МОДЕЛИРОВАНИЕ И МЕХАТРОНИКА

Автоматизированное моделирование, основные понятия и определения

В процессе профессиональной деятельности, если она связана с проектированием и эксплуатацией современных технических объектов и систем, исследователь постоянно вынужден иметь дело с построением и исследованием моделей этих объектов. В настоящее время моделирование представляет собой основной научный инструмент, применяемый как в чисто теоретических, так и в практических целях.

Создание нового технического объекта - сложный и длительный процесс, в котором стадия проектирования имеет решающее значение для осуществлении замысла и достижения высокого технического уровня. Моделирование, в свою очередь, является одним из важнейших этапов проектирования любого технического объекта, позволяя заменить или значительно сократить этапы наладки и натурных испытаний.

Термин «моделирование» весьма многогранен и разными людьми воспринимается по-разному. Применительно к техническим (в т. ч. мехатронным) системам под моделированием будем понимать процесс, состоящий в выявлении основных свойств исследуемого объекта, построении моделей и их применении для прогнозирования поведения объекта.

Моделью называется любой другой объект, отдельные свойства которого полностью или частично совпадают со свойствами исходного. Следует ясно понимать, что исчерпывающе полной модели быть не может. Она всегда ограничена и должна лишь соответствовать целям моделирования, отражая ровно столько свойств исходного объекта и в такой полноте, сколько необходимо для конкретного исследования.

Модели можно условно разделить на три группы: физические, аналоговые и математические.

Физическими принято называть такие модели (макеты), в которых реальный объект заменен его увеличенной или уменьшенной копией. Например, при исследованиях нового рабочего органа дорожной машины достаточно его физической модели, изготовленной на основе теории подобия. Если физическая модель имеет совершенно иную природу, нежели реальный объект, то такую модель называют аналоговой (от слова «аналогия»).

Следует отметить, что в иностранной литературе процесс, определенный выше как моделирование, соответствует двум терминам:

  • • modeling - относится прежде всего к процессу построения моделей объектов и систем;
  • • simulation - обозначает проведение компьютерного эксперимента с моделью (обычно численного), с визуализацией результатов этого эксперимента.

Модель является заменителем реального объекта, обладающим, по крайней мере, двумя свойствами: она отражает те свойства объекта, которые существенны для данного исследования; она всегда проще объекта.

В зависимости от формы представления математические модели можно разделить на аналитические, структурные и алгоритмические.

Аналитические модели представляют собой отображение взаимосвязей между переменными объекта в виде дифференциальных, алгебраических или любых других систем математических уравнений. Такие модели обычно получают на основе физических законов. Использование аналитических моделей позволяет исследовать фундаментальные свойства объекта, часто без использования ЭВМ.

Структурная модель представляет собой систему в виде совокупности элементов, а также совокупности необходимых и достаточных отношений между этими элементами и связей между системой и окружающей средой.

В простейшем случае с помощью структурной математической модели воспроизводится структура уравнений, описывающих поведение исследуемого объекта.

Вариантами структурных моделей являются графы, структурные и функциональные схемы, диаграммы и т. д.

Алгоритмические модели воспроизводят пошаговый процесс численного решения уравнений, представляющих математическую модель исследуемого объекта, и обычно реализуются в форме программы для ЭВМ. Результаты исследования на алгоритмических моделях всегда являются приближенными. Применение компьютеров делает алгоритмические модели наиболее универсальными. С их помощью могут быть воспроизведены любые другие математические модели.

Математические модели (ММ) технических объектов должны быть по сложности согласованы с возможностями восприятия человеком и с возможностями ЭВМ оперировать этими моделями. Как правило, решить все задачи в рамках некоторого единого описания нереально. Обычно требуется структурирование математических моделей на несколько иерархических уровней, отличающихся детальностью описания технического объекта.

Количество иерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов и возможностью средств проектирования. В зависимости от места в иерархии описания математические модели делятся на модели, относящиеся к микро-, макро- и метауровням [4, 5].

Особенностью ММ на микроуровне является отражение физических процессов, протекающих в непрерывном пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне - дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП). В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрические потенциалы и напряжения, давления и температуры и т. и.

На макроуровне используют укрупненную дискретизацию пространства по функциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). В этих уравнениях независимой переменной является время /, а вектор зависимых переменных составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупненных элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости в механических системах, напряжения и токи в электрических системах, давления и расходы жидкостей и газов в гидравлических и пневматических системах и т. п. Макроуровень наиболее характерен для исследования мехатронных систем.

Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов можно также представить в виде систем алгебраических уравнений.

В современной науке существуют два основных подхода к построению математических моделей систем [5-7]. Первый из них - это широко распространенный классический подход, который базируется на раскрытии явлений, происходящих внутри рассматриваемой системы.

Построение модели начинается с использования основных физических законов (законов Ньютона, Максвелла или Кирхгофа, законов сохранения массы, энергии, кинетического момента и т. д.) для описания исследуемого объекта, являющегося, например, механическим или электрическим. Из этих законов следуют различные соотношения между рассматриваемыми переменными и, в частности, связывающие их ОДУ, ДУЧП, разностные уравнения.

Базой данного подхода к построению математической модели являются дисциплины, относящиеся к соответствующим предметным областям: теоретическая механика - при построении моделей механических объектов, электротехника - при построении моделей электрических цепей, гидравлика и гидропривод - при построении моделей гидравлических цепей.

Второй подход, характерный для методологии кибернетики, базируется на рассмотрении системы как некоторого объекта, у которого доступными для наблюдения являются только входные и выходные переменные, это модели «черного ящика», «серого ящика» (если известны элементы модели).

Естественно, что при построении модели стремятся как можно более точно отразить свойства объекта, чтобы модель верно отражала свойства моделируемого объекта в смысле, определенном целью моделирования. С другой стороны, чем проще математическая модель, тем легче ее исследовать и использовать при решении задач синтеза. Искусство моделирования состоит в умении выбрать факторы, существенные с точки зрения цели моделирования, и пренебречь эффектами, которые, усложняя математическую модель, не оказывают заметного влияния на поведение системы.

Модели технических объектов должны соответствовать требованиям адекватности, экономичности, универсальности, устойчивости, чувствительности и др. [8, 9].

Проблема соответствия модели реальному объекту очень важна. Принято говорить, что модель адекватна оригиналу, если она верно отражает интересующие нас его свойства и может быть использована для предсказания его поведения. При этом адекватность модели зависит от целей моделирования и принятых критериев. Например, модель, адекватная на этапе поискового проектирования, при детализации проекта теряет это свойство и становится слишком «грубой».

Учитывая изначальную неполноту модели, можно утверждать, что идеально адекватная модель в принципе невозможна.

Экономичность математических моделей определяется двумя основными факторами: затратами машинного времени на прогон модели; затратами оперативной памяти, необходимой для размещения модели.

Универсальность моделей определяет область их возможных применений. Обычно универсальность достигается тем, что в модель включается большое число внутренних параметров, что отрицательно влияет на экономичность.

При оценке адекватности модели может быть использовано лишь ограниченное подмножество всех возможных значений входных параметров (рабочей нагрузки и внешней среды).

Устойчивость модели - это ее способность сохранять адекватность при исследовании системы на всем возможном диапазоне рабочих параметров, а также при внесении изменений в конфигурацию системы.

Универсальной процедуры проверки устойчивости модели не существует. Разработчик вынужден прибегать к методам «для данного случая», к частичным тестам и здравому смыслу.

Если изменение входных воздействий или параметров модели не отражается на значениях выходных переменных, то польза от такой модели невелика. Обычно такую оценку проводят по каждому параметру отдельно. Большее внимание должно уделяться тем параметрам, по которым модель является более чувствительной.

На рис. 1.1 показана механическая система, содержащая массу М, пружину с жесткостью К и демпфер с коэффициентом демпфирования В. На систему действует внешняя сила /(/). Колебания и резонанс можно изучать с помощью механических систем и электрических цепей.

Дифференциальное уравнение, описывающее эту механическую систему, имеет вид

Обычно аналоговые модели имеют точно такое же математическое описание, как и реальный объект.

Дифференциальное уравнение, описывающее электрическую цепь на рис. 1.1, имеет вид

Сравнение (1.1) и (1.2) показывает, что механическую систему можно исследовать, используя электрическую схему в качестве аналоговой модели.

Эквивалентные механическая и электрическая системы

Рис. 1.1. Эквивалентные механическая и электрическая системы

И физическое, и аналоговое моделирование в качестве основного способа исследования предполагают проведение натурного эксперимента с моделью, но этот опыт оказывается в каком-то смысле более привлекательным, чем эксперимент с исходным объектом.

Математическая модель является математическим описанием реального физического объекта. Это описание базируется на физических законах, описывающих поведение объекта. Так, математическое описание двигателя постоянного тока с независимым возбуждением, составленное на основании законов Кирхгоффа и Ньютона, имеет вид

Параметры двигателя, входящие в уравнения (1.3), рассчитываются на основе паспортных данных, помещенных в справочных материалах.

Это математическое описание служит для исследования свойств объекта, необходимых проектировщику.

Аналитические методы исследования математических моделей, в разработке которых вот уже несколько столетий принимали и принимают участие самые светлые умы человечества, дали очень много теории и практике. Они позволяют в полной мере исследовать системы, которые описываются дифференциальными уравнениями первого и второго порядка. Однако эти методы имеют существенные ограничения. Системы, описываемые уравнениями третьего и четвертого порядка, поддаются аналитическому решению, но влияние параметров системы приходится исследовать уже численными методами. Системы более высоких порядков исследуются только численными методами.

Численные методы базируются на использовании компьютерного моделирования.

Компьютерная модель - это программная реализация математической модели, дополненная различными служебными программами (например рисующими и изменяющими графические образы во времени).

Наиболее распространенными способами математического описания мехатронных систем являются дифференциальные уравнения, записываемые в той или иной форме, уравнения состояний - система дифференциальных уравнений, записанных в нормальной форме Коши, передаточные функции, системные функции (амплитудно-частотные, фазочастотные, амплитудно-фазовые характеристики).

Дифференциальное уравнение, описывающее линейную динамическую систему (или ее часть), в общем случае имеет вид

где и - входной сигнал; х - переменная состояния.

Это же уравнение в операторной форме можно записать в виде

где sk = ^—г - оператор дифференцирования.

dxK

Из последнего уравнения находится отношение выходного сигнала к входному:

Выражение (1.4), совпадающее по форме с передаточной функцией, называют операторной передаточной функцией. Заметим, что модели пакетов MATLAB-Simulink оперируют именно с операторным представлением дифференциальных уравнений.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >