Прохождение узкополосного нормального случайного сигнала через амплитудный детектор с квадратичной характеристикой детектирования
Статическая характеристика детектирования близка к квадратичной при малых входных амплитудах (т.е. малая дисперсия входного сигнала) (рис. 12.69). В таком случае Y(t) = кд/2 A2(t). Для расчета необходимо рассмотреть нелинейное (квадратичное) преобразование от релеевского распределения: f(y) = f(A)/ldy/dxl = 1/(клох2)х ехр[-у/(кдо х2); у ^ 0]. В результате преобразования получен экспоненциальный закон плотности вероятности. Для него математическое ожидание (Y(t)> = клох2; средний квадрат (Y2(t)) = 2kfl2Gx4; дисперсия Gy2 = кд2сх4.
Рис. 12.69
Совместное воздействие гармонического сигнала и нормального (Гауссова) шума на амплитудный детектор
На вход амплитудного детектора действует аддитивная смесь узкополосного шума X(t) = A(t) cos [coq t + 0(t)] и сигнала
s(t) = E cos co()t. Входное напряжение можно представить в виде формулы u(t) = U(t) cos [co0t + (p(t)] = [E + A(t) cos0(t)] cos coot - A(t) sin0(t) sincoot. При этом U(t) = [E2 + A2(t) + 2EA(t) cos0(t)], a (p(t) = arctg[A(t)sin 0(t)/(E + + A(t) cos0(t))]. Начальная фаза 0(t) не отражается на выходном напряжении амплитудного детектора. Рассмотрим U(t).
Известно, что плотность вероятности мгновенных значений сигнала со случайной начальной фазой распределена по закону arcsin (рис. 12.70,а), а суммы такого же сигнала и нормального шума по закону, представленному на рис. 12.70,6. Вид этой плотности вероятности зависит от отношения сигнал/шум q = Е/ах. Распределение амплитуд подчиняется закону Релея - Райса f(U) = U/ax2 х exp[-(U2 - Е2)/ (2ах2)] I0[EU/(ax2)], где 1о(') - модифицированная функция Бесселя комплексного аргумента. Графики функции f(U) зависят от отношения сигнал/шум и представлены на рис. 12.71. При q = 0 плотность вероятности f(U) соответствует закону Релея, при больших q может быть аппроксимировано Гауссовым законом при mu = Е; au2 = ax2.
При линейном детектировании напряжение на выходе детектора совпадает с амплитудой на входе, тогда постоянная составляющая U0 = mu =
= ax 4яП. {I0(h2/2) + h2[I0(h2/2) + I,(h2/2)]}exp(-h2/2), где h2 = E2/(2gx2), а M[U2(t)] = 2
Рис. 12.70
Рис. 12.71
Когда Е = 0, то U02 = ах 4я 12 . Поэтому полезный сигнал на выходе амплитудного детектора есть разность Uo при наличии сигнала на входе и без него. Разделив эту разность на мощность выходной помехи, получим отношение сигнал/шум на выходе:
I о о 9 ”7 о
- (с/ш)вых = (U0 - ах уя7 2 )7(2ах“ + Е" - U0 ). При h' « 1 (слабый сигнал), I0(h2/2) —> 1; Ii(h2/2) * h2/4; exp(-h2/2) * 1 - h2/2, поэтому U0 *
- * ax 4412 (1 + h2/2). В этом случае приращение постоянной составляющей, обусловленное появлением сигнала на входе на фоне помехи,
AU0 * ax 4л72 h2/2,
а дисперсия aBbIX2 = 2ах2 + Е2 - ах2 7i/2 (1 + h2/2)2« ах2 (2 - ти/2).
Таким образом, выходное отношение:
(с/ш)вых = (Ti/2 ax2x h4/4)/[ax2 (2 - тс/2)] = Kh4.
При малых отношениях сигнал/шум на входе происходит подавление слабого сигнала сильной помехой (так как выходное отношение сиг- нал/помеха зависит от входного во второй степени).
При h2 » 1 постоянная составляющая выходного напряжения Uo * Е, так как Е » ах2; (с/ш)вых = AU()2/aBbIX2 - 2(с/ш)вх.
При квадратичном детектировании аналогичные рассуждения дают зависимость (с/ш)вых = [E2/(2gx2)]/[1 + 2E2/(2gx2)] = h2/(l + 2h). Если h « 1, то (с/ш)ВЬ1Х = (с/ш)вх2 - происходит подавление сигнала шумом. Если же h » 1, то (с/ш)вых = 0,5 (с/ш)вх.
Таким образом, при малых (с/ш)вх в квадратичном детекторе происходит подавление сигнала шумом, а при больших (с/ш)вх выходное отношение (с/ш)вых пропорционально входному.
Сравнение результатов анализа для линейного и квадратичного детектирования показывает, что при малых входных отношениях сиг- нал/шум обеспечивается одинаковое подавление сигнала сильной помехой. Если же Е » (Тх, то на выходе квадратичного детектора отношение (с/ш)вых в 4 раза меньше чем у линейного детектора, т.е. помеха выносится сигналом на крутой участок нелинейной характеристики детектирования и (с/ш)вых уменьшается.
