быть записаны в другой форме, в зависимости от того, как период Т колебания внешнего электрического поля Е будет связан с этими временами.