Определение коэффициента амбиполярной диффузии по расширению электронно-дырочного газа в полупроводнике

На поверхности полупроводника, вследствие различных нарушений идеальности решетки, разогрев электронов и дырок происходит значительно слабее, чем в объеме. Поэтому в сильных полях носители в объеме оказываются горячее, чем на поверхности, в результате чего возникает их поток к поверхности. Если скорость поверхностной рекомбинации s достаточно велика и выполняется неравенство

где d - толщина образца; D_a - коэффициент амбиполярной диффузии, то ток носителей на поверхность будет определяться амбиполярным диффузионным потоком носителей. В этом случае при d«4L, где L - диффузионная длина, для неравновесных пар можем записать

где г* - эффективное время жизни носителей заряда в образце с учетом рекомбинации на поверхности. Записывая выражение (4.69) для горячих электронов, получаем для зависимости коэффициента амбиполярной диффузии от поля формулу

Экспериментально отношение эффективных времен рекомбинации может быть определено по изменению концентрации носителей в образце. Ранее разогрев носителей в германии с проводимостью, близкой к собственной (р = 40 Ом см), проводился сильным СВЧ-электрическим полем с амплитудой до 4,5 кВ/см. Измерялась остаточная проводимость образца сразу после выключения импульса сильного поля. По величине остаточной проводимости вычислялось изменение г* и коэффициента амбиполярной диффузии. Была получена линейная зависимость D(E). Отношение ~у~(₎ достигало 1,33 при Е = 4,5 кВ/см. Заметим, что измерялось отношение усредненных по периоду СВЧ-поля значений величин попереч

но

ного коэффициента диффузии. В подобного рода эксперименте можно получить значительную ошибку (вплоть до обращения знака изменения D(E) — Z)(0), связанную с зависимостью скорости поверхностной рекомбинации от поля. Последняя определяется характером обработки поверхности, и успех измерений в решающей степени зависит от правильного выбора такой обработки.

Трёхуровневая модель стационарного коэффициента диффузии

При разогреве электронов в явлениях переноса могут участвовать электроны боковых долин разных типов. Учет этого обстоятельства существенно расширяет как разнообразие закономерностей, так и возможности непротиворечивой интерпретации наблюдаемых явлений [3,40]. Некоторые закономерности, специфические для такого много долинного полупроводника, следуют также и из многоуровневой модели с зависящими от электрического поля параметрами [3]. Стационарный коэффициент диффузии электронов в случае многоуровневых моделей определен в работе [43].

Детальное рассмотрение трехуровневой модели преследует несколько целей. Во-первых, на примере этой модели удобно раскрыть суть понятий кинетического оператора Ё и обратного оператора Ё~^Л. Последний вводится при определении стационарного коэффициента диффузии в общем виде [44], и он будет использоваться нами в дальнейшем. Во-вторых, здесь в рамках трехуровневой модели анализируются особенности динамики установления независимых составляющих коэффициента диффузии в случае сложных моделей. В-третьих, результаты по стационарному коэффициенту диффузии, следующие из многодолинных моделей и многоуровневых моделей, не сопоставлялись, поэтому имеет смысл провести такое сравнение.

Для трехуровневой модели запишем систему уравнений

где Wij - плотность вероятности ухода электрона с i-ro уровня на j-й уровень.

Путем решения уравнений для моментов пространственного распределения электронов в пакете можно получить для коэффициента диффузии формулу

где для удобства записи введен оператор Ё~^г, а набор скоростей {и_1? v₂,v₃} и набор величин {(и — v_dr)N®} представлены в виде векторов:

Здесь N - число электронов в пакете; Ni - число электронов, обладающих скоростью Uj - то же самое число при условии движения центра пакета со стационарной скоростью дрейфа:

Оператор Ё и обратный оператор Ё~^г имеют вид

где

и

Можно убедится в том, что в случае двух уровней Ё~^х — т, а формула (4.72) принимает вид (4.73).

Число электронов /V® определяется путем решения системы уравнений

т.е. выражается через

Нетрудно видеть, что выражение коэффициента диффузии в виде (4.72) для трехуровневой модели согласуется с общей формулой для коэффициента диффузии, выражающей его через обратный оператор кинетического уравнения и стационарную функцию распределения [3]. Отметим, что обратный оператор не обладает свойством Ё~^гЁ = /, где f - единичный оператор. Свойства операторов Ё и Ё~^г и методика нахождения обратного оператора в общем случае будет описана ниже.

Запишем решения системы уравнений (4.80) в явном виде. Для стационарной концентрации на i-м уровне имеем

где величины S и Si определяются формулами (4.80).

Используя формулы (4.77) и (4.81), выражение для коэффициента диффузии (4.72) можем переписать в виде

Если сравнить выражение (4.82) с формулой для коэффициента диффузии двухуровневой модели

где S = W12 + W21, то можно заметить, что выражение (4.83) содержит три члена типа (4.83), описывающие взаимодействие между каждыми двумя уровнями, и три члена, описывающие взаимодействие каждого уровня с двумя оставшимися. Члены типа (4.83) всегда положительны и приводят к увеличению коэффициента диффузии, однако из оставшихся членов один отрицателен. Действительно, пусть v₁>v₂>v₃, тогда член, описывающий взаимодействие второго уровня с двумя оставшимися, меньше нуля. Это понятно, поскольку скорость 1>2 - промежуточная и переходы электронов в это состояние приводят к группировке пакета, т.е. дают отрицательный вклад в диффузию.

Попытаемся в рамках трехуровневой модели описать междолинную составляющую коэффициента диффузии трехдолинной модели. В качестве примера рассмотрим продольный коэффициент диффузии горячих электронов в твердых растворах Al_xGai-_xAs различного состава (рис. 17), результаты вычисления которого получены для трехдолинной модели с константами междолинного взаимодействия.

Рис. 17. Продольный коэффициент диффузии для трехаолинной модели

AlxGai-xAs: 1 -х = 0; 2-х = 0,1; 3- х = 0,15; 4 - х = 0,25, 5 - х = 0,15

При сопоставлении трехдолинной и трехуровневой моделей полагаем, что Uj - средняя скорость электронов i-й долины, а г,, = W.j'¹ - среднее время пребывания электрона в i-й долине до его ухода в j-ю долину.

Для определения этих величин методом Монте-Карло достаточно моделирования траектории одного электрона в k-пространстве, тогда как для определения коэффициента диффузии необходимо более трудоемкое моделирование расплывания пакета электронов в х-пространстве. Зависимости относительной заселенности долин ns скорости Uj и времен перехода между долинами от напряженности электрического поля приведены на рис. 18, 19 и 20 соответственно.

Воспользуемся данными рис. 19 и 20 для вычисления междолинной составляющей коэффициента диффузии по формуле (4.72). Результат для AlxGai-_xAs при х = 0,1 приведен на рис. 21 (кривая 1). Точки на рис. 21 изображают результаты непосредственного моделирования пакета в случае трехдолинной модели.

Рис. 18. Полевая зависимость относительных заселенностей долин; а - пх, б - til; в - Пг для AlxGai-xAs при следующих значениях х : 1 - 0; 2 - 0,1; 3-0,15; 4-0,2; 5-0,25

Рис. 19. Средняя скорость электронов в центральной (1-5) и боковых (L и X) долинах (6-7) для AlxGal-xAs при следующих значениях х: 1 - 0; 2 - 0,1;

3-0,15; 4-0,2; 5-0,25

Каждому независимому типу процессов, возможных в системе частиц, определяемой оператором В стационарного кинетического уравнения, соответствует своя составляющая полного коэффициента диффузии, и вклады этих процессов суммируются. Воспользуемся этим и запишем продольный коэффициент диффузии трехдолинной модели в виде

где D, - внутридолинная составляющая коэффициента диффузии; D,, - междолинная составляющая коэффициента диффузии. Запись (4.84) есть не что иное, как выделение составляющих коэффициента диффузии, соответствующих различным типам процессов. При этом D,, вообще говоря, не равен внутридолинному коэффициенту диффузии в отсутствие остальных долин.

Рис. 20. Время ухода электрона из i-й долины в j-ю для Al_xGai-_xAs: а - при .г = 0,1; б - при следующих напряженностях электрического поля Е:

(') - 3 кВ/см; (") - 4,5 кВ/см; ("') - 6 кВ/см

В силу того, что эффективная масса в верхних долинах значительно больше, чем в нижней, то можем ожидать, что составляющие коэффициента диффузии там значительно меньше. Тогда можно считать (в диапазоне полей, где /V® » /V® + /V®), что

и имеет место упрощенная взаимосвязь

В качестве D_v возьмем термодинамически равновесный коэффициент диффузии. Результат вычислений по формуле (4.86) представлен в виде кривой 2 на рис. 21, которая в области слабых полей и в окрестности максимума удовлетворительно описывает результаты непосредственного моделирования расплывания (точки на рис. 21). Отметим, что этот результат не следует обобщать для произвольной трехдолинной модели.

Рис. 21. Коэффициент диффузии горячих электронов в AlxGai-xAs при х = 0,1: 1 - междолинная составляющая Dm; 2 - вычисление по формуле (4.86); 3 - прямое моделирование расплывания методом Монте-Карло