Спектральная плотность флуктуации тока и коэффициент диффузии

Пусть Y(t) величина, характеризующая некоторый стационарный случайный процесс. Тогда (Y²(t)) не зависит от времени и можно записать [42]:

где Sy(ft>) - спектральная плотность величины Y(t). S{co) имеет ясный физический смысл. Например, для флуктуаций электрического тока она пропорциональна энергии флуктуирующей величины, заключенной в интервале частот со, (о+ dco. Поскольку последняя является экспериментально измеряемой величиной, то интересно связать ее с величиной коэффициента диффузии.

Спектральная плотность Sy(co) связана с коэффициентами разложения в ряд Фурье процесса Y(t). Разложим Y(t)B ряд Фурье в интервале О < t < Т:

где (х)_п = 2тгпЛГ, п = 0, +1, ±2...,

Заметим, что в рассматриваемом случае а_п является случайной величиной. Спектральная плотность Sy(ft>) случайного процесса Y(t) по определению есть величина

где а*_п - комплексно сопряженная величина. Скобки обозначают функцию усреднения, поскольку - случайная величина. Используя (4.20), получаем:

Сделаем замену: t" = t +1':

Автокорреляционная функция < Y(t)Y(t + С) > при больших t' стремится к нулю, поэтому второй интеграл в (4.23) исчезает за пределами - г < t' < г, где г - время релаксации флуктуации, и замена пределов интегрирования второго интеграла на ± оо приводит лишь к пренебрежимо малой ошибке [3, 5, 45]. Кроме того, поскольку для стационарного случайного процесса < Y(t)Y(t + t') > = i//(t') не зависит от t, получаем

Подстановка (4.24) в (4.21) с учетом того, что при Т -> оо, а>_п -» ш,

дает

Так как exp(icot¹) = cos cot’ + i sin cot’, и поскольку sin cot’- нечетная функция, a < Y (t) Y (t +1')> и cos cot¹ - четные, то (4.25) преобразуется в выражение

Итак, показано, что спектральная плотность флуктуаций величины Y(О выражается через автокорреляционную функцию. Это теорема Ви- нера-Хинчина [3, 5, 35]. Можно показать, что справедливо и обратное уравнению (4.26) соотношение

Приведем два примера спектральных плотностей. Для физических процессов, которые характеризуются корреляционной функцией вида (4.18), спектральная плотность равна

Как видим, спектр флуктуаций при больших частотах сот » 1 обрезается, а в области частот сот « Соответствует белому шуму. Для белого шума =AS(t'), где A = const, и /°° 5(t') dt¹ = 1, тогда

Теперь рассмотрим связь спектральной плотности флуктуаций скорости частиц с коэффициентом диффузии носителей заряда. Примем, что носитель находится в положении х = 0 при t — 0. Тогда за время t он сместится на расстояние, равное

а дисперсия будет равна

Преобразуя этот интеграл точно так же, как в (4.22), получаем

Интеграл в (4.30) пропорционален спектральной плотности низкочастотных со -> 0 флуктуаций скорости (4.26):

Подставляя (4.31) в (4.30), получаем или, сравнивая с (4.14):

Таким образом, получаем еще одно определение коэффициента диффузии через автокорреляционную функцию флуктуаций скорости:

Часто в литературе выражение (4.34) распространяется на всю область частот и записывается как

Теперь найдем связь измеряемой величины спектральной плотности флуктуаций тока с коэффициентом диффузии [3, 45]. Флуктуации тока j(t) в единичном объеме связаны с флуктуациями скоростей отдельных носителей v,(t) равенством

где п - концентрация носителей тока. Автокорреляционная функция тока

Считаем, что носители не взаимодействуют друг с другом, а движутся независимо [3, 35-40]. Тогда перекрестные произведения сумм в среднем равны нулю

Так как автокорреляционные функции скоростей отдельных электронов равны, запишем

Отсюда спектральная плотность флуктуаций тока в единичном объеме равна

Сравнивая (4.37) с (4.33), окончательно получаем связь спектральной плотности тока с коэффициентом диффузии:

С учетом (4.35) получим также

Выражение (4.38) совпадает с (4.3). Коэффициент D в (4.35) определен как (x²(t))/2t = D (4.33), т.е. так же, как и в случае коэффициента Di (4.14). Этим в рамках рассмотренной модели доказана идентичность в стационарных условиях коэффициента D? в (4.3) с коэффициентом Dj.

При выводе (4.38) считалось, что корреляции между случайными значениями скоростей разных электронов отсутствуют. Поэтому этот вывод годится всегда, когда межэлектронные столкновения, приводящие к корреляциям, а также другие процессы, посредством которых электроны влияют друг на друга, несущественны. Следует, однако, обратить внимание на то, что слева в (4.38) и (4.39) стоит спектральная плотность флуктуаций тока, обусловленная флуктуациями скоростей частиц. Известно, что за флуктуации тока могут быть ответственны иные механизмы, особенно при наличии разогревающего электрического поля. Ниже рассмотрим основные из них [1, 43-47].