Варианты уравнений сохранения в разных частотных диапазонах

диапазонах

Уравнения (3.8)-(3.10) записаны в переменных Лагранжа, т. е. в системе координат, связанной с дрейфующим электронным потоком. Можно показать [4,5, 36,43], что если эти уравнения искать в лабораторной системе координат, т.е. в переменных Эйлера, то эти уравнения будут иметь вид

причем Q - параметр плотности потока кинетической энергии хаотического движения (векторная величина); к - постоянная Больцмана; х* ~ ко- эффициент теплопроводности межкристаллического электронного газа.

В отсутствие релаксационных членов эти уравнения превращаются в соответствующие уравнения газовой динамики [5, 33], по аналогии с которыми и дана физическая интерпретация членов, содержащих производные по эйлеровой координате z. Так как во введении указывалось, что нелинейные процессы, связанные с продольными неоднородностями во внимание не принимаются, то в соотношениях (3.23)-(3.26) члены с этими производными могут быть опущены. При этом уравнения (3.23)-(3.26) переходят в исходные уравнения (3.9)-(3.11), записанные в переменных Лагранжа. Если же в, уравнениях (3.8)-(3.10) учитывать члены, содержащие производные по координате, и перейти к подвижной системе координат, то, как можно показать [4, 5, 33], левые части уравнений (3.23)-(3.26) дадут производные по времени, записанные в этой новой системе координат, а для строгого перевода правых частей уравнений (3.8)—(3.10) в эту систему необходимо проделать ряд сложных преобразований, связанных, в частности, с тем, что функция распределения должна быть выражена с учетом отличия скоростей частиц в разных координатных системах. Пример такого перехода содержится, например, в [42]. Однако в связи с малой скоростью дрейфа, по сравнению со скоростями хаотического движения, упомянутым отличием часто можно пренебречь. В дальнейшем мы будем пользоваться соотношениями (3.8)-(3.10). При этом в случае перехода к переменным Эйлера диффузионный член Q, стоящий последним в правой части уравнения (3.24), может быть формально учтен, путем добавления его к выражению для плотности тока.

В предположении того, что напряжённость внешнего поля Е состоит из постоянных и переменных составляющих, причем максимальная

круговая частота этих полей, которая будет приниматься во внимание в 2п -

расчетах, равна ш = —, наибольшие значения производных, стоящих слева в соотношениях (3.8)—(3.10), будут определяться как

Поэтому с учётом переменных с этой частотой, составляющих u, W и п, уравнения (3.8)—(3.10) могут быть переписаны в виде

Очевидно, что когда период Т колебания внешнего электрического поля Е будет связан временами релаксации в правых частях уравнений (3.30)—(3.32), то содержащие Т члены могут быть в ряде случаев исключены. Определено [4, 5, 33], что величина т имеет порядок 10'11—1015с, а величины тг и тр имеют порядки, примерно равные 10'8с, поэтому в твердотельных структурах справедливы неравенства: тг « тр » тэ » т .

При рассмотрении рассеяния энергии носителей на оптических фононах второе неравенство будет иметь вид: тэ >т, а при изучении рассеяния на кристаллических дислокациях и на статических примесях (случаи 7-11) Т) = оо [4, 5, 29]. Следовательно, в сильных полях будут иметь место пять случаев соизмеримости времен релаксации и периода колебаний Т, что определяет применимость в частотных диапазонах со (табл. 3).

Таблица 3

Зависимость времени релаксации и периода колебаний Т от частоты

Частота

Связь Т и Ti

Инфранизкие и низкие

Низкие и средние

Высокие и СВЧ

Субмиллиметровые

Оптические

В соответствии с этой таблицей рабочий частотный диапазон делится на пять частей (областей).

В первой области в (3.25)-(3.27) исключаются все составляющие,

2п

имеющие множитель —, и для определения уравнении для компонент выходного тока от амплитуд напряжений модель дополняется обычной вольт- амперной характеристикой на постоянном токе, описываемом соотношениями

где

Во второй области для расчета компонент тока используют уравнения (3.30) и (3.11).

В третьей области применяют соотношение (3.10), а (3.9) превращается в частный случай уравнения Ланжевена:

Все члены в (3.28) являются гораздо меньшими члена, содержащего период Т, вследствие чего полагаем концентрацию равной n = const.

Но в четвертой области нужно использовать соотношения (3.9)-

(1.10), поскольку этот случай является наиболее общим. Далее с него будет начато дальнейшее рассмотрение. Будем также считать n = n(t).

Вследствие того, что первый член в (3.27) является гораздо меньше второго (пятая область табл. 3), то им можно пренебречь, что равнозначно исключению в (3.10) последнего члена и также эквивалентно случаю тэ = оо, который имеет место при рассеяниях на статических примесях (случаи 7-11 в табл. 2). Отметим, что в зависимости от значений времен тэ, т и Т пятая область соответствует также диапазонам сантиметровых, миллиметровых и субмиллиметровых волн. Для этой пятой области использование подхода данного рассмотрения становится не всегда точным, поскольку здесь вступают в силу те квантовые законы взаимодействия электронов и фотонов, которые лишь с учетом достаточно жёстких ограничений можно применять при помощи вышеизложенного механизма и общепринятого представления переменного поля. В [33, 36] показано, что при более чётком выполнении неравенства

где h - постоянная Планка, квантовые свойства системы будут проявляться слабее.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >