Учет реальных опционов при проведении оценки эффективности инвестиционных проектов

в С. В. Оценка стратегических инвестиционных проектов в реальном секторе экономики.}}

В последние годы все больше исследователей и практиков не удовлетворены традиционными методами оценки и отбора инвестиционных проектов, особенно тех, которые имеют стратегический характер. В настоящее время общепризнано, что традиционная методика, основанная на оценке дисконтированных денежных потоков, не может адекватно отражать активную роль руководства в процессе управления инвестиционным проектом после принятия решения о начале его реализации. Традиционный подход основан на предположении, что после принятия инвестиционного проекта роль руководства состоит в строгом выполнении принятого плана. Однако на практике, по мере того как неопределенность разрешается, руководство проекта предпринимает те пли иные шаги, нацеленные на нивелирование негативных тенденций и фактов. Например, через некоторое время после начала реализации руководство может отказаться продолжать проект в обмен на его остаточную стоимость, может расширить или ограничить сферу охвата проекта, изменить входы или выходы проекта, наконец, временно приостановить и возобновить реализацию проекта после улучшения ситуации.

Благодаря таким возможностям изменять параметры инвестиционного проекта в течение его жизненного цикла, инвестиционный проект может стать экономически более привлекательным. Таким образом, традиционный подход, как правило, недооценивает многие инвестиционные проекты, особенно долгосрочного характера.

Способность руководства активно действовать после начала реализации инвестиционного проекта напоминает ситуацию с финансовыми опционами на фондовом рынке. Имея опцион на покупку, собственник вправе приобрести определенный актив по заранее

оговоренной цене после истечения периода времени или даже ранее. Но собственник опциона не обязан его реализовывать в случае невыгодного изменения цены актива па рынке в заданный период. В основе привлекательности опциона как финансового инструмента лежит асимметрия между наличием права его реализовать при благоприятном развитии ситуации и отсутствием обязательства его реализовывать в обра тном случае.

Аналогичным образом, руководство инвестиционного проекта может продолжать реализовывать проект по принятому плану в случае благоприятного развития ситуации и не обязано это делать при неблагоприятном развитии ситуации. Подобно финансовым опционам, такие ситуации в области оценки инвестиционных проектов были определены как реальные опционы. Опционный подход к оценке и выбору инвестиционных проектов позволяет количественно оцепить дополнительные преимущества активных действий руководства по управлению проектом.

В 1980-х гг. стали проявляться недостатки традиционной системы оценки и отбора инвестиционных проектов. Некоторые исследователи предложили альтернативные сист емы, а некоторые даже призвали отказаться от количественных критериев при оценке реальных инвестиций. Исследования последних лет показывают, что настало время для более полною внедрения новой концепции отбора и оценки инвестиционных проектов на основе опционного подхода.

Опцион — это право без симметричного обязательства покупать или продавать актив (например, обыкновенные акции) по фиксированной цене в определенный момент времени или даже раньше. Если опцион может быть реализован до установленной даты, его называют американским, если опцион может бьггь реализован строго в установленную дату, его называют европейским.

Модели оценки стоимости опциона

Модели оценки стоимости финансовых опционов успешно применяются уже в течение нескольких десятилетий. Не удивительно, что с появлением концепции реальных опционов первыми моделями для их оценки были именно модели оценки финансовых опционов. Наиболее популярными из них являются три типа моделей: модели с непрерывным временем, схемы конечных разностей и биномиальные модели.

Модели с непрерывным временем

Анализ опционов предполагает, что стоимости активов подчиняются логарифмически нормальному распределению, а доходы от активов - нормальному распределению. Изменение стоимости активов, как правило, моделируется с помощью модели геометрического броуновского движения.

Пусть m - пос тоянная ожидаемая ставка доходности, b - стандартное отклонение, V — стоимость актива, dt - малый промежуток времени, dz - приращение стандартного Винеровского процесса (со средним значением ноль и вариацией dt). Тогда процесс изменения стоимости актива во времени можно представить следующим образом:

dV = mVdt + bVdz.

Для относительно ясных инвестиционных возможностей модель непрерывного времени использует формулу цены опциона Блэка -Шоулза (Black - Scholes).

Формула Блэка — Шоулза для оценки колл-опциона:

С =S0N(d,) - Xe'rtN(d2),

где dj = (ln(S0 / X) + (г + s2)t) I sVt ;

d2 = d, - s>/t ;

So - цена основного актива в начальный момент времени;

X — цена исполнения опциона;

г - непрерывно начисляемая безрисковая сложная процентная ставка;

s - стандартное отклонение доходности в расчете на год;

t - время до погашения опциона;

N(~) - функция стандартного нормального распределения.

Нормальность распределения доходности - это основное предположение, принятое в модели Блэка - Шоулза. Кроме этого, модель использует еще ряд предположений, а именно:

— основные активы свободно продаются и покупаются, в том числе в дробных долях;

  • — допускается «короткая» продажа (продажа без покрытия) основных активов, при этом продавец может пускать полученную наличность в оборот;
  • — дивидендов или иных выплат ио основным активам до исполнения опциона не предусматривается;
  • — допускается привлечение и размещение наличности по той же самой безрисковой процентной ставке (с непрерывным накоплением процентов);
  • — опцион относится к европейскому типу и до дня погашения исполнен быть не может;
  • — налоги, расходы на совершение сделок и выплаты маржи отсутствуют;
  • — цена актива с ходом времени меняется непрерывно (без скачков);
  • — характер изменчивости цены актива, а также процентная ставка в течение срока действия опциона остаются пос тоянными.

Достоинством модели Блэка - Шоулза является относительная простота расчета, и в большинстве случаев практики предпочитают пользоваться именно этой моделью, а не другими, более сложными. Возможность применения формулы Блэка - Шоулза для оценки реальных опционов покажем па следующем примере.

Пр им ер

Компания, занимающаяся телекоммуникациями, собирается расширить свою сеть и выйти на качественно новый уровень телекоммуникационных услуг. Эта цель не может быть достигнута без разработки и внедрения новой информационной системы. В итоге компания рассматривает поэтапный инвестиционный проект, первой стадией которого является разработка и внедрение новой информационной системы, а второй - модернизация и расширение теле комму н ика цион ной сети.

В табл. 36 представлены начальные инвестиции и ожидаемые денежные потоки по двум стадиям инвестиционного проекта. Сначала компания должна вложить 650 тыс. руб. в разработку информационной системы, что позволит в течение последующих 6 лет получать денежные потоки, которые показаны в строке 1 табл. 36. В случае благоприятного развития ситуации через два года после начала первой стадии компания может сделать вторую инвестицию в размере 6,5 млн руб. в развитие телекоммуникационной сети. Денежные потоки второй стадии проекта показаны в строке 2 табл. 36.

Таблица 36

Денежные потоки двух стадий инвестиционного проекта (тыс. руб.)

Ста-дня

Года

ЧДД

0

1

2

3

4

5

6

1

-650

70

120

150

170

180

200

-126,6

2

-6500

2000

2200

2400

2500

-68

Безрисковую ставку дисконтирования примем в размере 10 %. Стоимость капитала компании, используемая для расчета NPV, превышает безрисковую ставку на величину премии за риск (5 %) и, таким образом, составляет 15 %.

Сначала оценим инвестиции на каждой стадии по отдельности. Как показано в табл. 36, значение традиционного ЧДД для первой стадии проекта отрицательно (-126.6 тыс. руб.), что должно заставить компанию отказаться от идеи вкладывать средства в развитие информационной системы. Такая же ситуация с инвестициями второй стадии. Традиционный ЧДД, рассчитанный только для денежных потоков второй стадии, также оказывается отрицательным (-68 тыс. руб.). Таким образом, традиционная техника расчета ЧДД однозначно приводит к решению отвергнуть данный проект, который в результате может принести компании общие убытки в размере 194,6 тыс. руб.

Однако традиционная техника не способна в должной степени отразить опционный характер инвестиций второй стадии. Возможность начать реализацию второй стадии проекта при благоприятном развитии ситуации без обязательства делать это в обратном случае создает дополнительную стоимость, ко торая увеличивает первоначальное значение ЧДД.

Инвестиции второй стадии могут быть рассмотрены как опцион роста. Этот опцион является европейским колл-опционом со сроком реализации два года и ценой исполнения, равной начальным инвестициям на второй стадии (6,5 млн руб.). Общая стоимость проекта в момент времени 0 представляет собой настоящую стоимость ожидаемых будущих денежных потоков:

Vo = V2e'kt = 6410-е’0152 =4748,7 тыс. руб.

Предположим, что неопределенность, связанная с будущей разработкой и внедрением телекоммуникационной сети, характеризуется показателем стандартного отклонения s = 0,15.

Теперь можно рассчитать стоимость опциона, используя формулу Блэка - Шоулза. Для получения с тоимости колл-опциона по этой формуле на практике можно использовать табличные значения пли воспользоваться специальным программным обеспечением (например, MATLAB).

В результате находим стоимость колл-опциона - 190 тыс. руб. Теперь можем рассчитать расширенный ЧДД:

Расширенный ЧДД - -126,6 + 190 = 63,4 тыс. руб.

Таким образом, несмотря на отрицательное значение ЧДД для инвестиций в разработку информационной системы, менеджмент должен принять в целом двухстадийный проект, поскольку выгоды от опциона, связанного с последующим развитием телекоммуникационной сети, превысят потери от реализации первой стадии проекта.

Однако для нестандартных инвестиционных возможностей формулы Блэка - Шоулза оказывается недостаточно. Тогда, как правило, поступают так: представляют стохастический процесс как геометрическое броуновское движение, затем берут производные и решают соответствующие уравнения для частных производных. Иногда удается найти близкое формальное решение. Но чаще приходится прибегать к аппроксимации. Например, биномиальная модель - это один из примеров применения числовой аппроксимации.

И использование формулы Блэка - Шоулза, и применение уравнений частных производных предполагает владение относительно сложными, продвинутыми математическими методами. Даже если использовать простую модель Блэка - Шоулза, нужно понимать, как сделать правильные предположения, чтобы получить достоверную оценку. В целом модели непрерывного времени не являются интуитивно понятными, и они редко применяются на практике для моделирования и оценки инвестиционных возможностей.

Схемы конечных разност ей

Схемы конечных разностей - это общий метод для числовой аппроксимации стоимости опциона. Метод предполагает конвертированне соответствующего дифференциального уравнения с непрерывным временем в набор дифференциальных уравнений с дискретным временем и решение этих уравнений с использованием стандартного итеративного обратного процесса.

Стоимость опциона F(S, t) на актив S должна удовлетворять фундаментальному уравнению частных производных:

1/2 о S2Fqq + rSK - Е - rF = О,

где Fs = dF/dS ;

F =dF/Tt=-Ft;

Fss = d2F/dS2 ;

r - непрерывно начисляемая безрисковая сложная процентная ставка;

о - стандартное отклонение доходности в расчете на год.

Методы конечных разностей, по существу, аппроксимируют уравнения частных производных Fs, Fss и Ft, которые описывают эволюцию стоимостей опциона. Основная идея состоит в замене частных производных на соответствующие конечные разности.

Применяют два основных метода: явных и неявных конечных разностей. Метод неявных конечных разностей определяет отношение между тремя разными стоимостями опциона во время t и одной стоимостью опциона во время t + 1. Данный метод очень надежен п всегда дает решение дифференциального уравнения, но он требует проведения больших расчетов, потому что приходится решать (N - 1) одновременных уравнений (N - количество стоимостей актива в решетке).

Метод явных конечных разностей - это на самом деле упрощенный неявный процесс. Он предполагает отношение между одной стоимостью опциона в момент t и тремя разными стоимостями опциона в момент t + 1. Явный метод похож на метод дерева решений.

Методы конечных разностей трудно применять в случае с исторически зависимыми платежами, и они вовсе не могул быть использованы в тех случаях, когда невозможно записать уравнение частных производных, описывающее динамику изменения стоимости опциона. Хотя эти модели более интуитивно понятные, чем модели с непрерывным временем, они все же требуют серьезных знаний в области математики и для их разработки, и для использования.

Биномиалъная модел ъ

Биномиальная модель основана на возможности построения безрискового хеджа при покупке опциона с последующей непрерывной корректировкой хеджа вплоть до погашения опциона. Если бы такая возможность существовала, то оценивание опционов стало бы аналогичным оцениванию других производных финансовых инструментов, например фьючерсов. Единственное различие состоит в том, что опционный хедж нужно постоянно подправлять, тогда как другие хеджи, например фьючерсный, после построения не требуют особых забот:

Чтобы пояснить суть процесса хеджирования, предположим сначала, что за каждый шаг времени цепа актива может возрасти пли понизиться только на определенную долю. Если в момент времени t цена равна S, то в момент t+Dt она может либо возрасти до uS, либо понизиться до dS. Допустим, что имеется колл-опцион па этот актив, имеющий в момент t цену С. При росте цены основного актива до uS цена опциона также возрастет до некоторой величины Сир, а при понижении цены до dS - понизится до величины Cdown. Эти параллельные изменения цен показаны на рис. 7. Так как возможны ровно два варианта изменения цены основного актива, то этот процесс называют биномиальным.

Один шаг биномиального процесса

Рис. 7. Один шаг биномиального процесса

Для того чтобы оценить биномиальную модель, нужно рассчитать биномиальные параметры и и d, а также р - нейтральные к риску вероятности. Если V - стоимость актива сегодня, V+ - стопмость актива в верхнем состоянии, V — стоимость актива в нижнем состоянии, Rf - безрисковая ставка, тогда

u = V+/V;

d =V’/V;

p=((l+Rf)-d)/(u-d);

Для стандартной биномиальной модели также требуется соблюдение ограничений:

d<(l+Rf)

d=l/u.

Если время реализации опциона t разделить на п равных интервалов, каждый длиной h = t/n, и повторить тот же процесс, начиная с даты реализации опциона и двигаясь назад, тогда общая мультипликативная биномиальная формула для оценки опциона будет:

с _ S(n!/j!(n -j)!)-pj(l -p)njmax(ujdnjS-X,O)

(1 + r)n

Первая часть числителя -

(n!/j!(n-j)!)-pJ(l-p)n]-

это формула биномиального распределения, определяющая вероятность того, что цена актива сделает] прыжков вверх на п шагов, каждый с (нейтральной к риску) вероятностью р.

Вторая часть числителя —

max(ujdnjS - Х,0) —

дает стоимость колл-опциона к сроку реализации. I (ена актива сделает] прыжков вверх, каждый на и %, и (и - j) прыжков вниз, каждый на d %, в рамках п периодов (X — цена исполнения опциона). Суммируя все возможные (j = 0, ..., п) стоимости опциона к сроку реализации, умножая на соответствующие вероятности, получаем ожидаемую стоимость опциона, которая затем дисконтируется ио безрисковой ставке за п периодов.

Поскольку продолжительность периода h может стать сколь угодно малой для данного срока реализации t, мультипликативный биномиальный процесс позволяет аппроксимировать логарифмически нормальное распределение.

Выбирая параметры (u. cl, р) так, что средняя и вариация непрерывно компаундированной ставки доходности в дискретном биномиальном процессе совместимы в пределе с их непрерывными аналогами, цена актива станет логарифмически нормально распределена, а функция биномиального распределения перейдет в кумулятивную функцию стандартного нормального распределения. Было доказано, что при стремлении п к бесконечности биномиальная формула цены опциона переходит в формулу цены опциона Блэка — Шоулза с непрерывным временем.

Биномиальная модель является достаточно адаптивной и позволяет иметь дело с активами, цены которых соответствуют любому заданному распределению доходности. Нужный закон распределения можно обеспечить за счет выбора подходящих значений и и d. Обычно значения и и d выбирают так, чтобы биномиальная модель аппроксимировала соответствующее логарифмически нормальное распределение цен.

Существует несколько ограничений применения биномиальной модели:

  • - данная модель имеет форму дерева, которое становится довольно громоздким при возрастании количества временных периодов;
  • — эта модель может применяться, если есть только одни фундаментальный источник неопределенности.

При прочих равных условиях биномиальные модели интуитивно более попятные, чем модели оценки опционов с непрерывным временем, и они не требуют особых математических знаний и навыков для разработки и использования.

Пространство опционов[1]

Для проведения оценки и сравнительного анализа инвестиционных проектов удобно использовать такой инструмент, как «про

странство опционов». Пространство опционов может быть задано с помощью двух координат.

Первая — это соотношение выгод и затрат от реализации инвестиционного проекта (к). Если эго соотношение меньше единицы, от проекта следует отказаться, если больше единицы - наоборот, проект следует принять.

Вторая координата - волатильность (v). Этот показатель отражает, насколько гибким является проект, какие изменения можно в него внести до того момента, как будет принято решение о его реализации. Волатильность проекта зависит в целом от уровня неопределенности будущих денежных потоков проекта и от того, как долго руководство проекта может откладывать решение о начале его реализации.

На рис. 8 представлено пространство опционов в общем виде.

Пространство опционов

Рис. 8. Пространство опционов

Выгоды от реализации инвестиционного проекта с учетом стоимости реального опциона будут увеличиваться в рамках представленного пространства при движении вверх (увеличение волатильности), вправо (увеличение соотношения выгоды/затраты) и при движении вправо-вверх (увеличение одновременно волатильности и соотношения выгоды/затраты).

Традиционная методика оценки эффективности инвестиционных проектов, построенная на дисконтировании денежных потоков, как правило, дает нам один основной показатель оценки эффективности инвестиционного проекта (ЧДД) и два возможных альтернативных решения — инвестировать сейчас в данный проект пли нет.

В пространстве опционов можно выделить несколько «областей принятия решений» на основе .значений показателя ЧДД и двух добавочных показателей (v и к) (рис. 9).

Основные области в пространстве опционов

Рис. 9. Основные области в пространстве опционов

Решение - «сейчас или никогда»

В нижней части пространства опционов показатель волатильности очень близок к нулю. Эго может означать, что неопределенность устранена либо нет возможности откладывать решение о принятии или отклонении проекта. Поэтому для проектов такого типа решение, конечно, будет зависеть от значения показателя «выгоды/затраты». Если это соотношение больше единицы, следует одобрить проект прямо сейчас (область 7), если меньше единицы - от проекта сейчас следует отказаться навсегда (область 6).

Решение - «может быть, сейчас, а может быть, позже»

Рассмотрим проекты, у которых k > 1, и они не требуют немедленного принятия решения о реализации. Подобные проекты попадают в правую область пространства опционов. Эта область, в свою очередь, делится на две части линией, где традиционный ЧДД равен нулю. В область 2 попадают проекты с положительным значением показателя ЧДД, поэтому для них решение - «может быть, сейчас». Возможность отложить начало реализации проекта в условиях неопределенности может принести дополнительную стоимость. В область 3 попадают проекты с отрицательным ЧДД, но все же у них соотношение выгод и затрат больше единицы, поэтому решение — «может быть, позже».

Решение - «возможно, позже или, возможно, никогда»

Проекты, попадающие в левую часть пространства опционов, потенциально невыгодные. У них соотношение выгод и затрат меньше единицы, а традиционный ЧДД — меньше нуля. По даже в этой области можно выделить более привлекательные проекты и менее привлекательные. В области 5 расположены очень слабые проекты, поскольку у них низки оба показателя (у и к), поэтому решение -«возможно, никогда». В области 4 расположены более привлекательные проекты, поскольку показатель волатильности у них относительно высокий, поэтому решение — «возможно, позже».

Реальные опционы в данном случае соответствуют финансовым колл-опционам (опцион покупателя) и могут быть оценены с помощью формулы Блэка - Шоулза.

C = S • {N(dj)} — Xe'rt • {N(d2)}>

где dx = {ln(S/X) + (г + s2/2)t}/s • Vt,

d2 = (1, - s • Vt.

В формуле есть пять переменных, влияющих па стоимость опциона:

  • 1) S - цена актива;
  • 2) X - цена реализации;
  • 3) г - безрисковая процентная ставка;
  • 4) s - среднеквадратичное отклонение цены актива;
  • 5) t - срок реализации опциона.

N(d) — функция стандартного нормального распределения (интегральная).

Для реальных опционов выделяют следующие эквиваленты вышеперечисленных переменных:

  • 1) S - настоящая стоимость денежных потоков в течение всего срока жизни проекта;
  • 2) X - настоящая стоимость всех капитальных затрат, ожидаемых в течение всего срока жизни проекта;
  • 3) s — среднеквадратичное отклонение стоимости будущих денежных притоков;
  • 4) г - доходность безрисковой ценной бумаги с тем же сроком жизни, что п продолжительность опциона;
  • 5) t — срок жизненного цикла проекта. Он зависит от используемой технологии, наличия конкурентных преимуществ и определенных интеллектуальных прав (патентов, лицензий).

V ' S • Vt.

k = S/Xert.

Нр им ер

Рассмотрим шесть независимых инвестиционных проектов. Денежные потоки от реализации каждого из них составляют 100 тыс. руб. в первый год. Два проекта (А и Б) требуют в нулевой год капитальных затрат 90 тыс. руб., два (В и Г) - ПО тыс. руб., оставшиеся два (Д и Е) - 115 тыс. руб. Следовательно, два проекта (А п Б) имеют положительный традиционный ЧДД (10 тыс. руб.), остальные — отрицательный ЧДД. Это означает, что нужно принять к реализации только два проекта (А и Б), и, таким образом, суммарный ЧДД портфеля из шести проектов составит 20 тыс. руб. (табл. 37).

Таблица 37

Сравнительные характеристики проектов

Проект

11оказ ате ль^

А

Б

В

г

д

Е

1. Денежные потоки (S), тыс. руб.

100

100

100

100

100

100

2. Капитальные затраты (X)

90

90

ПО

по

115

115

3. Время задержки (t)

0

2

0

0,5

1

2

4. Стандартное отклонение (s)

0,3

0,3

0,3

0,3

0,3

0,3

5. Безрисковая ставка (г)

0,1

0,1

0.1

0.1

0.1

0,1

Окончание табл. 37

Проект

Показатель""--'^

А

Б

В

Г

д

Е

6. k = S / (X • e rt)

1,11

1.3(3

0,91

0.96

0.96

1,06

7. Волатильность (v = s • л/1)

0

0,42

0

0,21

0.3

0.42

8. Традиционный ЧДД (S-X), тыс. руб.

10

10

-10

-10

-15

-15

9. ЧДД с учетом опциона, тыс. руб.

10

31,28

0

6,52

12,13

19,39

Область

1

2

6

5

4

3

Решение

Прямо сейчас

Может быть, скоро

Никогда

Возможно, никогда

Возможно, позже

Может быть, позже

Теперь применил! опционный анализ. Каждый из проектов отличается с точки зрения возможности отложить принятие решения о реализации, а также имеет разный уровень волатильности. В результате все шесть проектов попадают в разные области пространства опционов (рис. 10).

Проекты в пространстве опционов

Рис. 10. Проекты в пространстве опционов

Проект А попадает в область 7, следовательно, рекомендация для него - одобрить прямо сейчас. Проект В попадает в область 6, значит, от пего следует отказаться навсегда прямо сейчас. Проект Б понадает в область 2, поэтому решение но нему - «может быть, вскоре». Проект Е попадает в область 3, он может быть отложен на два года и у него самая высокая волатильность по сравнению с другими проектами, следовательно, решение но нему-«может быть, позже».

Проект Д попадает в область 4, у него есть один год до принятия окончательного решения, а уровень волатильности — средний, следовательно, по нему решение - «возможно, позже». Проект Г попадает в область 5, у него возможная отсрочка только 6 месяцев и низкий уровень волатильности при отрицательном ЧДД, поэтому по нему решение - «возможно, никогда».

Суммарная оценка всех шести проектов с учетом реальных опционов дает нам общую стоимость портфеля (суммарный ЧДД) — 70 тыс. руб. Итак, вместо того, чтобы принять решение о немедленной реализации всего двух проектов и получить суммарный ЧДД в размере 20 тыс. руб., опционный подход дает следующее решение: принять один проект прямо сейчас, отвергнуть один проект навсегда п подождать с решением о реализации остальных четырех проектов.

Четыре проекта каждый свое время будут находиться в стадии ожидания, и решение по ним будет принято позже по мере разрешения неопределенности.

  • [1] Крюков С. В. Оценка инвестиционных проектов в пространстве реальных опционов // Terra Economicus. 2011. Т. 9, № 2-3.
 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >