Квазимикроскопическая постановка нелинейной задачи при учете одного механизма рассеяния
Квазимикроскопическая постановка нелинейной задачи соответствует наиболее полному случаю произвольной зависимости напряжённости поля от времени E(t). Так как плотность дрейфового тока равна
где /л (0 - подвижность, то задача состоит в определении на основе (3.9)-
(3.11) вида функций /л (t) и n(t). Для отыскания n(t) нужно воспользоваться уравнением (3.11), куда вместо тр следует подставить его значение из (3.13) с учетом (3.23), причем в W= W(t) необходимо подставить его значение, найденное из уравнений (3.9)-(3.10). Так как эти же соотношения определяют и равенство
то имеет смысл записать её виде
Для зависимостей т(У) и r3(W) воспользуемся соотношениями (3.21) и (3.22), а вид функции m(W) пока раскрывать не будем. Тогда из (3.34) можно получить
Дифференцируя эту зависимость по времени и подставляя вместо производной — ее значение из (3.35), можно получить строгое нелинеи- ное уравнение, определяющее функцию ц (t):
В этом уравнении не раскрыта зависимость m (W). Если задаться видом этой функции, то, подставив ее в (3.43) и решив получившееся уравнение относительно W, можно найти W(jU, t) так, что, подставив затем эту функцию в m(W) и в ^ , удается в принципе представить уравнение (3.44) как уравнение для yu(t).
Видно, что это уравнение в общем виде не поддается аналитическому решению. В случае высоких и сверхвысоких частот, когда в (3.44) отсутствует член в левой части и последний член в правой, так что в правой части сохраняется только первый член, уравнение (3.44) существенно упрощается и принимает вид
Причем в случае полупроводника с квадратичным законом дисперсии первый сомножитель в квадратных скобках в правой части (3.45) превращается в единицу. Так как в этом, последнем, случае величины СХ,С2 и Сз оказываются константами, то уравнение (3.45) поддаётся для некоторых механизмов рассеяния аналитическому решению и будет использовано нами в дальнейшем при анализе переходных процессов. Такое решение получается наиболее простым в случаях 7-11 табл. 2, когда тэ0 = оо и в правой части уравнения (3.45) остаётся только член, содержащий произведение Сх С3.
Следует отметить, что в случае высоких и сверхвысоких частот, малого разогрева и при ~= 0, уравнение (3.45) можно получить в более простом виде, если в (3.44) приближённо представить
Это приводит к уравнению
где
которое использовалось ранее [3, 10, 28] для анализа нелинейных свойств твердотельной плазмы при рассеянии на акустических фононах. Для этого же механизма рассеяния и для тех же частот один из вариантов записи уравнения (3.44) использовался ранее при построении линейной теории дрейфовых ЛБВ [9, 28] для анализа нелинейных свойств СВЧ-проводимо- сти диода Ганна [32-36], а также при рассмотрении вольт-амперной характеристики полупроводников [32], в частности, при наличии малого магнитного поля [36]. Следует, однако, отметить, что в перечисленных работах [3, 28-30] рассматривался фактически линеаризованный, малосигнальный вариант решения уравнения (3.38), что не давало возможности проследить целый ряд нелинейных особенностей рассматриваемых процессов. Ниже случай небольших переменных сигналов будет рассмотрен в общем виде с использованием феноменологического представления времен t(W) и t3(W).
