Методы статистики в подготовке исследования и обработке данных
В современной науке методы статистики применяются и на подготовительном и на аналитическом этапе исследований. Существуют формулы для расчета объемов и ошибок выборки, а также статистические методы анализа полученных данных, направленные на оценку достоверности выявленных различий и тенденций.
Для начала познакомимся с основными описательными статистическими параметрами генеральной и выборочной совоку пностей, их обозначениями и формулами расчета (Таблица 2).
В приведенной таблице под альтернативным признаком понимают показатель, значения которого определяются по номинальной шкале (например, мужчина-женщина, холостой - состоящий в браке), а под количественным признаком тот, который выражен в показателях метрической шкалы (например, возраст, выраженный в годах). Признак в статистике обозначается латинскими буквами: х, у, гит. д., а значение признака (варианта) у конкретной единицы наблюдения -латинскими буквами с подстрочными индексами /, /, которые соответствуют порядковому- номеру' единицы наблюдения (респондента). Со-136
ответственно, получаем запись, например, х, («икс итое», что обозначает значение признака х у /-того респондента).
Таблица 2
Основные параметры генеральной и выборочной совокупностей
|
Характеристика параметров распределения |
Совокупность |
|||
|
Генеральная |
Выборочная |
|||
|
Объем выборки |
N |
п |
||
|
Количественный признак |
||||
|
Среднее значение признака |
Z*< |
_ Z*( х =--- п |
||
|
Дисперсия |
Z(^-p)2 ст=------ N -1 |
Z(^i - х)2 s =----— п — 1 |
||
|
Среднее квадратическое отклонение |
а = Л |
- /О2 |
|
Z(*i - x)2 |
|
N - 1 |
n — 1 |
|||
|
Альтернативный (качественный) признак |
||||
|
Численность единиц совокупности, обладающих признаком |
Nx |
Пх |
||
|
Доля (частота, вес) единиц, обладающих изучаемым признаком |
*1* II р. |
Пх W = — п |
||
|
Дисперсия |
сг2 = р(1 — р) |
S2 = w(l - w) |
||
|
Среднее квадратичное отклонение |
о = |
s = |
||
|
Vp(i -р) |
Jw(l — w) |
|||
Как видно из таблицы, для анализа количественных и качественных данных в статистике применяются разные показатели и формулы.
Так. при обработке качественных данных (определенных в значениях номинальной шкалы) исходным показателем является доля единиц. обладающих изучаемым признаком, - часто та (или «вес») признака в изучаемых совокупностях: р - в генеральной совокупности, и’ - в выборке. Рассчитывается путем деления количества единиц, обладающих данным признаком на общий объем совокупности. Выражается в процентах или долях от единицы (в формулы подставляются доли от единицы).
Для количественного показателя такой отправной точкой является среднее значение: // - для генеральной совокупности их - для выборки. Рассчитывается как арифметическое среднее от всех значений данного признака в совокупности.
Среднеквадратпческое отклонение (<г или х) и дисперсия (D или Var = <г) - это меры разброса значений признака относительно средней величины. Формулы расчета приведены в таблице 2. Измеряются они в тех же величинах, что и сам признак. Среднеквадратичное отклонение используется для оценки плотности вариационного ряда (совокупности значений признака): чем меньше <т. тем плотнее ряд, то есть тем ближе реальные значения признака к его среднему значению. Кроме того, знание среднеквадратического отклонения позволяет определить границы значений признака, в которые попадает большая часть единиц совоку пности. При этом основываются на «правиле трех сигм», согласно которому в интервале р±3о находится 99,7% всех вариант ряда, в интервале ц±2о — 95,5% и в интервале ц±1о — 68,3% вариант ряда[1].
Если выборка репрезентативна, то считается, что s = а и таким образом результаты могут быть перенесены на гснсральну ю совоку пность.
Ошибка выборочного наблюдения е есть разность между значением параметра в генеральной совокупности и се выборочным значением. Для среднего значения количественного признака она равна: = |д — х|, а для доли (альтернативного признака): ?w = |р — w|.
График нормального распределения вариант и процент попадания случайной величины на отрезки, равные среднеквадратическому отклонению Ошибки выборки свойственны только выборочным наблюдениям. Чем больше эти ошибки, тем больше эмпирическое распределение отличается от теоретического. Параметры эмпирического распределения х и s2 являются случайными величинами, следовательно, ошибки выборки также являются случайными величинами, могут принимать для разных выборок разные значения и поэтому принято вычислять среднюю ошибку. Средняя (стандартная) ошибка среднего по выборке есть ве-личина т = I—. Стандартная ошибка при соблюдении принципа случайного отбора зависит, прежде всего, от объема выборки п и от степени варьирования признака: чем больше п и чем меньше вариация признака (следовательно, и значение <г), тем меньше величина средней ошибки выборки т Соотношение между дисперсиями генеральной и выборочной совокупностей выражается формулой: 2 2 П О’ - S2 X----- П - 1 т. е. при достаточно больших п можно считать, что о = s. Стандартная ошибка выборочного среднего показывает возможные отклонения параметра выборочной совокупности от параметра генеральной. В таблице 3 приведены выражения для вычисления средней ошибки пг выборки при разных методах организации наблюдения. Таблица 3 Средняя ошибка (т) выборочных средней и доли для разных видов выборки Вид выборки Отбор Повторный Бесновторный Количественный признак Случайная тх — __________А | ^0 1 — _________A *2(1-7лР n Механическая (статистическая) тх = А mx — A s2(l-n/w) n Стратифицированная (типическая) тх — А n mx — A n Серийная (гнездовая) тх — А 8X2 mx — ______________Al Sx2a~r/R) r r Альтернативный (качественный) признак Случайная тр = [ w(l — w) n mp A w(l — w)(l — n/N') n Механическая (статистическая) тр = А w(l — w) mp n A w(l — w)(l — n/N) n Стратифицированная (типическая) тр = wt(l-wt) n mp ___AL yi/t(l - wt)(l -n/LV) n Серийная (гнездовая) тх — _______1 KI = ___________AL sw2a-r/R) r r где s2 - средняя внутригрупповая выборочная дисперсия для непрерывного признака; s2 = s2 — s2, где s2 - это общая дисперсия по выборке рассчитываемая без учета стратификации (как для простой случайной выборки, см. таблица 2), s^- - это межгрупповая дисперсия, которая рассчитывается как дисперсия средних по стратам xL (s*-2 = У (Xr—х^ -------, и str— количество страт); nstr wt (1 — wt) — средняя из внутригрупповых дисперсий доли; г— число отобранных серий (гнезд), R— общее число серий (гнезд) г2 2ХхГ -*)2 Ох =---~--межгрупповая дисперсия, где х* — средняя z’-й серии; х — общая средняя по всей выборочной совокупности для непрерывного признака; о 2 = Z(wf-vv)2 °Х г ?> где — доля признака в 7-й серии; w — общая доля признака по всей выборочной совоку пности. Однако о величине средней ошибки т можно судить лишь с определенной, вероятностью Р (Р < 1) или на определенном уровне значимости (достоверности) р = 100% - Р. При этом Р равна специальной функции f(i) (или где z-критсрий (или t-критсрий) - это "коэффициент доверия"[2], значения которого для разного объема выборки п сведены в специальную таблицу’ (Таблица 4). z-критерий используется в тех случаях, когда известна дисперсия генеральной совокупности или объем выборки больше 30, в других случаях используется l-критсрий, аналогичный по смыслу, но высчитывающийся по другой формуле. Нам же достаточно знать пороговые значения z и t критериев, которые для равных уровней значимости равны.
Таблица 4 Значения функции f(z) при некоторых значениях z1 (для выборки объемом больше 30): Z f(z) z f(z) 1 0,683 1,5 0,866 1,96 0,95 2,5 0,988 2 0,954 2,58 0,99 3 0,997 3,29 0,999 Зная необходимый нам уровень вероятности Р и значение z, соответствующее ему, можно высчитать предельную ошибку выборки (предел погрешности) (или Dx) - показывающую с определенной степенью вероятности (Р), максимальное значение, на которое результаты выборки могут отличаться от результатов генеральной совокупности. л F Дх = z х т = z — В таблице 5 приведены формулы для вычисления предельной ошибки выборки. Таблица 5 Предельная ошибка (D или Д) выборки для средней и доли (р) для разных видов выборочного наблюдения Вид выборки Отбор Повторный Бесповторный Количественный признак Случайная Z А Е п Z А ®2(l-n/w) п Механическая (статистическая) Z ________N Е И Z А s2O--n/?T) п Стратифицированная (типическая) Z Б Z А п n Серийная (гнездовая) Z А v г Z N V(1 ~Г/^ r Альтернативный (качественный) признак Случайная Z ______А w(l — w) Z _А и/(1 — w)(l — n/N) п п Механическая (статистич сс кая) Z ______А w(l — W) Z А w(l — w)(l — n/N) п п Стратифицированная (типическая) Z ___i ^(1 - Ю Z W((l — wt)(l — n/N) п n Серийная (гнездовая) Z _________А V г Z ___У swi-r/R) r Распространение выборочных результатов на генеральную совокупность Конечной целью выборочного наблюдения является характеристика генеральной совокупности. При малых объемах выборки эмпирические оценки параметров (х и w) могут существенно отклоняться от их истинных значений (ц и р). Поэтому возникает необходимость установить границы, в пределах которых для выборочных значений параметров (х и w) лежат истинные значения (ц и р). Доверительных! интервалом какого-либо параметра генеральной совокупности называется случайная область значений этого параметра, которая с вероятностью близкой к 1 (надежностью) содержит истинное значение этого параметра. Предельная ошибка выборки А позволяет определить предельные значения характеристик генеральной совокупности и их доверительные интервалы, которые равны: - для среднего значения: // = х + Ах - для доли: р - w ± Aw Нижняя граница доверительного интервала получена путем вычитания предельной ошибки из выборочного среднего (доли), а верхняя — путем ее добавления. Необходимый объем выборки При планировании выборочного наблюдения с заранее заданным значением допустимой ошибки выборки необходимо правильно оценить требуемый объем выборки. Этот объем может быть определен на основе допустимой ошибки при выборочном наблюдении, исходя из заданной вероятности Р. гарантирующей допу стимую величину уровня ошибки (с учетом способа организации наблюдения). Формулы для определения необходимой численности выборки п легко получить непосредственно из формул предельной ошибки выборки. Так, из выражения для предельной ошибки: непосредственно определяется объем выборки п: 2 2 Z О п — --- л2 Эта формула показывает, что для уменьшения предельной ошибки выборки А увеличивается требуемый объем выборки п. который пропорционален дисперсии <г и квадрату z-критсрия (или критерия Стью дента /). Для конкретного способа организации наблюдения требуемый объем выборки п выводится из формул, приведенных в таблице 5. Аналитические статистические показатели Часто в научных исследованиях бывает необходимо определить, случайны ити достоверны (существенны), т. е. обусловлены какой-то причиной, различия между' двумя средними величинами или относительными показателями (полученными в результате обследования выборок из разных генеральных совокупностей). Для решения данной задачи также можно обратиться к расчету t-критерия Стьюдента. Обязательным условием для применения дан ного способа является нормальное распределение значений признака и репрезентативность выборочных совокупностей. Следует отличать зависимые и независимые выборки, так как для них используются разные критерии при проверке гипотез[2]. Выборки считаются независимыми, если они никак не связаны друг с другом. Зависимыми считаются выборки, которые состоят из единиц наблюдения естественным образом образующих некоторые пары, (близнецы, супруги и т. д.) или же если два ряда данных содержат данные обследования одной и того же гру ппы респондентов до и после эксперимента. Общая формула t-критерия для оценки достоверности различий средних значений признака в двух независимых выборках (непарный t-критерий): = Од ~ *7) ~ - д2) где и - средние первой и второй выборок; gi и ц? -средние, существующие в реальности в генеральной совокупности. (При нулевой гипотезе - Но : щ - цг = О, поэтому7 нередко можно встретить формулу7 для z-критсрия, где числитель состоит только из *7 ~ *2 ); si и S2 - величины стандартных отклонений генеральных совоку пностсй, для первой и второй гру пп; ш и п? - число наблюдс-ний в первой и второй гру ппах (объем выборок). Так как — - m (стандартная ошибка среднего), то знаменатель может приобретать вид д/mJ + m2 • Аналогичная формула для долей имеет вид: t_ Р1-Р2 y/ml + ml
Парный t-критерий Стьюдента рассчитывается по следующей формуле: CTcZ/Vn гдеЛ/rf- средняя арифметическая разностей показателей, измеренных в связанных выборках, <7 Интерпретация полученного значения непарного и парного t-критерия Стьюдента производится одинаково. Прежде всего, необходимо найти число степеней свободы к — для непарного и f - для парного по следующим формулам: к = П1 + П2- 2 f=n- 1 После этого определяем критическое значение t-критерия Стьюдента для требуемого уровня значимости (например. р<(),()5) и при данном числе степеней свободы по таблице 6. Далее сравниваем критическое и рассчитанное значения критерия: Как и в случае сравнения независимых выборок, для применения парного l-критсрия необходимо, чтобы исходные данные имели нормальное распределение. При несоблюдении этого условия для сравнения выборочных средних должны использоваться методы непараметрической статистики. Рассмотрим некоторые из них. U-критерий Манна-Уитни - непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух независимых выборок по уровню какого-либо признака, измеренного количественно. Метод основан на определении того, достаточно ли мала зона перекрещиваю-146 щихся значений между двумя вариационными рядами (ранжированным рядом значений параметра в первой выборке и таким же во второй выборке). Чем меньше значение критерия, тем вероятнее, что различия между значениями параметра в выборках достоверны. Таблица 6 Значения t-критерия Стьюдента (р<0,05) Число степеней свободы, f или к Значение t-крите-рия Число степеней свободы, f или к Значение 1-крите-рия Число степеней свободы, f или к Значение t-крите-рия Число степеней свободы, f или к Значение t-крите-рия Число степеней свободы, f или к Значение 1-крите-рия 1 12.706 15 2.131 29 2.045 48-49 2.011 76-77 1.992 2 4.303 16 2.120 30 2.042 50-51 2.009 78-79 1.991 3 3.182 17 2.110 31 2.040 52-53 2.007 80-89 1.990 4 2.776 18 2.101 32 2.037 54-55 2.005 90-99 1.987 5 2.571 19 2.093 33 2.035 56-57 2.003 1.984 6 2.447 20 2.086 34 2.032 58-59 2.002 1.980 7 2.365 21 2.080 35 2.030 60-61 2.000 1.977 8 2.306 22 2.074 36 2.028 62-63 1.999 1.975 9 2.262 23 2.069 37 2.026 64-65 1.998 ISO-199 1.973 10 2.228 24 2.064 38 2.024 66-67 1.997 200 1.972 11 2.201 25 2.060 40-41 2.021 68-69 1.995 00 1.960 12 2.179 26 2.056 42-43 2.018 70-71 1.994 13 2.160 27 2.052 44-45 2.015 72-73 1.993 14 2.145 28 2.048 46-47 2.013 74-75 1.993 U-критерий Манна-Уитни является непараметрическим критерием, поэтому, в отличие от l-критсрия Стьюдснта. нс требует наличия нормального распределения сравниваемых совокупностей. U-критсрий подходит для сравнения малых выборок: в каждой из выборок должно быть не менее 3 значений признака. Допускается, чтобы в одной выборке было 2 значения, но во второй тогда должно быть нс менее пяти. Условием для применения U-критерия Манна-Уитни является отсутствие в сравниваемых группах совпадающих значений признака (все числа - разные) или очень малое число таких совпадений. Порядок расчета U-критсрия Манна-Уитни следующий: „ Пх-(Пх+1) и = • п2 +--------Тх Интерпретация значения U-критсрия: Полученное значение U-критерия сравниваем по таблице 7 для избранного уровня статистической значимости (р=0.05 или р=0.01) с критическим значением U при заданной численности сопоставляемых выборок: Таблица 7 Значения U-критерия Манна-Уитни (р<0,05) П1 П2 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 3 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 6 7 7 8 4 3 4 4 5 6 7 8 9 10 11 11 12 13 13 5 5 6 7 8 9 И 12 13 14 15 17 18 19 20 6 6 8 10 11 13 14 16 17 19 21 22 24 25 27 7 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 8 10 13 15 17 19 22 24 26 29 31 34 36 38 41 9 12 15 17 20 23 26 28 30 34 37 39 42 45 48 10 14 17 20 23 26 29 33 36 39 42 45 48 52 55 11 16 19 23 26 30 33 37 40 44 48 51 55 58 62 12 18 22 26 29 33 37 41 45 49 53 57 61 65 69 13 20 24 28 33 37 41 45 50 54 59 63 67 72 76 14 22 26 30 36 40 45 50 55 59 64 67 74 78 83 15 24 29 34 39 44 49 54 59 64 70 75 80 85 90 16 26 31 37 42 48 53 59 64 70 75 81 86 92 98 17 28 34 39 45 51 57 63 67 75 81 87 93 99 105 18 30 36 42 48 55 61 67 74 80 86 93 99 106 112 19 32 38 45 52 58 65 72 78 85 92 99 106 ИЗ 119 20 34 41 48 55 62 69 76 83 90 98 105 112 119 127 - Если полученное значение U меньше табличного или равно ему, то признается статистическая значимость различий между уровнями признака в рассматриваемых выборках (принимается альтернативная гипотеза). Достоверность различий тем выше, чем меньше значение U. - Если же полученное значение U больше табличного, принимается нулевая гипотеза. Критерий Уилкоксона (Вилкоксона) (Т-критерий) - непараметрический статистический критерий, используемый для сравнения двух связанных (парных) выборок по уровню какого-либо количественного признака, измеренного в метрической или в порядковой шкале. Суть метода состоит в том, что сопоставляются величины выраженности сдвигов значений признака в том или ином направлении. Порядок расчета Т-критсрия Уилкоксона: Ограничения применения Т-критерия заключаются в том, что: Для оценки достоверности различия долей применяется критерий Фишера. Точный критерий Фишера - это критерий, который используется для сравнения двух относительных показателей, характсризу ющих частоту определенного признака, имеющего два значения. Условия использования критерия Фишера: Таблица 8 Значения Т-крнтерня Уилкоксона п р=0.05 р=0.01 п р=0.05 р=0.01 п р=0.05 р=0.01 5 0 — 21 67 49 37 241 198 6 2 — 22 75 55 38 256 211 7 3 0 23 83 62 39 271 224 8 5 1 24 91 69 40 286 238 9 8 3 25 100 76 41 302 252 10 10 5 26 НО 84 42 319 266 11 13 7 27 119 92 43 336 281 12 17 9 28 130 101 44 353 296 13 21 12 29 140 110 45 371 312 14 25 15 30 151 120 46 389 328 15 30 19 31 163 130 47 407 345 16 35 23 32 175 140 48 426 362 17 41 27 33 187 151 49 446 379 18 47 32 34 200 162 50 466 397 19 53 37 35 213 173 20 60 43 36 227 185 Порядок расчета точного критерия Фишера: _ (Л + В)! ? (С + В)! • (Л + С)! • (В + В)! Р ~ Л! - В! - С! - В! - 7V! где N - общее число исследуемых в двух группах; ! - факториал, представляющий собой произведение числа на последовательность чисел, каждое из которых меньше предыдущего на 1 (например, 4! = 4 • 3 • 2 • 1). Интерпретация значения точного критерия Фишера не требует сопоставления с критическими значениями, так как полученное по рассчстной формуле число соответствует уровню значимости р. Остается только решить удовлетворяет ли нас такой уровень значимости или нет, помня, что чем меньше р, тем выше Р — вероятность существования истинных различий между сравниваемыми выборками по исследуемому показателю. Таблица 9 Шаблон четырехпольной таблицы сопряженности ^^~~^-4ндчснис контрольной пере-менно й Значение фактора - 1 2 Всего 1 А В (А + В) 2 С D (C + D) Всего (А + С) (B + D) (А + В + С + D) Методы измерения связи между явлениями Помимо оценки значимости различий не менее часто к использованию статистических показателей прибегают при необходимости установить наличие или отсутствие связи между7 двумя переменными. В этом случае проводят корреляционный анализ. Наличие корреляционной связи между переменными означает, что изменению одной переменной сопутствуют однонаправленные (в том же или противоположном направлении) изменения другой переменной. Важно понимать, что речь идет о некоторой синхронности изменений, а не о непосредственной причинно-следственной связи между соответствующими признаками. Синхронность изменений может быть обусловлена не только непосредственным влиянием одного параметра на другой, но и их совместной зависимостью от третьей переменной (фактора). Характер корреляционной связи устанавливают по значению коэффициента корреляции, который принимает значения от -1 до +1. Существует два основных критерия корреляции. Критерий корреляции Пирсона - это метод параметрической (требующей нормального распределения) статистики, позволяющий определить наличие или отсутствие линейной связи между количественными показателями двух признаков одной выборки, а также оценить тесноту и статистическую значимость данной связи. Обозначается коэффициент корреляции обычно как Гхгили Rxy. Формула для расчета коэффициента корреляции Пирсона: X (х dy) где dx = х — х, dy = у — у. Для оценки тесноты, или силы, корреляционной связи общепринятый подход к интерпретации, согласно которым абсолютные значения Гху < 0.3 свидетельствуют о слабой связи, значения гху от 0.3 до 0.7 -о связи средней тесноты, значения г^ > 0.7 - о сильной связи. Более точное значение статистической значимости коэффициента корреляции получают путем расчета ^-критерия по формуле: г-гул/п — 2 tr = у у/1-rfy Затем значение tr сравнивается с критическим значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы п-2. Если tr превышает критическое (Таблица 4), то делается вывод о статистической значимости выявленной корреляционной связи. В случае, когда распределение значений признаков нс соответствует нормальному', используют непараметрический метод Спирмена. Коэффициент ранговой корреляции Спирмена - это нспарамст-рический метод, который используется с целью статистического изучения связи между' явлениями, измеренными по метрической или порядковой шкале. Обозначается как rs. Порядок расчета коэффициента корреляции Спирмена: б-?с/2 г=1-- г/п — 2 V1 — г2 Интерпретация значений коэффициента Спирмена осу ществляет-ся так же, как и коэффициента Пирсона. Таким образом, статистические методы имеют большое значение в современных научных исследованиях. Практически все описанные в данном параграфе показатели могут быть рассчитаны с использованием специальных компьютерных программ, среди которых наиболее доступным является пакет Microsoft Excel. Кроме того, стоит отмстить такие программы как Statistica и SPSS, которые содержат расширенный пакет статистических методов анализа данных. Однако, чтобы грамотно пользоваться статистическими методами, необходимо знать их предназначение и условия применимости, а также понимать принципы интерпретации полученных показателей. Задания для подготовки к семинарскому занятию: Общие задания 1. В городе X в 2018 году' проведено изучение удовлетворенности жизнью. Субъективные оценки удовлетворенности по пятибалльной шкале (0 - абсолютно неудовлетворен: 5 - полностью удовлетворен) представлены в таблице ниже. По данным аналогичного исследования, выполненного в том же городе двадцатью годами ранее, средняя 154 оценка удовлетворенности жизнью составила 3,0 балла, s ± 1,2 балла. Вычислите среднее арифметическое значение (х), среднеквадратическое отклонение (s), а также коэффициент вариации признака «удовлетворенность жизнью» Сх = s/x‘ 100% по данным 2018 года, сравните показатели с показателями предыдущего исследования. Сделайте выводы. Удовлетворенность жизнью, баллы Количество респондентов. чел. 0 10 1 90 2 160 3 200 4 400 5 140 Итого: 1000 Семья Группа I. II. III. IV. V. Расходы на образование ребенка, руб. 1. 500 700 500 4000 10000 2. 200 1200 1500 2200 8000 3. 1000 800 2000 500 25000 4. 400 600 1000 1000 5000 *1 525 825 1250 1925 12000 На основании приведенных данных произведите расчеты: среднего значения ежемесячных расходов на ребенка- старшсклассника в целом по выборке (х), средних значений ежемесячных расходов на ребенка- старшеклассника в отдельных стратах (xt), Выборка Место «удовольствия» в системе жизненных ценностей Студенты ВУЗов 7 9 8 13 10 9 11 7 9 8 Студенты ССУЗов 8 5 7 1 4 7 5 2 4 - 8. В ходе исследования образа жизни молодых супругов изучалось среднесуточное время, которое мужья и жены проводят в социальных сетях. Полученные результаты приведены в таблице ниже. Рассчитайте критерий Вилкоксона и сделайте выводы о достоверности различий. Выборка Среднесуточная продолжительность времени, проводимого в соцсетях Мужья 2 4 2 1 3 4 2 1,5 1 2 Жены 3 3 5 1 1 2 4 5 3 2 9. В ходе опроса 750 студентов ВУЗов (400 женского пола, 350 мужского пола) было установлено, что имели одну или более задолженностей по завершении последней сессии 82 девушки и 80 парней. Рассчитайте точный критерий Фишера и сделайте вывод о том, есть ли различия в количестве неуспевающих среди студентов разного пола. 10. Определите тесноту и статистическую значимость корреляционной связи между7 двумя количественными показателями: уровнем заработной платы работающих студентов и их успеваемостью. Данные полученные на выборке, состоящей из 5 респондентов, приведены в таблице: N Уровень заработной платы, тыс. р. Средний рейтинг успеваемости 1. 7 90 2. 15 85 3. 25 65 4. 20 62 5. 18 75 Дополнительная литература по теме: Учебное издание Громакова Виктория Георгиевна ИНФОРМАЦИОННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ В КОНФЛИКТОЛОГИИ
п(п2 — 1)
