ИССЛЕДОВАНИЕ ВКЛАДА ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В ВЫХОДНЫЕ ПАРАМЕТРЫ ОБЪЕМНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКОВ С ГОРЯЧИМИ НОСИТЕЛЯМИ
Основные соотношения для кинетической диффузионной модели
Диффузия свободных носителей заряда в полупроводниках проявляется, в основном, в двух макроскопических процессах: 1) диффузионном токе при наличии градиента концентрации носителей и 2) расплывании первоначально локализованного в пространстве пакета (сгустка) носителей. Кроме того, коэффициент диффузии оказывается связанным с электрическими шумами. В отсутствие разогрева электронов эти процессы описываются известными феноменологическими формулами с использованием коэффициента диффузии D [44, 45]. В одномерной и изотропной (для простоты) модели такими формулами являются: Диффузионный ток
где е - заряд; п - концентрация носителей заряда.
2. Расплывание пакета носителей заряда
n(x,t)
где —---плотность вероятности нахождения в момент времени t в точке
с координатой х электрона, первоначально локализованного в точке х = 0.
Спектральная плотность низкочастотных (со —> 0) флуктуаций тока (шумов):
Коэффициенты диффузии в формулах (4.1)-(4.3) обозначены индексами (априори нельзя сказать, что они совпадают). Далее при рассмотрении динамики расплывания пакета будет видно, что выражения (4.1) и (4.2) на определенных отрезках времени, определяемых временами релаксации флуктуаций перемещений и скоростей, не имеют места. При этом процесс установления стационарного значения коэффициента диффузии и выражения для диффузионного тока (4.1) происходит с другим временем релаксации, чем процесс формирования нормального распределения (4.2) из первоначального, например, S-образного пакета носителей. На таких коротких отрезках времени определяемые по измерениям диффузионного тока и полуширины расплывания пакета коэффициенты диффузии могут не совпадать как между собой, так и со стационарным значением коэффициента диффузии. В установившихся процессах коэффициенты диффузии Di и D2 совпадают, в чем легко убедиться подстановкой (4.1) в уравнение непрерывности для диффузионного тока
В результате получим уравнение диффузии
решением которого является
Следует все же оговорить, что если величина коэффициента диффузии Di зависит от концентрации носителей заряда, то коэффициент D2 оказывается некоторой усредненной по распределению электронов в пространстве величиной и является функцией времени. В этом случае Di и D2 могут не совпадать.
Что касается коэффициента D3, определяемого тождеством (4.3), то он является некоторой величиной, характеризующей флуктуации тока («коэффициентом шума»), и может не совпадать с коэффициентом диффузии D = Di = D2. Условия совпадения D3 и D будут выяснены ниже. Здесь же отметим, что идентичность D3 и D в термодинамическом равновесии можно проследить, сравнивая известное соотношение Найквиста [44-48]
где /л - подвижность электронов; Т - температура, с соотношением Эйнштейна
Последнее выражение легко получить из условия компенсации диффузионным током дрейфового тока в поле Е, образовавшемся в результате диффузии зарядов. Для электронного полупроводника имеем
'
В термодинамическом равновесии п ~ ее<р/кТ
Подставив (4.9) в (4.8), получим (4.7).
В случае горячих электронов априори нельзя сказать, что коэффициенты D3 и D совпадают по величине и имеют одинаковый физический смысл, а также, что выполняется соотношение Эйнштейна (4.7). Ниже рассмотрены возможные изменения D, D3 и соотношения Эйнштейна в случае разогрева электронного газа [23,45].
