ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ЗАВИСИМОСТЬ ЭФФЕКТИВНОЙ МАССЫ НОСИТЕЛЕЙ ДЛЯ НЕКОТОРЫХ СЛУЧАЕВ ДИСПЕРСИИ В РАЗЛИЧНЫХ ПОЛУПРОВОДНИКАХ

Способы учёта энергозависимости эффективной массы горячих носителей в объёме полупроводников типа AmBv

При исследовании механизмов нелинейности твердотельной плазмы, проявляющейся в сильных электрических полях (напряжённость которых в объёме некоторых полупроводников соизмерима с напряжённостью порогового поля эффекта Ганна), наиболее важным является вопрос об отклонении дисперсионной характеристики от квадратичного закона, которую можно учесть путем ввода зависимости эффективной массы m носителей от их средней энергии W [44-49].

Известно [3, 5, 42-48], что на дне зоны проводимости (ЗП) эффективная масса носителей заряда положительна и является константой т= то > О,

з

а её энергия определятся как Wo= - kTo (где к - постоянная Больцмана; Т₀ = 300 К - комнатная температура). На вершине ЗП m < 0, а при разогреве

Л И/зп

внешним полем, с ростом энергии, когда W —? —— (AWsxi — ширина зоны

. _ AW зп

проводимости), величина m будет в точке —-— переходить через ± оо.

При одномерном кристаллографическом рассмотрении вдоль одной из осей, можно выделить три известных причины появления этой зависимости [44]:

1. Классическое отклонение дисперсии от квадратичного закона является определяющей причиной нелинейных свойств объёма полупроводника. Этот эффект записывается соотношением [35]

где то - эффективная масса при энергии W=Wo; AW_m - полная ширина разрешённых значений W в ЗП при движении вдоль одной из осей. (Для направления < 100> в GaAs определено AW_m = 1,93 эВ.)

2. Учёт Кейновского рассмотрения отклонения дисперсии от квадратичного закона, проявляющегося за счёт учёта влияния электронов основной зоны на поведение электронов в ЗП, приводит к дополнительной энергии AW, квантование которой приводит, в свою очередь, к квантованию энергетических уровней и образованию дополнительных подзон [35, 37]. Это проявляется в виде степенной зависимости:

• (Для GaAs, при значении волнового вектора к=0, ширина запрещённой зоны A W_r =1,4 эВ.)
• 3. Зависимость m(W), связанная с двухдолинным представлением полупроводников тшшА^шВУ (А^иВ^щ и др.). Само по себе это представление довольно громоздко и может быть упрощено за счёт рассмотрения эффекта «утяжеления» электронов при переходе их в боковые долины в процессе разогрева. Это можно описать в виде соотношения [3, 35, 46]

где т„ = 0,072 т< и т« = 1,2 гщ - массы электронов в верхней и нижней долинах соответственно; п - масса свободного электрона; W₆ - энергия уровня дна боковой долины (для GaAs: W₆ — W₀ = 0,36эВ); AW„ - интервал средних энергий электронов, внутри которого, при W ~ W₍-, осуществляется переход в боковую долину. При рассеянии на оптических фононах W_n = hoftV/^0,035 эВ.

Подставляя вместо то в выражении (5.1) величину т из (5.2), получим достаточно общий закон изменения эффективной массы электрона в зоне проводимости из-за отклонения дисперсии от квадратичной зависимости:

Если в соотношение (5.3) в качестве т„ подставить величину ш, определяемую из (5.4), а в качестве пт, соответствующую ш, также определяемую из (5.4) для верхней долины (т.е. заменив в (5.4) mo=m« - эффективная масса дна боковой долины, Wo= Wo, AW_TS = AW_Ts6 -расстояние от дна боковой долины до вершины основной зоны, AW_m = AW_m6 - ширина зоны проводимости боковой долины (для GaAs: AW_ri6= 1,76 эВ; AW_m6 = 2 эВ)), то получившийся при этом закон будет учитывать все три представленных эффекта изменения эффективной массы от энергии:

Всё перечисленные выше подстановки проиллюстрированы на рис. 22 в виде трёх графиков, построенных в нормированном виде.

Рис. 22. Энергетические зависимости нормированной эффективной массы для основной долины GaAs (график 1, уравнение (5.4)), боковой долины (график 2, уравнение (4)) и суммарная, учитывающая междолинный переход (график 3,

уравнение (5.5))

Так как полученное выражение достаточно громоздко и не удобно для применения в практических расчетах, можно, в качестве феноменологического подхода, не рассматривать отдельно каждый из вышеперечисленных случаев, а обобщить их в виде соотношения, полученного 1 ^

после разложения — = f (W) в ряд Тейлора и ограничения первым членом этого ряда [5, 44-47]:

где р_т - безразмерный параметр, зависящий от типа полупроводника, определяемый го его дрейфовой характеристики (для Ga As: определено p_m = 0,1).

Этот вывод подтверждается графическим сравнением соотношений (5.5) и (5.6), приведённым на рис. 23, из которого видно практически полное совпадение кривых, особенно при ^->8,5, что соответствует диа-

М Ч,Л

пазону изменения — >4,2.

т₀

Рис. 23. Энергетические зависимости нормированной эффективной массы, рассчитанные по уравнениям (5.5) (график 1) и (5.6) (график 2)

Проведём анализ соотношений (5.5) и (5.6) с использованием дифференциальных уравнений сохранения [3,6, 43-48]:

где е - заряд электрона; г и ?? - времена релаксации квазиимпульса р и энергии W соответственно.

После подстановки (5.7) в (5.6) и рассмотрения стационарного случая этих уравнений, получим в нормированной форме:

_г I m₀W₀ .. ,

где Ь_п = I—--напряженность порогового электрического поля эф-

фекта Ганна [5, 32-47].

Подставляя в уравнение (5.9) зависимости m(W), полученные ранее, можно оценить для перечисленных выше случаев (5.4)-(5.6) влияние внешнего электрического поля на среднюю энергию носителей с учетом разных механизмов дисперсии (рис. 24).

Рис. 24. Зависимости нормированных значений средней энергии носителей от внешнего постоянного поля: ] - для основной долины, 2 - для боковой долины,

3 - с учетом междолинного перехода, 4 - рассчитанный с использованием

уравнения (5.6)

Из графиков, приведенных на рис. 24, видно, что график 4, построенный

с использованием уравнения (5.6), хорошо аппроксимирует кривую 3, постро-

?

енную по уравнению (5.5) в диапазоне значений 4,2 > — > 1,5, что соответ-

Е„

ствует вышеупомянутому условию >8,5 и что вполне удовлетворяет обычному рабочему режиму приборов, использующих разогревные эффекты в структурах из GaAs [4].

Используя (5.6), определим плотность выходного тока как

• 2
• 6 71Т 6 Т

) = ещЕ =-Е. Введя параметры ц₀ = —, а также j_u = епц₀Е_п =

771 771q

= е²птЕ_п/2т₀, можно из решения стационарного случая уравнений (5.7) и (5.8), получить в нормированном виде уравнение

Полученное уравнение имеет компактный вид и удобно для использования как для аналитических, так и для численных прикладных расчётов. График этой зависимости приведён на рис. 25.

Рис. 25. График, построенный по соотношению (5.10)

?

Видно, что этот график определяет экстремум в точке — = 1, что

Ей

соответствует виду дрейфовой характеристики для Ga As ( он может быть таким же образом построен для объёмов других структур полупроводников подобного типа). Это соответствие также подтверждается результатами анализа 3-го случая вышеизложенных рассмотрений m(W) по соотношению (5.5).