Аналитический сигнал (комплексный гильбертовский сигнал)

Итак, комплексный сигнал z(t) = a(t) + ja^t), где a(t) - исходный сигнал; a ](t) - сопряженный сигнал.

Комплексный сигнал z(t) будет называться аналитическим или комплексным гильбертовским, если мнимая часть комплексного сигнала будет определяться как сигнал, получаемый применением преобразования Гильберта к исходному физическому сигналу. Тогда а|(t) будет являться сопряженным по Гильберту сигналом.

Пусть исходный физический сигнал a(t) е L₂(-оо,со). В этом пространстве определено преобразование Фурье, дающее спектральную плот-

СО

ность рассматриваемого сигнала S_a(j<®) = j a(t)exp(-j

—00

логин, связанной с изменением начальной фазы гармонического колебания у сопряженного сигнала на угол минус я/2, определим спектральную плотность сопряженного сигнала следующим образом:

Применяя преобразование Фурье, мы получаем функцию, определенную на интервале -со < со < со. Распространяя выражение для спек-

53

тральной плотности на отрицательные частоты, получаем (свойство нечетности аргумента спектральной плотности)

SalCH = js_a(j®); 0.

Определив спектральную плотность сопряженного сигнала

„ .. . ~ jS_a(j0; _ ,

S_al(j< можно наити сопряженный по I ильоерту

[ jS_a(j

сигнал, применяя обратное преобразование Фурье к S_al(jo).

F F^-1

При этом проходим такой путь: a(t) —> S_a(jco)—>S_ai(jco) —> a,(t).

Основные свойства аналитического сигнала

1. Так как по условию a(t) е L₂(-«?,«?) и a^t) е L₂(-«?,«?), то и комплексная сумма этих сигналов z(t) = a(t) + jai(t) также принадлежит L₂(-<х>,оо) и ее спектральная плотность S^(j со) = F[z(t)]. Учитывая, что преобразование Фурье обладает свойством линейности, можно считать, что спектральная плотность суммы двух сигналов равна сумме спектральных плотностей этих сигналов, т.е. S_z(j<») = S_a(jtf)) + jS_al(jz(] со) =

f2S_a(jtf?);fi) >0;

= { Таким образом, спектральная плотность аналитиче-

[0; о< 0.

ского сигнала не содержит составляющих с отрицательными частотами, а при оз > 0 спектральная его плотность равна удвоенной спектральной плотности исходного физического сигнала.

• 2. Свойство произведения z(t) и z*(t). Так как z(t) = A(t)exp[j ?{t)], то комплексно-сопряженный сигнал z*(t) = A(t)exp[-j ?ft)]. Тогда их произведение есть z(t)z*(t) = A²(t). То есть произведение аналитического сигнала на комплексно-сопряженный с ним аналитический сигнал равно квадрату огибающей.
• 3. Связь между спектральной плотностью аналитического сигнала и спектральной плотностью огибающей. Исходя из формул о о

z(t) = A (t)exp[j

Определим связь между S_z(j со) и S ₀ {]со). Пусть S_z(j со) задана на осно-

А

ве свойства преобразования Фурье, связанного с умножением функции z(t) на exp[-jz[j( + <Д))].

о

Так как A (t) = z(t)exp[-j^t], то S , (jсо) = S_z[j(ft>+ й^)]. Графики | S ,

А А

и |S_z[j(ft>+ ГД))] представлены на рис. 1.24.