КРИТЕРИИ ХЕГАЗИ-ГРИНА

Эти критерии имеют сходство с одноименными критериями нормальности и опираются на аналогичные статистики [16]:

где Ui - элементы вариационного ряда, построенного по выборке Х]2,...,Хп объёмом п, a rji =?’[?/.] - математическое ожидание соответствующей порядковой статистики.

При проверке гипотезы на [0, 1 ] статистики принимают вид:

В той же работе [16] рассмотрены модифицированные статистики, в которых вместо математического ожидания / -й порядковой статистики

i

Tjj =-, учитывая несимметричность распределения этой статистики,

п +1

р i-1 р

используются ее модальные значения =-. В этом случае статисти-

л-1

ки критерия принимают вид:

Критерии применимы для случайных величин, распределенных на любом интервале [а,Ь, но в этом случае необходимо перейти к величинам

yt =({/,-{/,)/({/„заменив на них Ui в выражениях для статистик при объёме выборки п-2.

Заметим, что отличие статистик (2.14) - (2.15) от статистик (2.12) - (2.13) сказывается на распределениях этих статистик. При справедливости проверяемой гипотезы Н0 отличие распределений заметно при ограниченных объемах выборок и практически не сказывается при п > 300 (см. таблицу 2.18).

В то же время имеет место различие в мощности критериев, опирающихся на статистики (2.12) - (2.13) и (2.14) - (2.15), по крайней мере, относительно некоторых альтернатив (относительно некоторых конкурирующих законов).

Распределения статистик (2.12), (2.13) критериев Хегази-Грина при различных объемах выборок п показаны, соответственно, на рис. 2.9 и 2.10.

Критерии правосторонние. Проверяемая гипотеза о равномерности распределения случайных величин Xi принимается на уровне значимости

а, если 7] < вд. Т* < Т*(а) или Т2 < Тг (“)> Тг

Полученные методами статистического моделирования критические значения, представленные в таблице 2.18, расширяют таблицу критических значений, приведенную в [63].

Для критериев со статистиками (2.12) - (2.15), как указано в [63], для поиска критических значений существует следующая аппроксимация:

Коэффициенты а, b и с для а = 0,95 и а = 0,99 приведены в таблице 2.19. Критические значения, получаемые в результате статистического моделирования, совпадают с точностью до 2-3 знаков после запятой со значениями, полученными по формуле (2.16).

Распределения статистики 7, критерия Хегази-Грина в зависимости от п

Рис. 2.9. Распределения статистики 7, критерия Хегази-Грина в зависимости от п

Распределения статистики Ткритерия Хегази-Грина в зависимости от п

Рис. 2.10. Распределения статистики Т2 критерия Хегази-Грина в зависимости от п

п

1

0.85

0.9

т;

Т

12

Т* 1 2

^2

Т 1 2

3

0.2528

0.3229

0.0755

0.1439

0.2802

0.3455

0.0906

0.1671

8

0.1574

0.1701

0.0322

0.0407

0.1750

0.1868

0.0393

0.0490

10

0.1411

0.1499

0.0263

0.0317

0.1569

0.1651

0.0320

0.0382

18

0.1054

0.1088

0.0151

0.0167

0.1173

0.1206

0.0184

0.0203

20

0.1000

0.1029

0.0136

0.0150

0.1114

0.1141

0.0166

0.0182

30

0.0817

0.0832

0.0092

0.0098

0.0910

0.0924

0.0112

0.0119

38

0.0727

0.0737

0.0073

0.0077

0.0809

0.0819

0.0089

0.0094

40

0.0708

0.0718

0.0070

0.0073

0.0790

0.0799

0.0085

0.0089

50

0.0634

0.0641

0.0056

0.0058

0.0706

0.0713

0.0068

0.0071

78

0.0507

0.0510

0.0037

0.0037

0.0565

0.0568

0.0045

0.0045

100

0.0448

0.0451

0.0028

0.0029

0.0500

0.0502

0.0034

0.0035

150

0.0366

0.0367

0.0019

0.0019

0.0408

0.0409

0.0023

0.0023

200

0.0317

0.0318

0.0014

0.0014

0.0353

0.0354

0.0017

0.0017

300

0.0259

0.0259

0.0009

0.0009

0.0288

0.0289

0.0011

0.0012

8

0.2030

0.2132

0.0518

0.0635

0.2579

0.2658

0.0812

0.0979

10

0.1821

0.1892

0.0422

0.0497

0.2318

0.2376

0.0665

0.0773

18

0.1365

0.1393

0.0244

0.0267

0.1748

0.1771

0.0388

0.0422

20

0.1296

0.1319

0.0221

0.0240

0.1662

0.1680

0.0351

0.0379

30

0.1059

0.1072

0.0149

0.0157

0.1363

0.1373

0.0239

0.0251

38

0.0944

0.0952

0.0119

0.0124

0.1213

0.1220

0.0190

0.0198

40

0.0919

0.0927

0.0113

0.0118

0.1183

0.1189

0.0181

0.0188

50

0.0822

0.0828

0.0091

0.0094

0.1059

0.1064

0.0146

0.0150

78

0.0658

0.0661

0.0060

0.0060

0.0850

0.0852

0.0096

0.0096

100

0.0582

0.0584

0.0046

0.0046

0.0751

0.0752

0.0074

0.0075

150

0.0475

0.0476

0.0030

0.0031

0.0613

0.0614

0.0049

0.0050

200

0.0411

0.0412

0.0023

0.0023

0.0531

0.0532

0.0037

0.0037

300

0.0336

0.0336

0.0015

0.0015

0.0433

0.0434

0.0025

0.0025

Таблица 2.19

Значения а, b и с для вычисления критических значений статистик (2.12) - (2.15) критериев Хегази-Грина_

Статистика

Уровень значимости а

0.95

0.99

а

b

с

а

b

с

Ъ

0.0003

0.5876

-0.0425

-0.0070

0.8373

-0.2500

т;

0.0064

0.5066

0.2364

-0.0090

0.7949

-0.0782

т2

-0.0068

0.0783

0.2419

-0.0148

0.1701

0.2745

т* 1 2

0.0214

0.0214

0.8212

0.0047

-0.0607

0.9330

Оценки мощности критерия Хегази-Грина со статистикой 7] относительно конкурирующих гипотез Я,, Я2 и Я3 при проверке равномерности представлены в таблицах 2.20-2.22, а со статистикой Т2 - в таблицах 2.23-2.25 соответственно. При этом критерий со статистикой 7] показывает несколько большую мощность, чем критерий со статистикой Т2.

По отношению к конкурирующей гипотезе Я, при малых п и а оба критерия Хегази-Грина оказываются смещёнными (см. таблицы 2.20 и 2.23, где оценки мощности меньше вероятности ошибки 1-го рода а выделены серым цветом). В то же время смещённость критерия со статистикой Т проявляется более заметно.

Таблица 2.20

Мощность критерия Хегази-Грина 7] относительно гипотезы Я,

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.092

0.054

0.022

0.009

0.003

20

0.116

0.067

0.026

0.010

0.003

30

0.148

0.085

0.032

0.012

0.003

40

0.185

0.106

0.039

0.014

0.004

50

0.226

0.133

0.049

0.018

0.004

100

0.474

0.322

0.142

0.053

0.013

150

0.698

0.546

0.301

0.138

0.039

200

0.849

0.734

0.492

0.274

0.098

300

0.973

0.933

0.801

0.599

0.326

Мощность критерия Хегази-Грина Тх относительно гипотезы Нг

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.242

0.178

0.105

0.061

0.030

20

0.307

0.236

0.093

0.093

0.049

30

0.368

0.293

0.194

0.127

0.071

40

0.425

0.346

0.239

0.162

0.095

50

0.478

0.397

0.284

0.200

0.121

100

0.685

0.610

0.490

0.383

0.266

150

0.817

0.760

0.654

0.549

0.420

200

0.897

0.856

0.775

0.685

0.562

300

0.969

0.952

0.912

0.859

0.774

Таблица 2.22

Мощность критерия Хегази-Грина 7] относительно гипотезы Н}

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.207

0.149

0.084

0.047

0.022

20

0.261

0.196

0.119

0.072

0.036

30

0.313

0.243

0.155

0.097

0.051

40

0.360

0.286

0.190

0.124

0.069

50

0.407

0.330

0.227

0.153

0.088

100

0.600

0.522

0.402

0.301

0.197

150

0.737

0.670

0.555

0.446

0.321

200

0.831

0.778

0.678

0.576

0.445

300

0.933

0.905

0.844

0.769

0.660

Мощность критерия Хегази-Грина Т2 относительно гипотезы //,

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.099

0.060

0.025

0.010

0.003

20

0.124

0.074

0.030

0.012

0.004

30

0.154

0.092

0.037

0.015

0.005

40

0.188

0.112

0.045

0.018

0.006

50

0.226

0.137

0.056

0.022

0.007

100

0.453

0.308

0.141

0.058

0.017

150

0.670

0.517

0.284

0.133

0.042

200

0.828

0.705

0.462

0.254

0.094

300

0.967

0.920

0.773

0.564

0.298

Таблица 2.24

Мощность критерия Хегази-Грина Т2 относительно гипотезы Н2

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.239

0.175

0.102

0.060

0.029

20

0.302

0.231

0.145

0.090

0.048

30

0.362

0.287

0.189

0.123

0.068

40

0.418

0.339

0.232

0.156

0.091

50

0.470

0.389

0.277

0.192

0.115

100

0.677

0.602

0.480

0.371

0.256

150

0.811

0.752

0.644

0.536

0.406

200

0.893

0.850

0.767

0.673

0.548

300

0.968

0.950

0.908

0.853

0.763

Таблица 2.25

Мощность критерия Хегази-Грина Т2 относительно гипотезы Нъ

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.205

0.147

0.083

0.046

0.022

20

0.257

0.192

0.116

0.069

0.034

30

0.307

0.237

0.150

0.093

0.049

40

0.354

0.279

0.183

0.118

0.065

50

0.399

0.322

0.218

0.145

0.082

100

0.588

0.508

0.386

0.285

0.184

150

0.724

0.654

0.535

0.424

0.300

200

0.819

0.762

0.657

0.550

0.417

300

0.926

0.894

0.826

0.745

0.627

Оценки мощности относительно конкурирующих гипотез Я,, Я2 и Я3 при проверке равномерности для критерия Хегази-Грина со статистикой Т* представлены в таблицах 2.26-2.28, а для критерия Хегази-Грина со статистикой Г2* - в таблице 2.29-2.31.

Таблица 2.26

Мощность критерия Хегази-Грина Т* относительно гипотезы Я,

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.172

0.101

0.038

0.014

0.004

20

0.214

0.126

0.048

0.017

0.005

30

0.258

0.156

0.060

0.021

0.006

40

0.305

0.189

0.074

0.026

0.007

50

0.355

0.226

0.092

0.033

0.008

100

0.601

0.443

0.222

0.093

0.024

150

0.788

0.653

0.403

0.205

0.066

200

0.901

0.809

0.590

0.361

0.146

300

0.984

0.957

0.855

0.676

0.404

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.216

0.160

0.096

0.056

0.028

20

0.281

0.217

0.139

0.087

0.047

30

0.343

0.274

0.184

0.121

0.068

40

0.401

0.326

0.228

0.155

0.091

50

0.454

0.378

0.273

0.192

0.116

100

0.667

0.595

0.478

0.373

0.261

150

0.806

0.748

0.644

0.540

0.413

200

0.890

0.848

0.767

0.677

0.555

300

0.967

0.949

0.908

0.854

0.770

Таблица 2.28

Мощность критерия Хегази-Грина Т* относительно гипотезы Н3

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.202

0.145

0.082

0.046

0.021

20

0.257

0.193

0.117

0.070

0.035

30

0.309

0.240

0.153

0.096

0.051

40

0.357

0.283

0.188

0.122

0.068

50

0.403

0.327

0.225

0.151

0.086

100

0.597

0.520

0.401

0.300

0.196

150

0.735

0.668

0.554

0.445

0.320

200

0.830

0.777

0.677

0.574

0.444

300

0.933

0.904

0.843

0.768

0.660

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.163

0.097

0.039

0.015

0.005

20

0.201

0.121

0.048

0.019

0.006

30

0.242

0.148

0.060

0.023

0.007

40

0.285

0.177

0.073

0.029

0.008

50

0.331

0.210

0.089

0.035

0.010

100

0.565

0.409

0.204

0.089

0.026

150

0.757

0.615

0.369

0.187

0.063

200

0.882

0.779

0.550

0.327

0.132

300

0.980

0.946

0.828

0.637

0.365

Таблица 2.30

Мощность критерия Хегази-Грина Т* относительно гипотезы Нг

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.216

0.159

0.094

0.055

0.027

20

0.279

0.214

0.135

0.084

0.044

30

0.339

0.269

0.178

0.115

0.064

40

0.396

0.320

0.220

0.148

0.086

50

0.448

0.371

0.263

0.183

0.109

100

0.660

0.585

0.465

0.359

0.246

150

0.799

0.740

0.632

0.525

0.396

200

0.885

0.842

0.757

0.663

0.537

300

0.965

0.947

0.903

0.846

0.756

п

а

0.15

0.1

0.05

0.025

0.01

10

0.201

0.144

0.081

0.045

0.021

20

0.254

0.190

0.114

0.068

0.034

30

0.304

0.235

0.148

0.092

0.048

40

0.351

0.277

0.182

0.117

0.064

50

0.396

0.319

0.216

0.143

0.081

100

0.586

0.506

0.385

0.283

0.182

150

0.723

0.653

0.533

0.422

0.298

200

0.818

0.761

0.655

0.548

0.416

300

0.926

0.894

0.825

0.743

0.626

Как можно заметить, относительно Я( смещённость критериев меньше, а мощность критериев заметно выше мощности критериев со статистиками 7J и 72, оценки которой приведены в таблицах 2.20 и 2.23.

В то же время оценки мощности критериев Хегази-Грина со статистиками Т* и 72 относительно конкурирующих гипотез Н2 и Я3 слегка уступают соответствующим оценкам мощности критериев со статистиками 7] и 7,, но при этом очень близки к последним.

К недостаткам критериев Хегази-Грина, затрудняющим их использование, является зависимость распределений статистик от объема выборки п и необходимость пользоваться таблицами процентных точек, а также смещённость критериев относительно конкурирующих гипотез вида Я,. В то же время критерии обладают достаточно высокой мощностью относительно других конкурирующих гипотез.

 
Посмотреть оригинал
< Пред   СОДЕРЖАНИЕ   ОРИГИНАЛ     След >